二次直纹面的判定定理

安佰玲，宋玉辉，朱 菊，张 岩

（淮北师范大学，安徽 淮北 235000）

1 引言及预备知识

二次直纹曲面，除了退化为平面的情形，包括柱面、锥面、单叶双曲面和双曲抛物面，是空间解析几何研究的重要曲面之一。二次直纹面在实际生活中具有重要应用，文献［1-3］讨论了其在建筑、机械及水利工程中重要的应用，文献［4］以双曲抛物面为基本单元，提出了一种新型的光滑复合双曲面结构。二次直纹面的判定方法和条件是解析几何研究的重要问题：文献［5］与［6］利用不变量和半不变量给出了二次直纹面的经典判别法；文献［7］与［8］利用直线的参数方程及其方向向量的存在性，得到了二次直纹面的判定定理；文献［9］根据析因子法，根据三条直母线方向向量是否共面，分类讨论了二次直纹曲面的等价条件。根据二次曲面的代数方程的特征，不少作者利用二次型和矩阵特征值理论研究其几何特征，如文献［10］与［11］研究二次曲面圆截面的存在性问题和求解方法。本文将借助于矩阵特征值理论，给出二次直纹面的判定定理及求解方法，这种方法不仅能够给出各种二次直纹面的判定条件，得到其标准方程，同时给出变量之间的变换公式。从不同角度研究二次直纹面的判定条件，不仅有助于认识这类曲面的几何特征，同时还为利用数学软件绘制二次直纹面的图形，提供了理论依据和可行的算法［12］。

为方便定理的叙述，笔者首先利用二次型理论将一般三元二次方程F(x,y,z)=ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33z2+2ɑ12xy+2ɑ13xz+2ɑ23yz+2ɑ14x+2ɑ24y+2ɑ34z+ɑ44=0 转化为只含平方项的三元方程f(x′,y′,z′)=0。令

于是

对于二次曲面S:F(x,y,z)=0，存在正交变换

使得Q′AQ=diag(λ1,λ2,λ3)。于是

亦即

令Fi(x,y,z)=Aix+Biy+Ciz+Di,i=1,2,3,4,对于二次曲面S:F(x,y,z)=0，若

引理1［9］设二次曲面S:F(x,y,z)=0，若F(x,y,z)可以分解成（3）的形式，则二次曲面S为二次直纹面。

引理2［5］在空间直角坐标系中，只含两个变元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。

引理3［5］设二次曲面S:F(x,y,z)=0，除了退化为平面的情形，二次直纹面利用不变量的判定条件是

（i）单叶双曲面：I3≠0,I2≤0,I4＞0;

（ii）双曲抛物面：I3=0,I4＞0;

（ⅲ）二次锥面：I3≠0,I2≤0，I4=0;

（ⅳ）椭圆柱面：I3=I4=0,I2＞0，I1K2＜0;

（ⅴ）双曲柱面：I3=I4=0,I2＜0，K2≠0;

（ⅵ）抛物柱面：I3=I4=I2=0,K2≠0.

2 主要结论及证明

设λ1,λ2,λ3是二次型Φ(x,y,z)=ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33z2+2ɑ12xy+2ɑ13xz+2ɑ23yz对应的实对称矩阵A的特征根，也称为二次曲面S:F(x,y,z)=0 的特征根，根据零特征根的个数和特征根的符号，分成三种情形讨论二次直纹面的判定条件。

