一类Caputo-Hadamard型分数阶微分方程耦合系统边值问题

潘欣媛 ,何小飞 ,陈国平 ,李治林

(1.吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000;2.吉首大学张家界学院,湖南 张家界 427000)

1.引言

近年来,分数阶微分方程得到了许多学者研究,并被广泛应用于科学和工程领域.[1-3]关于分数阶边值问题已有丰富的文献,例如: 具有Riemman-Liouville型导数的分数阶边值问题,具有Caputo型导数的分数阶边值问题,具有Hadamard型导数的分数阶边值问题.[4-9]但是关于具有Caputo-Hadamard型导数的分数阶边值问题的研究还相对较少.另一方面,当微分系统具有两个或多个变量且这些变量相互作用时,运用耦合微分方程组描述更加精确和简洁.耦合系统边值问题作为分数阶微分方程的一个重要的研究方向,也受到了广泛关注.[10-13]因此,对具有Caputo-Hadamard型导数的分数阶微分方程耦合系统边值问题做出进一步补充和更深入的探究具有重要的理论意义和实用价值.

本文研究如下具有Caputo-Hadamard型导数的序列分数阶微分方程耦合系统边值问题

2.预备知识

定义2.1[1]函数f:(1,∞)R的α>0阶Hadamard型分数阶积分定义如下

引理2.2[1](Banach不动点定理) 设D为Banach空间E中的一个非空闭子集,映射T:为压缩映射,即

其中k为常数,则存在唯一点x∗D,使得Tx∗x∗,即T在D内存在唯一不动点.

引理2.3[3](Leray-Schauder二择一定理) 设X是一个Banach空间,T:为全连续算子,定义集合ε(T):xλT(x),[0,1]},则集合ε(T)无界或者T在X上至少有一个不动点.

引理2.4给定φ(t),ψ(t)([1,e],R),则边值问题

通过应用边值条件x′(1)0,x(e)C,可得

3.主要结果

为了得到主要结果,我们给出以下假设:

(H1) 存在正常数li,使得对任意的xi,yi,i1,2,[1,e]有

(H2) 存在正常数mi,ni,i0,1,2,使得对任意的[1,e]有

(H3) 存在正常数τ1≥0,τ2≥0,θ1>0,θ2>0,使得对任意的[1,e]有

我们首先证明T(Br)⊂Br.对任意的(x,y)有

所以T(Br)⊂Br.

下证算子T是压缩映射.令(x1,y1),(x2,y2)×X,则对任意的[1,e]有

证首先证明算子T是全连续算子.设X×X中的序列{(xn,yn)}满足(xn,yn)(x,y),则对任意的[1,e]有

由f的连续性可知,当(xn,yn)(x,y)时,有|f(s,xn(s),yn(s))−f(s,x(s),y(s))|0.那么,当(xn,yn)(x,y)时,有|H(xn,yn)(t)−H(x,y)(t)|0.同理可得,当(xn,yn)(x,y)时,有|G(xn,yn)(t)−G(x,y)(t)|0.由此可知,当(xn,yn)(x,y)时,有|T(xn,yn)(t)−T(x,y)(t)|0,则算子T连续.

设Ω ⊂X×X且Ω有界,则存在正常数Q1,Q2,对任意的(x,y),有|f(t,x(t),y(t))|≤Q1,|g(t,x(t),y(t))|≤Q2.令(x,y),则存在r0使得∥(x,y)∥≤r0.那么对任意的(x,y),有

所以,算子T一致有界.

当t21时,有|H(x,y)(t1)−H(x,y)(t2)|0.同理可得,当t21时,有|G(x,y)(t1)−G(x,y)(t2)|0.那么,当t21时,有|T(x,y)(t1)−T(x,y)(t2)|0.即算子T等度连续.由Arzela-Ascoli定理可知,算子T是全连续的.

下证算子T至少有一个不动点.定义有界集合Φ{(x,y)×X: (x,y)λT(x,y)}.设(x,y),则有(x,y)λT(x,y),0<λ<1,那么对任意的[1,e]有

由此,可以得到集合Φ是有界的.由引理2.3可知,算子T至少有一个不动点.即边值问题(1.1)在[1,e]上至少有一个解.

证给出以下定义

要使边值问题(1.1)有解,只要证明算子T存在不动点即可.对于算子T:×X只要证明对于任意的(x,y),[0,1]有(x,y)λT(x,y).

由定理3.2可知算子T全连续,那么Fλ(x,y)也是全连续的.

下证(x,y)λT(x,y)成立.设存在[0,1]使得对任意的[1,e]满足(x,y)λT(x,y),则有

因为(x,y)λT(x,y),又由Leray-Schauder度的同伦不变形可得

其中I是到自身的映射.由Leray-Schauder度的性质可知,F1(x,y)−T(x,y)0在BR中至少存在一个解.

4.举例

例4.1考虑边值问题