夯实基础 提升素养——以“导数的综合应用”一轮复习教学为例

庞 燕 (江苏省常州市田家炳高级中学 213001)

在我校大力推进“三力课堂”(教得有魅力、学得有活力、质量有实力)的背景下，高三数学备课组倡导教师相互听课学习、共同研讨，以求高三数学课堂教学效益最大化.笔者在2022年9月22日上了这节公开课，以2022年新高考I卷第22题第(1)题为材料展开教学，旨在培养学生的数学核心素养，让学生在数学化中习得知识，充分发挥学生的主观能动性，探索“三力课堂”在高三数学一轮复习中的新实践.

1 学情分析

教学对象是四星级高中的高三物生政组合普通班学生，基础良好，部分学生的分析能力和运算素养较强，但水平参差不齐.

2 考点解读及教学目标

“导数”是研究函数单调性、极值、最值等问题的强有力工具，导数一章因与函数、解几等知识联系十分密切，故综合性极强，融会贯通了高中数学各大知识点，并集许多数学思想与数学方法于一体，所以“导数的综合应用”在高中数学中有极其重要的核心地位，进而成为了高考试题一直青睐的对象.纵观历年高考，“导数的综合应用”以独特的命题视角、新颖的方式呈现，备受大家关注.题目选材紧紧围绕教材又高于教材，具有设问巧妙、立意深远等特点，力图精心包装，以达到提升学生的数学核心素养、培养学生的创新意识、提高学生各方面的综合能力的目的.

教学目标 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值；会求函数的最值；(2)掌握用导数在研究函数单调性、极值和最值中的方法，提高观察、比较、分析、概括的能力，进一步体会数形结合、转化、分类讨论的数学思想；(3)养成多观察、勤思考、善总结的习惯，感受探索精神和成功的乐趣.

教学重点 用导数解决超越方程根的相关问题.

教学难点 构造函数，用导数证明不等式.

3 主要教学过程

3.1 自测反馈——温故知新

课前引导学生自主完成如下热身练习，课上拍照并投影展示(图1)，请学生上黑板画出函数的大致图象，感知函数的变化趋势.

图1

练习(1)已知函数f(x)=ex-x，求f(x)的单调区间.

(2)已知函数g(x)=x-lnx，求g(x)的极值.

(3)求证：lnx≤x-1.

波利亚“从最简单的做起”特别适用于解题教学.尽管是复习课，教学也必须做到低起点.事实上，如果简单的问题理解好了，复杂问题的难度也会下降.“大道至简”，理解好这个“道”，就可以做到举一反三、触类旁通.

3.2 研究试题——把握方向

问题已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，求a.

师：这是2022年新高考I卷最后一道大题的第(1)题，主要考查选择性必修第一册第五章《函数的导数及其应用》.这一章节内容是每年高考的必考内容，因为它能够涉及较多高中数学学习的基础内容、思想方法和核心素养.今天我们一起来感受一下第(1)题，含参函数具有相同的最小值，求参数a，该如何处理？

设计意图高考试题既是服务选材的尺，又是引导教学的旗.新一轮高考改革提出“一核四层四翼”，积极促使命题向素养导向发展，因此要研究试题，捕捉试题的内容、难度等，抓住本质，归纳解题方法.

生1：我通过观察，发现当a≤0时，这两个函数都是单调函数，没有最小值.因此我们只要求当a>0时函数的最小值，再利用最值相等，直接建立关于a的方程.

解(1)若a≤0，则函数y=ex与y=-ax在R上都单调递增，所以f(x)=ex-ax在R上单调递增，所以函数f(x)没有最小值.若a≤0，函数y=ax与y=-lnx在(0,+∞)上都单调递减，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，所以函数没有最小值.

师：对于这个超越方程lna+alna+1-a=0，处理方法有哪些？

3.3 夯实基础——优选方法

师：很好，思路清晰，思维严谨！回顾上述解法构造的差函数中含有(x+1)lnx乘积式，对其进行一次求导后，导函数中仍会含有lnx，判断导数正负时遇到困难，此时生2对导函数进行二次求导，就可以消除lnx再进行判断，此法运算过程较复杂.构造函数的好与坏直接影响着求解过程的繁与简，根据函数的结构特征，请你观察一下还可以怎样处理，简化运算？

师：两种方法没有本质的区别，但生3的审题分析很有必要.对于复杂的运算问题，如何选择适当的解题策略值得我们思考，很好！还有其他的方法吗？

师：很好！利用结论使运算过程简化了很多，但是提醒同学们注意不等式放缩的结论(*)需要进行证明后，才可以在解答题中使用.还有其他想法吗？

师：非常好！通过进一步审题分析，同学们给出了很多解法，简化了运算过程，真是“磨刀不误砍柴工”啊！

此题的解题思路可以思维导图的形式呈现(图2).

图2

设计意图在高三数学复习中，一方面要引导学生重视知识的生成与发展，多想多悟，深化对数学本质的理解；另一方面要帮助学生夯实基础，积极引导学生尝试应用多种方法、探索解决问题的思路，做好“一题多解”的训练与反思，从通性通法中汲取解题思路，优选方法，简化计算.在思考过程中，通过反思不断优化思维过程，不仅能提高学生思维的敏捷性，更能帮助学生形成严谨求实的科学精神.

