高中数学教学中运用类比法的教学设计
2023-02-23张湘林
张湘林
一、类比法概述
数学类比法的起源可以追溯到古希腊时期。古希腊数学家毕达哥拉斯就曾通过对音乐和几何学的类比研究，发现了许多数学规律和定理。例如，他认为音程和弦的和谐比例与几何中比例的概念相似，通过这种类比，他发现了许多几何比例关系，如黄金比例等。
另一位古希腊数学家欧多克索斯也曾使用类比法解决数学问题。他通过将立方体的分割类比到平面上，推导出了“常见比率”的思想，从而在数学领域中得到了广泛应用。
随着时间的推移，类比法不断地被应用于数学研究中。在19世纪末和20世纪初，很多数学家在研究连续函数和多项式的性质时都应用了类比法的思想和方法。
近年来，随着计算机技术和人工智能技术的飞速发展，类比法的研究领域也在不断拓展，现在的数学类比法已经不仅仅是一种解题技巧，更成为一种有益的思维方式和工具，其在各个领域的问题解决和创新研究中都有着广泛的应用。
类比是一种常用的数学猜想方法，它是将所研究的对象与已知的或想象的对象进行比较，从而发现它们之间存在某种相似之处。这种数学猜想方法在高中数学学习中起着非常重要的作用，我们通过对教学全过程的设计探讨，就可以了解到学生具体是如何在课堂上运用类比法的。通过类比方法的运用，学生不仅可以更加深入地理解数学中的一些重要概念，还可以构建新旧知识的内在联系，促进知识系统化。
类比法在高中数学教学中有着广泛的应用。通过类比法，可以把已知的数学问题和概念与未知的问题和概念联系起来，从而使解决未知问题的难度降低，理解数学概念的深度增加。运用类比法，可以将具有共同点的知识点或章节联系起来，进行归类，有助于学生建立脉络清晰的知识体系。类比法可以让学生产生熟悉感，学会知识迁移，建立逻辑思考。类比法可以帮助学生深入理解数学内容和思想，提高数学学习兴趣，并提高解决数学问题的能力。当人们没有可靠论证的思路时，类比这种方式常常可以引导人们前进。
二、运用类比法的教学设计——以“函数的单调性”为例
（一）教材分析
函数是高中阶段最基本的概念之一，是贯穿高中数学课堂的主线，也是高中数学学科中最为复杂的知识点。函数是以自身特有的方式反映现实世界大量事物变化规律的抽象的数学模型，函数性质是函数概念的拓展，对于深入理解函数概念、运用函数模型分析和解决函数问题起着承前启后的作用。必修一中的指数函数、对数函数及幂函数，选修中的导数均有涉及函数，可见函数这部分内容十分重要。本课时内容是函数的单调性，函数的基本性质为函数学习的第一阶段，而本课时内容则为函数基本性质的第一课时，通过本课时对函数性质的研究，为后面初等函数性质的研究做铺垫。
（二）学情分析
学生在之前已经学过了一次函数、二次函数、反比例函数，并且研究过函数的增减性问题，能够通过图象直观地理解增减性，可以用不成熟的语言描述y随着x的增大而增大（减小），但是不能用严谨的数学符号进行阐述。
（三）教学目标
掌握函数单调性的概念和基本定义，了解单调性的分类和几何意义，能够掌握判断函数单调性的方法和步骤。
能够应用函数单调性进行证明和推导，提高数学思维能力和数学语言表达能力，强化数学思维和逻辑推理能力。
（四）教学过程
1.导入新课
教师通过多媒体出示函数y=x，y=-x2+4图象，要求学生观察并思考问题：观察下面这两个我们初中学习过的函数，它们的图象有什么变化规律？
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图1 y=x图象
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图2 y=-x2+4圖象
学生自主观察函数图象，就教师提出的问题展开独立思考，并作答：y=x从左往右看是上升的，y=-x2+4在y轴左侧是上升的，即当x<0时，y会随着x不断增大而增大；y=-x2+4在y轴右侧是下降的，即当x>0时，y会随着x不断增大而减小。
（设计意图：通过引导学生观察图象、观察函数变化、回忆初中学过的知识，引入课题，也为接下来类比初中知识引入函数单调性的概念奠定基础；用较简单的问题引起学生的注意和思考，激发学生的学习兴趣，预警课堂已经开始，又能保障学生在高中数学课堂教学中的主体地位。）
2.讲授新课
教师引导学生将y=x转化为高中数学的函数表达形式f（x）=x2，并要求学生在练习本上描点连线，独立画出该图象。
学生在教师指导下独立作图。
（设计意图：学生自主探究、独立作图，可以提高学生的动手操作能力，激发学习兴趣。）
