事件触发下的网络化系统非脆弱耗散控制方案

葛 超，张亚欣，刘 月，王 红

（1.华北理工大学 人工智能学院，河北 唐山 063210；2.华北理工大学 电气工程学院，河北 唐山 063210）

0 引言

网络化控制系统（Networked Control System，NCS）一般主要包含传感器单元、控制器单元、执行器单元以及被控对象等功能节点。这些部件一般离散分布，并通过数字网络可实现远程的信息交互［1-3］；但是由于网络自身的缺点，比如时间延迟、丢包、数据量化等问题［4-8］，导致NCS 性能恶化，甚至失去稳定性。多数网络化控制系统采用基于周期采样机制（也称时间触发机制）的控制模式，所有的采样数据都通过网络进行传输，导致对资源不必要的占用。当采样周期是时变时，在最坏情况下，系统控制性能需求需要被满足。

为了解决时间触发机制带来的资源不必要的占用问题，在20 世纪90 年代，提出了事件触发机制［9］。当满足事件触发的条件时，采样数据被触发器传输。事件触发机制被证明是一个减少数据传输的有效方法［10-13］，和时间触发相比，它可以减少网络带宽的占用以及控制器设计的计算成本。文献［14-15］中，事件触发依赖于对系统状态的持续监控，以检测当前状态是否超过触发阈值。要构建这类触发器，需要对现有系统进行彻底改造，但实现起来比较困难。因此，设计出自触发控制器；但是自触发机制对系统的配置要求比较高，需要提前给出系统模型，所以自触发方案难以被应用。文献［16-17］中提出一个事件触发机制去决定数据是否被传输，它不需要特殊硬件去连续不断测量。

外部干扰的出现会影响系统性能，而耗散性能［18-19］的提出在保证系统稳定性前提下满足了系统的性能指标。在实际系统中，任何控制器都会遭受一些不确定因素，比如不确定参数的影响，它可能会导致NCS 不稳定，因此研究控制器非脆弱性问题［20］也很有必要。文献［21］中研究了基于事件触发的网络化控制系统，但它只考虑了网络诱导延时问题，没有考虑控制器的非脆弱性。

综上，本文研究事件触发机制下的网络化系统非脆弱耗散控制。耗散控制满足严格耗散性能，非脆弱性考虑控制器加性摄动问题。研究新型的双边泛函，借助线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）方法分析系统的稳定性和对控制器的设计。

符号说明 上标符号“T”代表矩阵转置，“-1”表示逆矩阵；矩阵“I”表示合适维度的单位矩阵；Rn、Rm分别表示n维和m维的欧几里得空间；diag｛·｝表示对角矩阵，col｛·｝表示矩阵的列；“*”表示为对称矩阵。

1 问题描述及事件触发控制

1.1 问题描述

考虑线性系统装置：

其中：x(t) ∈Rn是状态向量，u(t) ∈Rm是控制器输入向量，z(t) ∈Rm是控制器输出向量，ω(t) ∈L2[0，∞)是外部干扰，A、B、Bω、C是合适维度的常数矩阵。系统（1）的初始条件是x(0)=x0。

系统（1）的控制律为：

其中K是反馈控制器增益。

1.2 事件触发机制

一个事件触发机制通过非周期采样数据来建立传输事件机制。当采样周期为非均匀周期时，研究模型的建立、稳定性分析和控制器的设计具有重要意义。

本文考虑没有数据丢包发生的情况，采样器以hl为周期进行采样。通过事件生成器检测当前采样时刻和最后触发时刻tk之间的采样数据误差。下一触发时刻tk+1被设计为以下等式：

其中：e(il)=x(il)-x(tk)表示状态误差是当前采样时刻；定义ik作为下一次的采样时刻；hl=ik-il是非均匀采样周期；δ∈[0，1)和Φ分别是给定的阈值参数和设计的正定权重矩阵。

并非所有的采样数据需要通过事件触发机制传输，只有那些满足条件（3）的数据才能被传输。此外，采样数据传输的频率由δ和Φ决定。当δ=0 时，事件触发机制转变成时间触发机制。在每个采样时刻引入事件触发机制，以决定是否传输当前的采样数据。把零阶保持器中的保持间隔Ω划分成子区间，也就是Ω=∪Ωl(l=0，1，…，tk+1-tk-1)。

注1 当系统中考虑丢包发生时，要建立新的事件触发条件。

注2 式（3）提出的事件触发机制建立在非周期采样机制中，比一般的周期采样更具有普遍性和实际性。式（3）所设置的是离散事件触发机制，只在一个固定的采样周期测量状态、计算偏差，所以不需要额外硬件进行连续测量和计算。因为事件触发间隔必定大于最小的采样的周期，所以就直接避免了芝诺（Zeno）现象。

定义η(t)=t-il(t∈Ωl)，控制律（2）被重写为：

对于t∈Ωl和t≠il+τil，η(t)是分段线性函数，满足

假设网络时延的上、下界已知，分别为τ1、τ2。根据式（5）中给出的，那么所允许的采样周期可以设置为：

得到hl∈[0，η]。

在实际生活中，网络化控制系统中控制器含有许多的不确定参数。当摄动矩阵ΔK(t)出现时，可以建立以下的实际控制律：

ΔK(t)是加性增益摄动，满足以下关系：

其中：H、E是给定的矩阵，F(t)是满足以下不等式的未知矩阵：

联立式（1）和（6），系统（1）可以被重新写作：

1.3 定义及引理

引理2［23］假设0 ≤η(t) ≤η，并且Ψ1、Ψ2、Ψ是合适维度的矩阵，如果存在那么

Ψ+η(t)Ψ1+(η-η(t))Ψ2<0

引 理3［24］给定合适维度的正实矩阵M3=，H、E、F(t) 满足M3+HF(t)E+(HF(t)E)T<0，对于F(t) 满足式（8），当且仅当存在一个参数ε>0 时，以至于M3+εHHT+ε-1ETE<0，或者。

