《多边形的面积》整理和复习策略

2023-02-24广东省广州市从化区街口街团星小学欧阳伯祥

新教育 2023年5期

□ 广东省广州市从化区街口街团星小学欧阳伯祥

在多边形面积复习课教学过程中，教师的目的是让学生能够把握不同多边形的内在联系，运用多边形面积计算方法来解决图形问题。基于此，在新媒体和互联网技术的帮助下，学生通过小组学习的形式，感知图形的运动变化，实现自主认知的建构。在整理和复习中运用动态几何的观点,学生体会多边形图形之间是可以相互转化的，多边形图形面积公式是可以相互沟通的,让学生将所学的多边形图形的面积公式整合统一，形成系统，让学生识“变”，会“变”，用“变”，“变”出别样精彩。

一、在情境中重现，变在开始时

复习课展开的重要前提，是将多边形面积公式进行情境化重现。在多边形复习课教学中，教师要引导学生对头脑中点状的知识进行整理，情境重现，从而形成体系；同时，要善于抓住学生容易忽略、错误的区域，重点弥补，让学生学得更完整。同一课堂情境中，新的教学生成是重要的突破点，教师应有意识地捕捉有价值的新生成，借此让学生在交流和思考中对数学本质进行内化，激活学生的数学方法、意识、思想。本课的导入环节如下：

师：同学们，从PPT上看到了哪些图形？生：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形。

师：会连吗？生：长方形s=ab、正方形s=a2、平行四边形 s=ah、三角形 s=ah÷2、梯形 s=（a+b）h÷2。

PPT配合学生回答连线。PPT呈现连线后，再按图形顺序公式一一对应图形。

然后提问：这些面积计算公式是怎样推导出来的？结合学生的回忆，追问：推导过程有什么共同之处？它们之间有什么联系吗？结合学生的汇报，适时点拨。在这样的纯数学情境中，学生重温了多边形面积的公式推导，唤醒学生原有的知识积累，以期学生在更快的时间内展开思维，进行深度理解和思考。

二、在梳理中重构，变在形成中

原本零散呈现的知识，在教师创设的问题情境中得到了激活，加上适时地梳理和沟通，将呈现温故而知新之境。多边形面积的单元复习有别于新授和练习，它侧重于让学生实现几何知识内在结构联系的新整合和再“生长”，从而达到培养学生数学核心素养的要求。过程中，把教材教厚，把知识变实是基础，让知识再“开花”是拓展，是升华。

在梳理环节中，引导学生梳理出平行四边形、三角形、梯形的面积公式，通过点拨、思考、内化，学生明白这些均由已学的图形变形转化得到的。体会不同多边形之间的内在联系，且它们是可相互转化的，变在形成中。

生：没想到以前学过的几个面积公式是可以由梯形的面积公式转化而来，我感受到了数学的千变万化。

师：是的，转化。（板书：转化）利用转化，解决某一数学问题时，我们可以将未知的信息转化为已知的条件。学习数学最重要的思想就是“化新为旧”“化繁为简”“化难为易”。

师：在这个单元中，我们按顺序先后认识了平行四边形面积、三角形和梯形的面积计算公式。你是怎样推导平行四边形面积公式的？生：通过割补。

师：把平行四边形转化成长方形。（配合PPT呈现，师黑板贴图）

师：那如何推导三角形面积计算公式？生：两个相同的三角形拼成一个平行四边形，算出平行四边形的面积之后除以2就是一个三角形的面积。

师：把三角形转化成平行四边形。（PPT配合，师黑板贴图）

师：梯形面积公式呢？如何推导？生：两个相同的梯形拼成一个平行四边形。

（PPT配合）

师：无论是计算长方形面积还是计算平行四边形面积，我们用的方法都是数方格。数小方格，实际上是数面积单位。其实，计算所有图形的面积的本质都是数面积单位。

三、对比中提升，变在本质上

教学中，教师先将几何图形放在方格纸上观察、比较、思考、感悟，再用几何画板分别展示梯形的上底、下底缩短和变长的过程，可以变成三角形、平行四边形、长方形、正方形，丰富了学生的认知，学生的知识面也在这个过程中得到了拓展。

师：通过回顾这些图形面积计算方法，我们更加清楚了它们之间的联系。这些图形的面积你会算吗？

PPT补充：小方格均为正方形，边长是1cm，每个方格表示1cm²。

图1

（）cm² （）cm² （）cm²

生： ① 4×4÷2=8， ② 2×4=8， ③（1+3）×4÷2=8

师：同一幅图中的三个不同的图形，为什么面积都是8cm²？生根据学习单小组研究并讨论后汇报，生：底和高不变。

教师根据学生回答后再酌情总结。

（PPT呈现题目，可动态呈现图形点、边的移动改变过程）你还会算吗？

图2

（）cm² （）cm² （）cm²

生： ① 4×4÷2=8， ② 2×4=8， ③（1+3）×4÷2=8

师：（PPT呈现）点、边的位置发生变化，为什么面积都是8cm²？生：形状改变，但底和高不变。

教师抛出问题：“看来图形间是有联系的，你能用连线的方式表示这种推导关系吗？”在重构整合中，学生对各线知识的紧密联系有全新的理解。之后，教师要使用“添加剂”—精心设计的复习资源，将知识彼此间建立关联、融会贯通。学生在这些复习资源的辅助下，能够形成数学知识系与知识域，才能够在学习中丰富认识并达到再“生长”的目的。