教师组织学生以四人小组为单位讨论、合作交流与分析，思考f（x）=x2函数的图象变化，教师巡视指导。
学生：思考后选取代表汇报讨论结果。小组讨论发现：当x≤0时，y随x的增大而减小，即任取x1，x2∈（-∞，0］，当x1
当x>0时，y随x的增大而增大。即任取x1，x2∈（0，+∞），当x1 教师：在上一章我们用集合语言和对应关系刻画函数，建立了严谨的函数概念。对于函数的单调性，我们也可以类比上一章，类似地尝试用符号语言给出严格的形式化定义。 教师引导学生尝试用数学语言表达该图象的变化趋势，就可以顺势引出函数的单调性。 任取x1，x2∈（-∞，0］，我们就可以得出f（x1）=x12，f（x2）=x22。当x1 （设计意图：教师借助类比法，类比初中知识，引入高中知识，类比第一章巧妙地用集合语言和对应关系刻画函数，引入函数单调性的定义，将学生的知识联系到一起，有助于形成脉络，使学生更容易地理解这部分知识，从而提高了课堂的效率。） 3.巩固练习 教师利用PPT展示例题，根据定义研究函数f（x）=kx+b（k≠0）的单调性，学生自主完成，请学生代表进行板演，教师对其进行点评并讲解解题思路，板书解题过程。 学生自主完成例题，并总结解题思路。函数f（x）=kx+b（k≠0）的定义域是R。任意x1，x2∈R，且x1 由x1 ①当k>0时，k（x1-x2）<0 于是f（x1）-f（x2）<0，即f（x1） 这时f（x）=kx+b是增函数。 ②当k<0时，k（x1-x2）>0 于是f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）. 这时f（x）=kx+b是减函数。 （设计意图：巩固本节所学，让学生进行板演，旨在体现学生的主体地位，这有助于教师了解学生的掌握程度以及学习情况。教师板书有利于规范学生解题思路，让学生掌握答题技巧。） 4.课堂小结 教师引导学生自主总结本节课所学知识，鼓励学生畅谈本节课的收获，鼓励学生提出疑问并给予解答。学生总结完成之后，教师给予适当补充。 学生自主总结单调递减、单调递增的概念，用上课所学定义来证明函数单调性的方法。 （设计意图：帮助学生系统地梳理本节知识和思想方法，形成脉络清晰的知识网络，同时也让学生学会利用某些事物的已知特性去探索未知事物的方法。） 5.布置作業 作业：完成以下课后练习题： （1）根据定义证明函数y=x+■在区间（1，+∞）上单调递增。 （2）根据定义证明函数f（x）=3x+2是增函数。 （设计意图：布置课后习题，巩固本节课所学知识，加深学生对知识的理解，同时也让学生通过做习题了解自己对本节课知识的掌握程度，及时发现问题并进行改正。在以后的教学中，教师还可以根据学生作业完成情况来及时调整自己的教学方法，改进教学思路。） 三、结论与建议 数学知识的难度系数虽然在逐渐加大，但是这些知识之间是存在一定联系的。经上述讨论我们发现，类比法是高中数学教学中较为高效的一种方式方法。通过同类知识类比、相似知识类比以及新旧知识类比，教师可以更好地优化自身的教学方式，并深化学生对数学知识的理解和记忆，慢慢增强学生学习数学的兴趣。 在运用类比法进行高中数学教学时，需要注意以下几点： （一）类比的对象 类比法是一种思维方法，它是将某一事物或概念与另一事物或概念进行比较，然后将其属性或特征进行类比，从而认识事物或概念的方法。在应用类比法进行教学时，我们首先要明确需要进行类比的对象，其次要理解两个对象之间的相似之处和差异之处。 （二）突出相似点和差异点 在类比教学中，两个对象虽然不可能完全相同，但至少有部分相似，因此在教学中一定要突出相似点与差异点。相似点主要用于推导、类比和归纳，而差异点则能够使学生深入理解概念和事物的本质。 （三）寻找问题的本质 类比法是帮助学生更好地理解知识点的一种方法，但是由于学生缺乏相应的知识背景，在进行类比教学时往往会陷入只看表面的误区，导致无法深入理解知识点。因此，在进行类比教学时，教师需要引导学生思考问题的本质，从而达到深刻理解知识点的目的。 （四）类比的适用范围 类比法是一种常用的教学方法，但并不是所有的知识点都可以采用类比法进行教学。在使用类比法进行教学时，要根据具体情况判断是否可以采用类比法，而且要注意类比的适用范围。 综上所述，类比法在高中数学教学中的应用效果非常显著，在教学过程中教师要注重对类比方法进行灵活运用，将相似点和差异点凸显出来，引导学生通过比较和分析去寻找问题本质。同时，在进行类比法应用时还要注意类比的适用范围。 （作者单位：阳江市阳东区凤凰中学） 编辑：赵飞飞