2 稳定性分析及控制器设计

2.1 稳定性分析

利用Lyapunov 稳定性分析可以得到系统渐进稳定的充分条件。

注3V3(t)是双边泛函，只需要保证它在采样点是正定的，它的导数在采样区间内必然是负定的。不仅考虑区间[il，t]，还考虑[t，ik]，这会使所得到的结果具有更小的保守性。

对泛函求导，得到：

Π0和Γs(s=1，2，3，4)定义在定理1 中。根据引理2 和舒尔补引理，Ξ0<0 是Ξ1、Ξ2的凸组合，可以得到式（10）。由式（15）可得到式（16）：

对式（16）两边从0 到tf求积分，得到

由式（17）可以得到严格耗散的定义1，系统是关于性能指标γ-严格耗散的且渐进稳定的。证毕。

2.2 控制器设计

应用定理1，在事件触发机制下的反馈控制器增益K可以被求得。

注4 值得注意的是，式（16）是非线性凸组合，因此不能被Matlab 里面的LMI 工具箱直接求得结果。在本文中，用一个简单的线性方法和一个锥补线性化（Cone Complementarity Linearization，CCL）算法来处理这些非线性项。可以得到：

对于XλI-1X项，本文用CCL 方法，定义G满足：

然后对式（18）进行求解，得到式a，式a 是把式（18）里面的非线性项用式（23）和（24）代替。以上最小化问题可以被CCL 算法解决。通过舒尔补原理，式（24）等价于：

算法1 CCL 算法。

第一步 寻找LMIs（式（18））和以下不等式的可行性解

设定k=0。

第二步 解决以下最小化问题。

联立式（18）和式（26）。

第三步 如果式（18）被满足，那么得到一个控制器K=YX-T。令k=k+1，如果k

3 仿真算例

例1 对于线性系统可以考虑以下参数：

在本例中不考虑耗散性能和非脆弱性，利用定理1，当Bω=0；ΔK(t)=0 时，对于不同的事件触发阈值参数δ得到时延η的最大上界，如表1 所示。

表1 文献［21］和本文在不同阈值参数δ所对应的时延η最大上界Tab.1 Maximum upper bound of time-delay η in literature ［21］ and this paper corresponding to different threshold parameters δ

由表1 可知，本文方法比文献［21］方法具有更小的保守性。

例2 考虑如下参数：

假设不存在外部干扰和非脆弱性，即ω(t)=0，ΔK(t)=0。系统可考虑为x˙(t)=Ax(t) +BK(x(t-η(t))-e(il))，在这个系统中应用事件触发机制，令δ=0.2，η=0.5，根据定理2，可求得反馈控制器增益K和事件触发矩阵Φ如下：

令初始值x0=[0.9，-0.7，0.2，0.3，0.6]T，对应的系统状态响应曲线如图1。

图1 多维系统的状态响应曲线Fig.1 State response curves of multi-dimensional system

观察图1，曲线逐渐接近为0，说明系统逐渐稳定。由此可以说明事件触发机制在NCS 中的可行性。

例3 考虑倒立摆系统，参数如下：

其 中M=10 kg，m=1 kg，l=3 m，g=10 m/s2。初始条件为x0=[0.98，0，0.2，0]T。

在此算例中考虑系统的严格耗散性能和非脆弱性。设ω(t)=0.01sin(2πt)，Q1=-0.3I，R1=-0.1I，S1=I，γ=500，ΔK(t)=[0.2 sint，0.2 sint，0.2 sint，0.2 sint]。

情况1 令δ=0，在这种情况下，事件触发机制被考虑为时间触发，即正常的采样机制。根据定理2，求得最大时延上界为η=0.774。当η=0.489 时，此时求得增益K=[44.489 2 104.361 4 987.607 7 563.741 7]。对应得到的状态反应曲线如图1 所示。令采样周期h=0.2，在t∈[0，15]区间内，所有的75 个采样数据都要被传输过去。图2 为在采样控制时得到的状态响应曲线。

图2 情况1的状态响应曲线Fig.2 State response curves of case 1

情况2 令δ=0.2，此时所用的机制为事件触发机制。在此情况下，根据定理2，求得时延的最大上界η=0.489，对应的反馈控制器增益K和事件触发矩阵Φ为以下结果：

对应K和Φ的系统的状态反应曲线如图3 所示。

图3 情况2的状态响应曲线Fig.3 State response curves of case 2

从图3 中看出曲线逐渐接近于0，说明系统逐渐稳定，可以很容易看出，本文设计的关于事件触发的控制器是有效的。

图4 表示系统的传输瞬间和释放间隔。令采样周期h=0.2，在t∈[0，15]区间，只有40 个采样数据被传输，传输率为53.3%，并非所有的采样数据被传输。

图4 传输瞬间和释放间隔Fig.4 Transmission instants and release intervals

通过情况1 和情况2 的对比来看，可以证明，事件触发机制可以减少采样数据的传输，从而节约带宽资源。

4 结语

本文研究了基于事件触发机制的网络化系统非脆弱耗散控制。采用事件触发通信机制，在网络化系统上进行建模，考虑加性摄动非脆弱性和严格耗散性能，在此模型上，使用新型改进的泛函使得稳定性结果具有较小的保守性。并给出了控制器的设计过程，求得控制器增益和事件触发机制矩阵。事件触发机制的引入，减少了采样点的传输，节约了带宽资源，数值仿真结果证明了本文设计方法的有效性。