基于GeoGebra的深度学习教学设计与思考——以苏科版八年级上册“一次函数的图象(1)”为例*

蒋余希 李明树 (江苏省苏州工业园区东沙湖实验中学 215021)

1 缘起

《义务教育数学课程标准》(2022年版)(以下简称《课标2022年版》)指出要促进信息技术与数学课程的融合：合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革[1].而苏科版八年级上册“一次函数的图象(1)”[2]教材中“烧香”实验操作性不强且脱离实际，很难引起学生对新知的感悟.故基于课标及学生认知需要，选取新素材用“做”数学的策略，有效使用信息技术，培养学生深度学习能力，提升学生思维层次，涵育数学核心素养.

1.1 GeoGebra与数学教学

信息技术的融合是基于课堂需要来选择功能切实的软件，使其各展所长[3].近年来，免费且实用的数学软件GeoGebra越来越多地出现在数学教学实践中，其以强大的动态几何、代数运算和概率统计功能为数学课堂提供更多元的可能.而本课依托GeoGebra代数区和绘图区功能完成了一次函数图象的可视化，使“数”与“形”完美融合.

1.2 深度学习与核心素养

学习是把信息和经验转化成知识、技能、行为和态度的终身过程.而深度学习是在教师指导之下，围绕具有挑战性的学习主题，积极地探究实践，深刻地掌握学科的核心知识，并运用知识解决问题，形成积极的内在的学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观[4].这与《课标2022年版》提倡的核心素养导向高度吻合，故深度学习是全面深化课程改革、落实核心素养的重要路径.

2 教学过程

2.1 回顾·整理

回顾小组交流并完成知识框架图.(师生合作图1)

图1

设计意图以活动驱动，复习整合，唤醒旧知，为本课作铺垫.

2.2 生活·数学

情境 用60 cm的绳子围长方形OABC，如图2，设OC=xcm，OA=ycm，观察y随x的变化而变化的情况.

图2

填入表格中y的值，并观察思考：

x/cm510152025y/cm252015105

(1)y随x的变化是如何变化的？

(2)x和y有什么不变的关系？用数学式子表示.

发现y是x的一次函数，表格里是x+y=30的5组解.这5组值满足一次函数y=-x+30，是函数图象上的5个点.

设计意图由熟悉的长宽问题引入，在变与不变的关系中引发思考，感知规律的“式”、表格的“数”以及一次函数“图象”上点之间的关联及一一对应关系.在实际问题数学化的过程中渗透数形结合思想.

2.3 操作·发现

活动1钉板围长方形

规则借助表格和素材(一块含磁吸的透明钉板及若干等长彩色皮筋)，围周长为60的长方形，使得：

(1)长方形的顶点O与坐标原点(钉板左下角的钉)重合；

(2)OC落在x轴上，OA落在y轴上；

(3)钉板相邻两钉的距离和平面直角坐标系单位长度均为5.

要求：安全、合作、思考.

图3 图4

图5

设计意图学生通过“做”数学观察一次函数图象上有限个点的位置关系.用直尺靠，用眼睛看，激发学习的积极性和研究力，拓展思维深度，培养合作精神.

猜想：满足一次函数y=-x+30的点B,B1,B2,B3,B4在同一直线上.

师：你能证实此猜想吗？

生：拿尺子靠，这5个点在一条直线上；过两点画直线，看另外三点在不在这条直线上；证全等.

师：再给出周长60但长未知的矩形(图4)，思考顶点B5是否满足上述猜想.

师：(引导)B5坐标满足y=-x+30吗？(生：满足)所以它是函数图象上的点.抛开实际问题，y=-x+30中x可以取哪些值？(生：任意实数)

设计意图初步形成“一次函数图象上有限个点好像在同一条直线上”的认知后，提出问题“无限个点的位置如何”，引导学生深度学习，大胆猜想并严谨求证.

2.4 探究·感受

有限点不能确定一次函数图象，需继续描点观察，GeoGebra可以辅助实现[5].

操作过程：

(1)将坐标调整到单位长度为1，列表动画按钮，描点动画按钮，学生观察这一系列点的位置关系.问学生0～1之间还有距离吗？能不能继续取值？得到肯定回答，继续操作；

(2)将坐标缩小到单位长度为0.1，同上操作.问0～0.1之间还有距离吗？学生猜测，继续操作；

(3)将坐标缩小到单位长度为0.01，同上操作.

图6

图7

图8

图9

图10

结论若持续操作，图象将逐渐清晰，发现函数图象上的点都在同一条直线上.

操作过程：

(4)将坐标逐渐放大时，发现点与点“紧密地挨在一起”；

(5)通过绘制点A(x，30-x)的轨迹，深化学生认识：一次函数的图象是一条直线.

(6)连线按钮，绘制图象.

师：根据研究y=-x+30图象的经验，总结如何得到一次函数的图象？

生：一列表，二描点，三连线.

师：这个作图方法叫作——描点法.(提醒要写上函数名)

设计意图GeoGebra缩小坐标轴的单位长度至作图需要的x范围后，描点观察位置；再放大坐标轴的单位长度，动态过程中点慢慢地紧密地挨在一起.把抽象的加密取点过程可视化，使学生能够完全理解并参与，研究过程更充分，知识生成更自然，真正以学生为主体，使课堂“动”起来，使学生学“活”的知识.

