合理利用转化思想 突破学生思维难点

沈铭

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）提出：“学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题；促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验；培养学生良好的学习习惯，形成积极的情感、态度和价值观，逐步形成核心素养。”

小学数学课程是一门特别注重思维培养的学科，而鉴于年龄特点，小学生正处于由形象直观思维向逻辑抽象思维过渡的关键时段。为此，教师要有意识地运用转化思想，根据学生已有的生活经验和知识储备，引导学生对比分析转化后新旧知识的联系，形象直观地揭示出数学知识本质，从而达到最佳的教学效果。

一、以数化形，在明晰算理中提升推理意识

小学阶段对“数的运算”这一部分的教学，不单单指能快速准确地计算出结果，还要求学生能理解并掌握算理的形成过程。小学生对一些抽象算理的理解存在一定的困难，他们的思维方式更倾向于直观具体的感知。为此，教师要能根据学生的认知特征，在教学中渗透转化思想，借助图形，把抽象的、难以理解的算理直观、具体、形象化，以便于学生理解和掌握。

例如，在教学人教版数学教材四年级下册“乘法分配律”一课时，教材的编排是以問题情境“一共有25个小组，每组里有4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水，一共有多少名同学参加这次植树活动？”呈现。很多教师是根据以下板书进行教学的。

方法1：                      方法2：

①每组一共有几人？ ①挖坑、种树有几人？

4+2=6（人）                4×25=100（人）

②一共有多少人？      ②抬水、浇树有几人？

6×25=150（人）            2×25=50（人）

③一共有多少人？

得出结论：（4+2）×25=4×25+2×25=100+50=150（人）

通过对比两种算法（4+2）×25和4×25+2×25，从而引导归纳出乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这就叫乘法分配律。整个引导归纳的教学过程，都是通过引导学生分析数量关系、寻找不同的解题思路，最后通过对比计算结果和算式特征来归纳乘法分配律。这样对于小学生的年龄特征来说不但是抽象难懂，而且是枯燥无味的，因而教学效果不高。教学的时候，教师可以借助图形的直观来进行表征（如下页图1）。

学生很快就能借助图形明白：要求一共有多少人，可以先求负责挖坑、种树的一共有多少人，再求负责抬水、浇树的一共有多少人，最后再求一共有多少人；也可以先把挖坑种树的4个人和抬水浇树的2个人看成1组，再算出这样的25组，也就是一共有多少人。此时，借助图形就能直观、具体地帮助学生明晰乘法分配律的算理，即明白求25个6是多少与求25个4与25个2的和是多少，都是表示一共多少人，从而把乘法分配律的内涵理解清楚，达到良好的教学效果。

二、以形化意，在提升符号意识中理解本质

在小学阶段，学生对概念的理解是其学好数学的前提。在日常教学中我发现，很多学生对概念的学习都是用死记硬背的方法，而对概念所表示的真实内涵，学生很多时候都处于“知其然而不知其所以然”的状态。通过借助几何直观厘清概念的内涵与外延，可以让学生真正理解概念的本质。学生通过对概念本质的理解，建立与之相关的知识结构体系，进行结构化学习，也能够促进直观形象思维向抽象思维的转化。如果教师能够根据概念的本质内涵联系，将其转化成图形直观呈现，就能把抽象、难懂、枯燥的数学概念直观、具体、形象化，既降低学习难度，又激发学生的学习兴趣。此外，“以形化意”还能为学生后续推理能力的培养和结构化建构知识奠定扎实的概念基础，从而进一步提高学生的数学能力。

例如，人教版数学教材五年级下册“质数和合数”一课中，教师可让学生根据提供的若干个小正方形（3个、5个、8个、9个、12个），摆成1个长方形，并要求学生尽可能多摆几种。当学生摆完后（根据摆的结果，用一个乘法算式表示小正方形的个数），再让学生根据摆的结果进行分类。学生很快就能摆出长方形的个数并把它分成两类，即3个和5个小正方形只能摆一种长方形，而8个、9个和12个小正方形都能摆最少两种长方形。在这样直观呈现的基础上，教师可再引导学生去观察表示每个长方形的算式，想想这些算式的因数有什么特点。学生很快就会发现：只能摆1排长方形的小正方形个数的因数只有1和小正方形的个数（如果摆2排就会不够或多出来）。而能摆2排以上的小正方形个数的因数，除了1和小正方形的个数以外，还有其他因数。此时，教师顺势引出质数和合数的概念：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。这样，学生通过观察发现，摆出长方形的种数和所需小正方形的个数契合质数与合数的意义本质，就能生动直观地形成对质数与合数意义的深度理解和掌握。

