从一根针里找到圆周率

王培贤

如果给你一根针，你能求出圆周率吗？这听起来就像是要鸡吃完了米、火烧断了锁、狗舔完了面的经典剧情——你怕不是在为难我？此时，若是蒲丰在，兴许要插上一句：“还得是我呀！”

18世纪的法国正处于启蒙运动的热潮中，科学和理性的思想深入人心，各个领域的名家大拿如雨后春笋般发表着自己的学说和著作，蒲丰就是其中一位。他年轻时修习法学、数学，乃至植物学，干一行，行一行，27岁时就当选了法国科学院院士，还在1771年接受了法国国王路易十五的封爵，可谓人生圆满，但他的故事没有就此结束。

1777年，年至古稀的蒲丰不再像年轻时那样锋芒毕露。是日，春和景明，波澜不惊，蒲丰闲来无事，邀请一群老友共叙往昔。可到了蒲丰家，蒲丰却示意老友：“先别急，我有个好玩的小游戏给大家展示一下。”老友们面面相觑。只见蒲丰拿出一张纸铺在桌子上，纸上事先画好了一条条距离相等的平行线，然后抓来一把小针分给老友，每根小针的长度正好是平行线间距的一半。准备完这一切后，蒲丰捏着高脚杯，优雅地宣布：“现在，请各位把小针挨个往纸上扔吧！”老友们心里犯嘀咕，不知道这家伙葫芦里卖的什么药，但出于对蒲丰的信任，大家还是照做了，把小针一根一根胡乱地扔在纸上，扔完一把又捡起来继续扔，蒲丰则在一旁紧张地写写画画。就这样，大家忙碌不停，完全忘记了今日聚会的缘由。

良久，蒲丰才停下笔，抽出手帕擦了擦额头的汗，高声宣布：“朋友们，方才我一一记录了大家的投针结果，总共投了2212次，这其中与平行线相交的次数是704次！各位知道这代表什么吗？”不等众人回答，蒲丰飞快地做了一个除法：“总数2212与相交数704的比值约等于3.142，而这，就是圆周率π的近似值！”

听到这里，老友们一下子清醒了。这群人都是各行各业的精英能手，自然知道圆周率这一学术热点，可这圆周率从哪儿来的？连圆的影子都没见着啊！满意地看到老友们的震惊表情，蒲丰得意扬扬地解释道：“诸位不用怀疑，这不是一个巧合，而是无数个巧合堆积出来的确定。你们看，不需要圆规，也能求出π的近似值，只要你愿意，投得越多，结果就越精确。至于其中原理嘛……敬请关注鄙人新作《或然性算术试验》！”

这便是数学史上著名的“蒲丰投针”试验。今天的我们可以客观评价它的意义：首次用几何形式表达概率问题，首次使用随机试验处理确定性数学问题，推动了概率论的发展。

那么，蒲丰到底是怎么做到的？在《或然性算术试验》中，蒲丰给出了该问题的结论：若一根长度为l的小针，抛在横线间间距为d≥l的均匀横纹纸上，则小针落在一個与某条横线相交的位置的概率恰为 p=       。我们不妨设想一个相对简单的推导过程来帮助理解。

首先，抛开蒲丰试验，咱不投针，投铁丝。将一根长度大于平行线间距的铁丝丢在纸上，可能产生的交点数为2个、1个或者不相交。然后改变一下思路，把同样的铁丝弯折后扔到纸上会怎样？显然这样更难相交，但是一相交，就有两个交点。如果考虑交点总数的话，两者的结果可能是相近的。由此，我们做一个假设：当投掷次数足够多的情况下，交点总数与铁丝的长度有关，与形状无关。而由于铁丝越长，就越容易与平行线产生交点，我们可以进一步推出：交点总数m与铁丝长度l成正比，比例系数为k，即m=kl。

蒲丰试验的神奇之处，在于全程未见圆，却能得出圆周率。现在，有了上面两个假设，我们回到试验中去，把隐藏在背后的圆“揪出来”。怎么做？再找一根铁丝，弯折成圆圈状，使其直径恰好等于平行线的间距d，此时铁丝长度为l=πd。可以想象，不论怎么丢铁丝，都会与平行线有2个交点，当投掷次数为n时，交点总数m=2n，于是有k=     ，有点意思了吧？再把k代入前式，变形后可以得到    =     ，即铁丝与平行线相交的概率p=      ！现在看看蒲丰先生的小针：小针长度（l）为平行线间距（d）的一半，这不就是2l=d嘛，在这种情况下p=   ，圆周率确实可以由投针相交结果逼近。

你以为到这里就圆满结束了？不，这才哪到哪。前面说过，这个方法是为了便于理解而设计的，实际上对证明的严谨性做出了让步。经过两百多年的发展，关于蒲丰试验的研究经久不衰，有标准的几何概型和积分证明，有蒙特卡洛方法，也有各国学者对蒲丰试验的诸多改良，若是都讲一遍，那本文恐怕要比蒲丰的《或然性算数试验》还要厚了。令人感叹的是，蒲丰在古稀之年的有趣试验，如今已然成了一棵参天大树，这位博物学家也在天才辈出的数学领域留下了自己的名字，在两百多年后的今天仍然散发着闪耀的智慧光芒。