3.4 勇于创新——提升素养

师：2022年新高考I卷的最后一道大题，小巧玲珑，结构新颖，思维巧妙！第(1)题的设置比较基础.翻看苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册“5.3导数在函数中的应用”，第198页练习3(2)：用导数证明f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上是减函数；第200页练习4：求函数y=x-lnx,x∈(0,2)的极值；第202页练习5：求函数y=x-lnx,x∈(0,1]的值域.可以发现，命题人将教材习题进行了改编，将指对函数与参数结合，考查函数的单调性、零点存在定理等知识.

师：对第(1)题，同学们一定还能找到其他解法，限于课堂时间，解题暂告一段落，期望同学们课后继续探讨.大量高考试题源于教材而又高于教材，你能体验一次命题人的角色将第(1)题进行再改编吗？

(1)若a<0，当f′(x)<0时，x∈(-∞,1)，f(x)在(-∞,1)上单调递减；当f′(x)>0时，x∈(1,+∞)，f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)不存在最大值.若a<0，当g′(x)<0时，x∈(0,e)，g(x)在(0,e)上单调递减；当g′(x)>0时，x∈(e,+∞)，g(x)在(e,+∞)上单调递增，所以g(x)不存在最大值.

师：大家一定还有类似的编题，由于时间关系不一一交流了，我们将在下节辅导课上再交流.通过自己编题，不仅可以体验命题人的感受，还可以提炼出问题的本质，更好地把握问题的来龙去脉.

2022年新高考I卷的最后一道大题的第(2)题，请同学们课后自主探究，在后续教学中再交流.通过今天这一题的一题多解，确立求解对象、探求求解思路、选择求解方法是解决问题的重要步骤.另外，解题后的反思尤为重要，要养成解题后总结解题规律，提炼思想方法的好习惯.

设计意图教师通过改编题的方法指导，引导学生寻找题源，使学生重视教材.通过设计创新问题，既训练学生的思维力和意志力，深化对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的考查，又使学生在遇到新问题时能够以不变应万变，会思考、敢尝试、能突破，切实提升数学学科核心素养和创新能力.

3.5 课堂小结(略)

4 回顾与反思

本节课围绕高考题展开多种解法的探究，充分调动了学生思维的积极性.教学活动以学生的思维逐步深入为轴线展开，采用问题探究与问题反思的形式，在探究中获得知识与方法，掌握知识的来龙去脉，在知识的应用中形成方法，在变式训练中深度探寻问题的本质.

导数的综合应用对运算能力的要求比较高，而运算是学生的软肋，运算能力的提高不光要靠练习，仅靠练习是难以提高运算水平的，还需要教师适时点拨、提醒，使学生时刻想着自己的运算目的，并根据式子结构调整运算策略，根据定义、图象直觉等化简运算、改进运算方法达到简化运算的目的.

“授人以渔”而不是“授人以鱼”，“立足根本，方能久远”.高中数学教学中“渔”是什么？它就是学科的思维特征，因此教师的数学教学任务，很大程度上是要通过教学活动让学生领悟数学学科的思维特征，并能够用这种学科的思维方法理解数学问题，进而解决问题.

在高三系统复习过程中，教师要鼓励学生利用已有的学习和生活经验，根据自己的思维特点从不同角度思考问题，用不同方法解决问题，使学生掌握常见的解决问题的策略.一方面，对于学生呈现的多种策略教师要给予肯定，让每位学生有成功的体验.另一方面，要鼓励学生养成回顾反思的习惯，在反思中提升自己，在不断提出问题、探索问题、解决问题的过程中，获得发现问题、分析问题、解决问题的经历.在达到能力提升的同时要鼓励学生不畏难，相信自己独立解决问题的能力.教师要给学生足够的时空，由记忆和传授教学转向再创造教学.复习过程是知识的“再回忆”过程，更是知识的“再发现”和“再创造”过程.高三复习中要知识与能力、素养并重，思想与方法同行.

5 学生课后感受

生1：举一反三，闻一知十.这节数学课让我们收获良多.我们在常规思路之外，又拓展得出设而不求的方法，并与先前所学的切线放缩相结合，共总结得出4种不同的思路.这不仅开拓了我们的思考方向，更锻炼了我们综合解题的能力，增长了我们将所学与所想结合的能力，使我们对未来高考所考查的方向有了初步的感受与认知.

生2：在庞老师的教导下，我们学习了如何运用导函数的多种方法解答不等式，以下是我在这节课上的一些感悟和收获.

首先，基础是关键，想要快速、准确地解答有关问题，首先要打好基础，求好导，注意定义域等细节.庞老师在课前让我们写的几道基础的利用导数证明不等式的题目就充分证明了这一点.

然而，出现在考场上的往往是更加复杂的问题.当我们遇到时，应沉下心，一步步做好.以这次写的这道题目为例，在毫无头绪时，我们可以先对这两个函数进行求导，在a判断取何范围的值时，由f(x)与g(x)存在最小值，就可以通过f′(x)初步判断a的范围.然后，我们可以选择令f′(x)=0，g′(x)=0来找到它的极值，并通过列极值表的方式来分别找到f(x),g(x)的最小值，并令二者相等.这样一来我们就可以得到一个关于a的等式.在这里，我们可以构造差函数，通过求导，求得单调性和零点来解决问题，算出a的值，也可以使用分离参数或先前庞老师教过我们的切线放缩方法快速解得(大题中用放缩公式需证明)，还可以使用设而不求的方法，巧妙求得a的值.

在这堂课上，我们不仅学习到了更多的解题方法，也开拓了思维.为了巩固，我们在课余时间把4种方法整理了下来.相信通过这一次学习，下一次我们遇到与函数相关的题目时会更加从容.