挖掘教材资源 夯实单元复习*

范建兵 (江苏省苏州高新区景山实验初级中学校 215163)

董林伟先生曾说过，数学学习的规律一般为先进行知识的新授课学习，再逐步深入，最后通过反思进行复习巩固提升，从而对知识形成整体性的认识.新授课主要解决三个问题：为什么学、学什么、怎么学，而复习课则相应解决知识间有怎样的实质联系、知识如何运用、知识运用的智慧在哪里三个问题[1].数学教材是学生数学学习最普及、最有效的工具，是最能体现数学课程标准的教学资源.在单元复习教学中，应立足于课程标准的精准要求，在宏观上理解单元教学内容在整个教材中的地位和作用，从微观上把握单元教学内容所蕴含的四基，深入研究教材，统整核心内容，挖掘教材内涵，凸显教材的基础功能和教学价值，达成知识更清楚、结构更清晰、思路更明确、学习更有效的复习目标，提升学生学习自信与理性精神.现以人教版七年级下册第五章《平面直角坐标系》为例，结合教材所提供的教学资源，谈谈对单元复习的思考.

1 以问理知：梳理核心知识，增强问题意识

问题是数学的心脏，数学课堂教学本质上是对问题的教学.好的问题具有两个特征：一是基于学生认知，符合学生的最近发展区，能够驱动学生主动思考、积极探究、互动交流；二是符合教师的教学风格，有利于教师引导学生实现高质量和高立意；能把培养学生的问题意识、提高学生提出问题和解决问题的能力贯穿于整个问题之中[2].高效的单元复习应该以问题为载体，将整个单元涉及的概念、性质、应用等数学知识统整起来，将复杂的、抽象的数学知识以问题的形式生动灵活地呈现在学生面前.人教版教材第83页设置了如下问题供复习选用.

1.在日常生活中，我们可以用有序数对来描述物体的位置.以教室中座位位置为例，说明有序数对(x，y)和(y，x)是否相同以及为什么.

2.平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成.请你举例说明如何建立平面直角坐标系，在直角坐标平面内描出点P(2，4)和原点的位置，并指出点P和原点的横坐标和纵坐标.

平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成I，II，III，IV四个部分，这四个部分依次称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.请你在直角坐标平面内描出点A(2，1)，B(-2，1)，C(-2，-1)，D(2，-1)的位置，并说明它们所在的象限.

3.平面直角坐标系具有广泛的应用,请你举例说明它的应用.

复习体系中的问题，一般都应具有代表性和指向性，能够在掌握知识技能、提升思维能力、激发数学兴趣、开阔数学视野及培养创造精神等方面发挥重要的作用.以上几个问题不仅有常规性问题(知识指向)，也有开放性问题(应用指向)，能够考查学生的判断力、理解力和创造力.问题1意在让学生理解坐标的有序性，从而认识到学习平面直角坐标系的必要性；问题2意在让学生认识平面直角坐标系中的相关概念，感悟数与形的相互转化；问题3开放而多元，指向数学的应用性和价值性，引导学生用数学的眼光观察世界，理解数学源于生活又服务于生活.复习时通过对章节核心问题的提出与思考，引导学生全面梳理知识并加深理解记忆.这种问题的设计既要有知识性和艺术性，更要有指向性和整体性.除了上述问题，复习中还可以再增加几个知识性的问题，如：数轴上的点和平面直角坐标系内的点在表示上有什么异同？已知点关于坐标轴对称点的坐标与原坐标有何关系？能否在平面直角坐标系画出一个边长为4的正方形等问题，以帮助学生更全面、更完整地进行复习.

2 以图理知：梳理知识网络，构建整体观念

平时教学就像栽活一棵树，单元复习好似育好一片林.栽活一棵树容易，育好一片林要则要花更多功夫.单元复习不是老酒装新瓶，而是要让旧的知识带来新的效率.2022年义务教育课程标准对课堂教学提出了新的要求，复习课堂更要体现新课程的理念，构建知识的结构化和整体性.因此，复习时不仅要引导学生通过“以问理知”实现对知识的全面回顾，更要促使学生理解各个知识点之间的内在关联，帮助学生将教材内容进行归类、综合与整理，形成知识组合，建立整体结构.通过以图理知的方式帮助学生构建知识网络，能够促进学生的整体认知，带动学生的单元学习观念.

人教版教材每一单元的复习部分都设计了知识结构图，供师生复习时参考.图1是《平面直角坐标系》一章的知识结构图(教材第83页),从中可以清楚地了解本章的核心内容：由确定点的位置引出平面直角坐标系的概念，再通过点的坐标来表示点的位置.除此之外 图1中还渗透了知识学习的必要性和数学思想方法.从教材编排的教学内容出发，也可以梳理出图2所示的知识结构图，知道这一章学习几节内容、每节的主要内容是什么，但这样的图示缺少知识之间的关联性，也不能体现知识背后对数学思想和学习能力的教学要求.