接着，教师抛出更高层次的问题：“像这样，面积和高都不变的图形还有吗？不妨转换角度研究，将梯形、三角形、长方形这三种图形的面积公式联系起来。如何联系呢？利用极限思想，寻找变量。对比三个公式我们不难发现，变化的地方是底边的变化，梯形有上底和下底，三角形仅有一个底，而长方形的是长（上下两个长）；不变的是都有高（长方形是宽）。那么，我们就可以选择梯形的一个底当作变量，比如：我们选择上底为变量，将上底趋近于0，也就是上底没有了，此时梯形就变成了三角形。”如图所示。

图3

通过梯形上底的变形，使得原来孤立的知识更加连贯系统，从而培养学生“相互转化、相互依存”的数学思维，变在本质里。

四、在情境中拓展，变在应用中

在数学多边形复习课中，需要针对性的练习来检测复习效果。通过重现旧知、梳理重构、对比提升，为多样化的问题以及问题之间的联结和转换提供了条件，从而实现迁移应用，达到解决问题的目的。如果简单的学习材料有不简单的教学设计，可以让一道题发挥最大的教学功能。引学生思考，让学生的思维活跃起来，同时也让这堂复习课“开花”。

请计算下面图形的面积。（PPT出示教材中第103页第2题）

师：（1）请打开学习单，先认真审题后互相讨论一下解题思路，再独立完成。过程中，如有问题，小组内互相交流、指导。

（2）完成后个别汇报。

（3）请同学们评价。

（4）总结方法：做这类题目有什么技巧，注意什么？（生：利用分割法，注意计算要小心。）

图4

师：掌握不错，我们继续挑战难度。

（PPT出示题目）如图：梯形、平行四边形、三角形的面积相等。求平行四边形的底和三角形的底。（单位：cm）

图5

师：（1）请打开学习单，先认真审题。

（2）学生自主完成，教师巡堂中发现部分学生不懂如何求平行四边形的底和三角形的底。如果遇到困难，引导学生发挥小组作用，请小组内互相交流，互相指导帮助，提示：这道题的关键句是哪一句？

（3）完成后个别小组汇报。（汇报出解题过程及解题依据）学生汇报时，让学生出示第二种方法，用红笔标注上下底并标上数据。若出现底的单位错误，教师提示：底是长度单位，立即纠正。若没有出现第二种方法，教师进行提示引导：还有其他方法吗？

（4）请同学们评价。

（5）总结方法：你们发现什么？提示发现规律。

（6）同学们做对的请举手，鼓励全体。

估算不规则图形的面积：每个方格表示1km²。

（PPT出示题目）估一估，从化温泉镇的面积不超过（）平方千米。

师：（1）请同学们观察图形，分析题目，“不超过”是什么意思？（生：要估大数据。）估算温泉镇的面积有什么方法？（生：①数方格；②看成三角形来计算。）

图6

（2）独立完成，教师巡视，在完成的过程中，如果遇到困难，请小组内互相交流，互相指导。

（3）完成后个别汇报。

（4）请同学们评价。

（5）总结方法：做这类题目有什么技巧，注意什么？（生：利用分割法，注意计算要小心。）

（6）同学们做对的请举手，鼓励全体。

学生在复习中不断变化和成长，以此为基，教师拉动图形，使其不断变化，让学生在观察图形的变化中，感悟了内在联系以及图形的本质。最后，在应用时，梯形面积计算公式成了百变应用公式。

五、在总结中提升：变在“归一”中

数往知来，温习旧知，收获新知。变发生在复习时，变存在于梳理中。数学，“数”是本源，形而上“学”，教学中要“追其本，溯其源，引其思，扎其根”，“变”而不变。

1.求通

回顾整个小学阶段数学的学习，不难发现，学生日常所学的知识是零碎的，开始阶段只是将所学的平行四边形、三角形和梯形（或者加上三年级所学的长方形、正方形）的面积计算公式进行了简单的罗列，它们都是独立存在的，各图形之间没有建立起联系。通过问题引领使之系统化、条理化、清晰化，形成较为完善的认知结构。

2.求构

借助前测中多种形式的梳理，在对比中提升，构建一个网络。如上所述，除了具体的知识点，还需以能够连接整个知识的核心点，如教材的序列、转换思想等，以此作为立足点，进一步引导学生探索知识之间的内在关系，让学生反思知识点，形成知识链，以思考导向形式将发展变化的知识链结成一个知识网络，构建脉络清晰的知识板块。这种深入的结构性的思考导向，不仅是重建知识的脉络，更是重构学生的思考方式。求构就是以结构性的知识网络来促成对知识价值的深入理解。