三、化难为易，在几何直观中感悟规律

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，二者结合万般好，倘若分离万事休。”数学学科具有很强的思维性和逻辑性，而小学生对一些抽象数学规律的认知还存在一定困难。如果教师在教学时能充分借助几何直观，根据描述画出相应的图形，再通过分析图形建立形与数的联系，就能使得学习内容变得形象、直观、具体。把抽象的数学规律简单化，这样学生就能借助几何直观更好地把握问题的本质，明晰思维的路径。

例如，在教学人教版数学教材六年级上册“数与形”一课时，教师引导学生用不同颜色的平面图形（○、△、□）来表示下列三个算式（要求既便于看出各个加数，又便于计算）：

①1+3=？

②1+3+5=？

③1+3+5+7=？

学生用正方形来表示算式的时候（如上页图2），教师引导学生通过看图来探究其中的规律。

师：如何又快又准确地算出正方形的个数？

预设1：一个一个地数（教师追问，还有其他更简单的方法吗）。

预设2：数出1排有几个，再数有几排（教师追问，和第1个方法比，你会选哪种方法）。

师：请同学们再摆一摆1+3+5+7+9，并用乘法表示正方形的个数，然后观察对比这几个加法算式和乘法算式，说说你有什么发现。

预设1：加法算式从1开始加。

预设2：每个加法算式的加数都是奇数（教师追问，这些奇数又有什么特点？学生回答相邻的奇数）。

预设3：每个加法算式有几个加数相加就是几乘以几。

师：如果是计算1+3+5+7+9+11，你能快速地用乘法表示吗？说说你是怎么想的？如果是n个加数相加呢？

教师可以像这样合理运用图形，根据学生已有的基础知识，引导学生从大正方形的颜色去观察，学生可以用加法累加不同颜色来算出所需小正方形的个数，也可以从乘法的意义去计算所需小正方形的个数。教师再引导学生根据每组加法算式与乘法算式的对比与分析，探索出从1开始的连续奇数之和与“正方形数”之间的关系。引导学生从不同角度去观察、思考，开展直观、生动的阶梯螺旋上升式的探究教学，能够化抽象为具体，有效提高学习效果。

四、以旧化新，在勾连方法中提升模型意识

著名数学家波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现。因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律和联系。”在教学中，任何一个新知识，它都是学生已有知识体系的延伸。在实际教学中，教师如果能根据学生已有的知识基礎，通过一定教学情境的设计，把新知转化成与之关联的旧知，并通过引导学生观察、分析新旧知识的联系，从而归纳总结出新知收获，也能达到事半功倍的教学效果。

例如，在教学人教版数学教材五年级下册“异分母分数加减法”一课时，教师通过出示[14][ ]+        [12][ ]，很直观地就能让学生明白，因为[14]和[12]的分数单位不同不能直接计算，先通分，把它们的分数单位转化成相同的分数，就很自然地把异分母分数加减法转化成同分母分数加减法。然后，再引导学生观察以下4种算式，思考为什么在列竖式计算整数加减法的时候要个位对齐，在计算小数加减法的时候要小数点对齐，且在计算异分母分数的时候要通过通分把异分母分数加减法转化成同分母分数加减法再计算，寻找它们在计算方法上有什么相同之处。

通过对整数、小数、分数的第一级计算方法的勾连对比学生会发现，整数加减法列竖式各位对齐、小数加减法小数点对齐、异分母分数通分成同分母分数，都是为了把它们转化成计数单位相同，这样就能直接进行计算。教师根据教学目标，有意识地把与之相关的新旧知识在本质上进行勾连对比，能帮助学生在方法上建模，知识上形成体系，不仅符合小学生的年龄、思维特点，还能达到较好的教学效果。

总之，新课程改革大背景下的数学教学已经颠覆以往把现成的结论教给学生的教学模式，它是新形势下“数学活动”的教学，需要教师有意识地引导学生自己探索知识产生的起因，探索其与其他相关知识的联系，并在探索过程中形成完整的知识体系。教师根据学生已有的知识基础巧妙地运用“转化”进行教学，可以将数学知识变旧为新、变难为易，将抽象变直观，将不规则变规则，进而降低学生的学习难度，既培养了学生的思维能力，又促进了学生数学核心素养的全面提升。

（责任编辑：杨强）