图1

图2

从复习的角度看，上述两图都略显抽象和单薄，大部分学生只见森林而不识树木.为了让学生对细微的知识点有更清楚的了解，帮助学生将零散的知识串联成网，以点带面，提高复习效果，可以让学生在复习时自己绘制知识网络图，把一系列的知识信息变成容易记忆的、有逻辑关系的图画，让学生在梳理知识的同时理解知识结构、明确知识关联，实现复习的针对性和有效性.图3和图4是学生在本章复习时绘制的知识网络图，虽然逻辑关系稍有混乱，知识内容不够完整，但这样的知识网络图有学生自主构建和自我思考的过程，能够体现学生在知识梳理和逻辑表达上的个性思考，有利于提高学生的记忆效果，形成整体学习观念，培养学生的认知能力和思维能力.

图3

图4

3 以题理知：剖析典型例题，提高应用意识

以问理知唤醒学生对知识的回忆，以图理知构建知识的整体性和关联性，但学以致用才能真正实现数学学习的应用价值.数学家波利亚认为：中学数学教学首要的任务就是加强解题的训练.单元复习时可以通过对教材中典型例题或习题的再认识和再探究，更好地达成单元复习的目标.从解题中的“是什么”想到“为什么”，从“解题感悟”到归纳“思想方法”，这是一个自然的、合理的、科学的提升过程[2].美国教育心理学家加涅认为，任何一个学习过程都是有层次的，由简单到复杂、由低级到高级排列而成.由于学生的学习存在主体差异性，因此单元复习的例题设计要紧密结合学情，遵循学生的认知规律，选择更有典型性和知识性的例题，以帮助学生更好地回顾、梳理、重构单元主题内容.

(1)选题

平面直角坐标系这一章要注重学生从具体到抽象的能力培养，让学生从数表示点坐标过渡到用字母表示点坐标，克服七年级学生对字母的生疏感和畏惧感，并利用坐标法解决相关问题.因此，我们需要选择基础性、典型性的例题，既要让知识能够有效聚焦，体现数学思想方法，又要让学生感悟知识的应用，实现能力的增长.教材第84页第2题就是这样的好题(图5).

图5

(2)讲解

例题的选择要能够体现从特殊到一般、从简单到复杂，兼顾不同学生的认知水平.复习课中的例题不能只讲是什么，更要讲为什么，也要培养学生问题解决的一般策略，逐步引导学生思考如何做、用什么方法做、为什么这么做、这一类问题怎么做.将题目的归纳提炼成解决问题的规律，有利于学生理清问题的本质，提升学生的抽象意识和应用能力.上述例题对于大部分学生来说是比较容易解决的，但从章节复习的视角看还是建议从问题入手，让学生在思考与探究中唤醒与生长：①你能写出这个多边形的各个顶点坐标吗？②坐标(2，4)和坐标(4，2)表示的是同一个点吗？③这些顶点中哪些是关于坐标轴对称的？④你能求出这个多边形的面积吗？⑤移动坐标系或者八边形，点的坐标会发生变化吗？ ⑥从题中你能够感悟到哪些数学思想方法？你还能提出哪些与本图形有关的问题等.经典例题的价值就在于它的基础性、应用性和融合性，通过对以上几个问题的思考，引导学生用数学的眼光观察图形、用数学的语言表达问题，全面提高学生的数学素养.

(3)引申

一个好的数学问题，除了结论具有知识性和应用性，更需要有一定的推广价值.皮克定理就具有这样的推广潜力，它可以推广到更一般的多边形，边可以交叉，中间可以挖掉多边形，还可以推广到不同形式的格子点，甚至可以推广到三维空间的多面体.这样的引申重点不在于皮克定理是什么，而在于如何去发现、探索、猜想并证明一个定理，这才是学数学的重要方面.希望每位学生都不要只顾着解题与技巧，而忽略了数学结论背后那些精彩而又美丽的探索与发现的过程.

杜威提出：“教育就是已有经验的重组和再造，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力.”新授课中单纯的数学活动或单一的知识联系，已不能再生数学经验，只有通过复习课将各个零散的知识和技能、方法和思想整合成一个系统，让学生的知识建构更全面、更系统，方法结构更严密、更优化，从而将知识与能力融为一体[1].从数学的本质出发，深度挖掘教材复习资源，在抽象、逻辑推理和应用中寻找复习的一般策略，能够促进学生的深化和发展，提升学生的数学核心素养.