作平移坐标变换

二次曲面S:F(x,y,z)=0 在原坐标系通过旋转变换（1）和平移变换（5）复合后的坐标系O″-x″y″z″中的简化方程

证毕

定理2.2设λ1,λ2,λ3中仅有一个零特征值λi，若βi=0 或者βi≠0，λlλm＜0,(l,m≠i)，则二次曲面S为二次直纹面

证 若λ1,λ2,λ3中仅有一个零特征值λi，不妨设λ1=0，由（2）可得

当β1=0，由引理2 可知，方程（7）表示母线平行于x轴的二次柱面。

当β1≠0，并且λ2λ3＜0,方程（7）的左端可以分解成（3）的形式，因此二次曲面S是直纹面。此时，将方程（7）配方可得

将（8）式代入（9）式 中，得到二次曲面S:F(x,y,z)=0 在原坐标系通过旋转变换（1）和平移变换（9）复合后的坐标系O″-x″y″z″中的简化方程

此时二次曲面S:F(x,y,z)=0 为双曲抛物面。

同理可证只有λ2=0 或者只有λ3=0 的情形。证毕

定理2.3设λ1,λ2,λ3中仅有一个非零特征根λi，则二次曲面S必为二次直纹面，并且

（ⅰ）当βl,βm不全为零（l,m≠i），二次曲面为二次柱面；

（ⅱ）当βl=βm=0（l,m≠i）且，二次曲面为两个重合的平面；

（ⅲ）当βl=βm=0（l,m≠i）且，二次曲面为两个平行的平面。

证 若λ1,λ2,λ3仅有一个非零特征根λi，不妨设λ1≠0，由（2）可得

由引理1 可知，方程（11）表示的曲面为二次直纹面，并且

（ⅰ）当β2,β3不全为0，分两种情形讨论：

若β2,β3中仅有一个为0，由引理2 可知，二次曲面S:F(x,y,z)=0 表示柱面。

若β2β3≠0，方程（11）的左端可以分解成（3）的形式，即

由引理1 可知二次曲面S是直纹面。此时，方程（11）同解于方程组

易求得直母线Γt的方向向量

vt={0,2β1λ1,-2β2λ1} ∥{0,β1,-β2}，于是二次曲面S:F(x,y,z)=0 为柱面。

（ⅱ）当β2=β3=0，将方程（11）配方可得

同理可证只有λ2≠0 或者只有λ3≠0 的情形。证毕

综上由定理2.1、定理2.2 及定理2.3 的证明过程，利用特征值可以分别给出二次锥面、二次柱面、单叶双曲面及双曲抛物面的判定条件。

推论2.1二次曲面S:F(x,y,z)=0 为锥面⇔λ1,λ2,λ3的符号不全相同，且

推论2.2二次曲面S:F(x,y,z)=0 为柱面⇔λ1,λ2,λ3中只有λi=0，且βi=0 或者λ1,λ2,λ3中只有λi≠0，且βl,βm不全为零（l,m≠i）。

推论2.1由定理2.2和定理2.3的证明可得。

推论2.3二次曲面S:F(x,y,z)=0 为单叶双曲面⇔λ1λ2λ3≠0，且存在λi,使得λiɑ*44＜0,λlλm＜0(l,m≠i),其中

推论2.4二次曲面S:F(x,y,z)=0 为双曲抛物面⇔λ1,λ2,λ3中仅有一个零特征值λi，且βi≠0，λlλm＜0,(l,m≠i)。

3 应用举例

例1［5，9］判断下列三元二次方程是否表示二次直纹面，如果是二次直纹面请指明其具体类型，

（1）x2+y2+z2-2xz-1=0；

（2）x2+y2+z2+2xy+6xz-2yz+2x-6y-2z+1=0；

（3）3x2+6xy+6xz+4yz-y+z=0.

（1）解法一 易求得，二次曲面的特征根和正交矩阵为

由于α′=(0,0,0)，从而β1=β2=β3=0,由推论2.2，方程x2+y2+z2-2xz-1=0 表示柱面。柱面的简化方程为y′2+2z′2-1=0

依据正交变换（1），x2+y2+z2-2xz-1=0 表示椭圆柱面，方向为

解法二 计算二次曲面的不变量和半不变量得I3=I4=0,I2=1 ＞0，I1K2=-3 ＜0，根据引理3，可以判断二次曲面为椭圆柱面。

（2）解法一 由R软件求得（结果精确到百分位），特征根和正交矩阵为λ1=4,λ2=1.56,λ3=-2.56,，由于α′=(1,-3,-1)，从而β1=0,β2=2.27,β3=2.43,于是,由推论2.1可得，方程x2+y2+z2+2xy+6xz-2yz+2x-6y-2z+1=0，表示锥面，依据平移坐标变换公式（5），可知锥面的顶点为(0,-1.46,0.95) 。

解法二 计算二次曲面的不变量和半不变量得I3=-16≠0,I2=-8 ≤0，I4=0;于是根据引理3，可以判断二次曲面为二次锥面。

（3）解法一 由R 软件求得（结果精确到百分位），特征根λ1=6.77，λ2=-1.77，λ3=-2.00，Q=，由 于，从 而β1=0,β2=0,β3=0.71,于 是,由推论2.3 可得，方程3x2+6xy+6xz+4yz-y+z=0 表示单叶双曲面，依据平移坐标变换公式（5），可知其中心为(0,0,0.355) 。

解法二 计算二次曲面的不变量和半不变量得I3=15≠0,I2=-22 ≤0,I4=6 ＞0;于是根据引理3，可以判断二次曲面为单叶双曲面。

4 结语

基于特征值和不变量的方法得到的结论一致，从计算量上相差不大，都容易通过数学软件求得。但是本文提出的方法还能够获得二次曲面更多的几何特征，比如顶点、中心、方向和主方向等，通过正交坐标变换公式和平移坐标变换还能够得到二次曲面的标准方程及在原坐标系中的位置。