2.5 实践·归纳

图11

活动单：画y=2x+1的图象.(投屏讨论)

预设师：表格里…是什么含义？

生：省略，画不完所有的点.

生：没有两边延伸.

师：数学是讲究美的学科，对称取点可避免图象只有一边的问题.

生：没有标函数名；描点没有描.

师：标上表达式更清晰；过x=1，y=5作垂线交于一点.

设计意图发现式学习由学生独立尝试，发现问题再集中纠偏，基于学生的最近发展区建立作图规范.

2.6 交流·思考

继续讨论函数图象画法，通过思考直线特征得到更简便的“两点法”.

活动2 合作绘图

图12 KT板尺寸35 mm×50 mm

提前制作好轻便、展示性强的KT板，小组合作再画y=2x+1的图象及一个组内自选函数.

教学预设为了兼顾分布状态，大多取便于计算的坐标轴交点.

师：对一般形式y=kx+b，你能说出与坐标轴的交点吗？

师：那y=-6x+1如何取点？

生：不好画.

师：如果坐标轴交点不好画，可取整数格点.

设计意图基于深度学习理解与批判特征，继续深化讨论取点的技巧.在自选函数过程中作出正比例函数和与原函数平行的函数时，可对图象性质稍作拓展.KT板小组作图强化学习的获得感和成就感.

图13

2.7 巩固·内化

学生展示并总结：正比例函数一定过原点，作图时另取一点即可.一次函数表达式中k和b不同，函数图象不同.变化纷繁复杂，但不变的是它的形状是一条直线.

设计意图GeoGebra的滑动杆动态功能让学生直观“看”到图象的变与不变，为学生提供课后思考的空间.

2.8 应用·生活

研究了任意实数为自变量的一次函数图象后，回到初始问题：长宽关系的图象是一条直线吗？

设计意图经历实际问题数学化的探究后回到生活中，明确数学学习的意义，为后续一次函数解决实际问题作铺垫.

2.9 小结·收获

通过本节课的学习，你有什么收获？

设计意图以知识框架图为载体，梳理数学学习中知识、方法、思想相辅相成的作用.

3 教后反思

《课标2022年版》让教师更加清晰地认识到教好数学是落实核心素养的前提.本节课利用数学钉板实验创设开放式情境，在“做”数学中让学生经历数学化的过程.通过信息技术融合突破抽象难点，让学生理解学科知识本质，在深度学习的助推下发展深层思维，培养理性精神和创新能力，逐渐形成数学核心素养.

3.1 深度学习是理解知识的重要方式

学习是基于新旧知识的联系将新知识整合到原有结构的过程.而深度学习“深”在系统结构里，“深”在教学规律里，“深”在人的精神境界里，“深”在人的心灵里，是一种有意义的知觉模式.[4]本课借助钉板和皮筋围长方形，构建真实的数学情境，让学生带着原有的知识、方法、经验主动操作、思考、感受，构建新的知识体系.开放式的情境给予学生大胆想、多角度思、充分交流的机会，在操作中提出问题、解决问题.若按常规让学生通过作不同函数图象来发现一次函数图象是一条直线，只是浅层的体验，学生经历的是模仿和记忆.而深度教学助力学生深度学习，感受数学的魅力，激发学生的兴趣和创造性思维.在强化作图范式时，先由学生自主尝试，再集体纠偏，归纳方法后继续批判反思，得到两点作图法及点的恰当取法，让学生充分感受知识的关联和自然生长，做到以生为本、让学引思.在达到预期教学效果的同时，让学生体验深度学习自主理性、批判理解、联系整合、迁移运用的完整过程[6]，促进高层次思维和能力的发展，体现深度学习的意义，培养学科核心素养.

3.2 技术融合是深度学习的应然选择

强调信息技术，将“说”和“写”的功能延伸，使每一个命题清楚明确.先是清楚明确，然后才是深刻生动；才是追求迁移应用、智慧生成；才是创新发展、生命活力.[4]本课难点之一在于教师无法将抽象知识“一次函数的图象是一条直线”直接“言传”，学生又很难“意会”.所以在学习一次函数作图的初期常常出现很多“脑洞大开”的奇图.因此，借助信息技术的表征优势，利用GeoGebra对一次函数图象进行可视化呈现，实现抽象数学知识与生动现实之间的联系通道.通过GeoGebra对坐标轴进行放大缩小演示一次函数图象上点的加密过程，从有限个点拓展到无限个点，观察其位置关系是“紧密地挨在一起”，而构成的图形是直线，真正解决理解难关，为后续学习“反比例函数图象是曲线而不是一系列折线”打下基础.GeoGebra的操作直观清晰，让学生沉浸在探究过程中，自主感知探索目的、理解探索方法，让思维进入一个密集、深入且长远的深度学习中.能够流畅归纳出研究函数图象的一般方法，在深刻领悟中得到厚实的思维发展.技术融合的可视化呈现弥补了数学抽象给学生带来的陌生感和迷茫感，让学生能够有“看透”数学的机会，为数学学习注入活力，构建起抽象与现实之间的桥梁，使本课核心知识生长在最恰当的时间.