带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性与多重性

周文学,吴亚斌,宋学瑶

(兰州交通大学数理学院,甘肃 兰州 730070)

1.引言

随着自然科学的发展,分数阶微分方程得到了广泛的应用,尤其是在物理[1]、工程力学[2]、建筑科学[3]等领域.而边值问题作为微分方程领域的一个重要课题,也得到了越来越多的关注.近些年来,为了解决复杂多变的问题,许多学者致力于带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性与多重性研究,且相关的理论与研究结果也越来越成熟.[4-12]文[12]运用Schauder不动点定理研究了如下一类带p-Laplacian算子的分数阶边值问题

值得注意的是,以上大量工作都是在Riemann-Liouvill与Caputo导数定义下完成的.2014年Khalil等人在文[13]提出了一种新的分数阶导数定义,称为一致分数阶导数.接着有学者在文[14]中证明了一致分数阶导数定义下的一些重要性质与基本理论,如：链式法则、Gronwall不等式、分部积分法、分数阶Laplace变换等.显然,研究新分数阶导数定义下的相关理论对分数阶微分方程领域的发展具有积极的推动作用.

因此,受以上杰出工作启发,本文使用锥上不动点定理及单调迭代技巧在一致分数阶导数定义下讨论了如下带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题

2.预备知识

定义1[13]设(n,n+1],函数f:[0,∞)R的α阶一致分数阶导数定义为

其中t>0,常用f(α)表示,「α⏋表示小于等于α的最小整数.

注1一致分数阶导数详细性质可参考文[13-14].

定义2[13]设(n,n+1],函数f:[0,∞)R的α阶一致分数阶积分定义为

引理1[14]设(n,n+1],若Dαf(t)在[0,∞)上连续,则

定义3[15]设E是Banach空间,P ⊂E是E中的锥,θ:[0,∞)是连续泛函且对任意x,,[0,1]都有θ(tx −(1−t)y)≥tθ(x)+(1−t)θ(y)成立,则称θ是P上的非负连续凹泛函.

1) 对任意(θ,b,d),(θ,b,d):θ(u)>b}∅并且θ(Qu)>b;

2) 对任意∥u∥

3) 对任意(θ,b,c)且∥Qu∥>b有θ(Qu)>b,则Q至少存在三个不动点u1,u2,u3.

引理4设2<α≤3,函数([0,1],R),则边值问题

证对方程两端α阶积分得

证毕.

引理5若2<α≤3,1<β ≤2,函数([0,1],R),则分数阶微分方程边值问题

证对方程两边β阶积分得

这里a0,a1为常数.根据边界条件ϕpDαu(0)+(ϕpDαu)′(0)0,ϕpDαu(1)+(ϕpDαu)′(1)0.得

因此根据引理4,问题(2.7)存在解满足

证毕.

引理6Green函数G(t,s),H(s,τ)具有如下性质:

1)G(t,s)≥0,H(s,τ)≥0,对t,s,[0,1];

2)G(t,s)≤G(1,s),H(s,τ)≤H(0,τ),对t,s,[0,1];

证Green函数G(t,s)相关性质证明参考文[16].下证H(s,τ)性质.

由H(s,τ)表达式不难看出对所有的s,[0,1],有H(s,τ)≥0.可知性质1)成立.固定(0,1),考虑H(s,τ)关于s的偏导数,有

由上可知H(s,τ)关于s单调递减.因此有

则可得性质2)、3)成立.证毕.

3.主要结果

即uu(t)是问题(1.2)的解当且仅当u满足算子方程uQu(t).

引理7算子Q:为全连续算子.

证首先,考虑到f(t,u(t)),G(t,s),H(s,τ)的连续性可知Q:为连续算子.

即得Q(Ω)一致有界.

另一方面,考虑到G(t,s)在[0,1]×[0,1]上连续,则可知G(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致连续.固定[0,1],对任意的ε>0,存在δ>0 使得对任意的t1,t2[0,1],|t1−t2|<δ时,有

可得Q(Ω)等度连续.综上,由Arzela-Ascoli定理得算子Q:为全连续算子.证毕.

下面将使用不同的方法研究边值问题(1.2)正解的存在性.为方便计算,引入记号

Ⅰ 运用不动点定理证明边值问题(1.2)正解的存在性

定理1设f(t,u)是连续函数,若存在常数r1,r2>0使得

(Hl) 对∀(t,u)[0,1]×[0,r1],有f(t,u)≤ϕp(L1r1);

(H2)对∀(t,u)[1/4,3/4]×[0,r2],有f(t,u)≥ϕp(L2r2),则边值问题(1.2) 至少存在一个正解u且满足min{r1,r2}≤∥u∥≤max{r1,r2}.

证由引理7知算子Q:全连续.

首先,令Ω1:∥u∥

因此,对1,有∥Qu∥≤∥u∥.

其次,令Ω2:∥u∥

即对2,有∥Qu∥≥∥u∥.

由引理2知算子Q至少存在一个不动点u.即问题(1.2)至少存在一个正解且有r1≤∥u∥≤r2.证毕.

定理2设f(t,u)是连续函数,若存在常数0

(H3)对∀(t,u)[0,1]×[0,a],有f(t,u)≤ϕp(L1a);

(H4)对∀(t,u)[1/4,3/4]×[b,c],有f(t,u)≥ϕp(L2b);

(H5)对∀(t,u)[0,1]×[0,c],有f(t,u)≤ϕp(L1c),则边值问题(1.2)至少存在三个正解且满足

因此有∥Qu(t)∥≤a,即引理3的条件2)成立.

即θ(Qu)≥b.取dc,得引理3的条件1)满足.

同理,若任意(θ,b,c)且∥Qu∥>cd,可得θ(Qu)>b,则引理3条件3)满足.

综上,边值问题(1.2)至少存在三个正解满足

Ⅱ 运用单调迭代技巧证明边值问题(1.2)正解的存在性

定理3设f(t,u)是连续函数,f(t,0)0,0≤t ≤1,且存在常数m>0使得以下条件成立:

证定义Pm|∥u∥≤m}.由条件(H6)得

首先说明u∗是边值问题(1.2)的一个正解.令u0(t)0,显然有u0(t).又对,则有0≤u(t)≤m.根据条件(H7)得

又u1,u1(t)Qu0(t)≥0u0(t),即

根据条件(H6)可知函数f(t,u)单调递增,从而可知Q为增算子.即有Qu1(t)≥Qu0(t),因而有

由上式归纳可得

即序列{uk}单调递增.有uku∗()成立.由ukQuk-1及Q的连续性有

即u∗是Q在Pm上的一个不动点.进一步由假设条件知u∗是问题(1.2)的一个正解且有0<∥u∗∥≤m.

其次说明v∗也是边值问题(1.2)的一个正解.类似的,令v0(t)m,有v0(t).进一步vkQ(Pm)⊂Pm.同上可知{vk}是列紧集.

由条件(H7)有

即有v1(t)≤v0(t).从而有

进一步归纳可得

由上知序列{vk}单调递减.类似前半部分证明过程知v∗也是问题(1.2)的一个正解且0<∥v∗∥≤m.

此外,因u0(t)≤v0(t),有

以此类推uk(t)≤vk(t)(k0,1,2,···).

综上,所得结论成立.问题(1.2)存在正解u∗和v∗且有0<∥u∗∥≤∥v∗∥≤m.证毕.

4.举例

例1考虑如下边值问题:

满足定理1假设条件.故边值问题(4.1)至少存在一个正解u且有0.0315≤∥u∥≤75.

例2考虑如下边值问题:

满足定理2假设条件,故边值问题(4.2)至少存在三个正解.