强b-距离空间中的Ekeland变分原理

刘萱,贺飞

(内蒙古大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010021)

1.引言

1974年,Ekeland[1]给出了极小问题近似解的存在性,即著名的Ekeland变分原理.该原理应用于数学诸多领域,例如优化理论、控制理论、不动点理论.Ekeland变分原理表明在完备的距离空间下,下半连续且下有界的泛函f在某点的取值接近极小值.许多学者将Ekeland变分原理推广到不同的空间中或者给出变分原理的不同形式及其等价命题.[2-14]

另一方面,Czerwik[15]提出b-距离空间的概念,这类空间是比距离空间更广泛的空间框架.许多学者在这类空间中考虑了不动点定理.[16-20]在2011年,Bota等人[11]将Ekeland变分原理首次推广到了b-距离空间,同时证明了该空间中的Caristi型不动点定理.2020年,黄帅等人[13]和XIE[14]分别证明了矩形b-距离空间和偏b-距离空间中的Ekeland变分原理.我们发现上述几种b-距离空间中Ekeland变分原理形式中含有级数,与距离空间中变分原理形式差别很大,并且也不是距离空间中相应结果的推广.

本文在强b-距离空间中建立Ekeland变分原理,其形式与距离空间中结果形式一致,其结果是距离空间相应结果的推广.同时,在强b-距离空间中获得了Caristi型不动点定理和Takahashi非凸极小化定理以及均衡形式Ekeland变分原理的等价命题.

2.预备知识

下面回顾一些基本概念.

定义2.1[2,12,15]设X是非空集合,s ≥1是常数.若映射d:X×[0,+∞)满足,对于任意x,y,,

1)d(x,y)0当且仅当xy;

2)d(x,y)d(y,x);

3)d(x,y)≤s[d(x,z)+d(z,y)],

则称d是X上的b-距离,称(X,d)是b-距离空间.进一步,若用

3′)d(x,y)≤sd(x,z)+d(z,y),

代替3),则称d是X上的强b-距离,称(X,d)是强b-距离空间.

距离空间,强b-距离空间,b-距离空间之间的关系是

它们之间的蕴含关系是三角不等式形式上的蕴含关系,下面给出例子说明上述蕴含关系的反向是不成立的.

首先给出例子说明强b-距离空间不一定是距离空间.

例2.1设X{a,b,c},d:X×R+定义为

由于d(b,c)4>d(a,b)+d(a,c)1+2,故(X,d)不是距离空间.对于任意的x,y,,则

因此(X,d)是s2的强b-距离空间.

下面给出例子说明b-距离空间不一定是强b-距离空间.

例2.2设XR,d:X×R定义为d(x,y)d(y,x)|x −y|2.

对于任意的s ≥1,取x0,y1,z,则

因此,(X,d)不是强b-距离空间.

下证(X,d)是b-距离空间.对于任意的x,y,,

因此,(X,d)是s2的b-距离空间.

1) 称{xn}收敛,如果d(xn,x)0();

2) 称{xn}是Cauchy列,如果d(xn,xm)0(n,);

3) 称(X,d)是完备的,如果X中的所有Cauchy列都收敛.

定义2.3[12]设(X,d)是强b-距离空间,称A ⊂X是闭的,如果对于每个{xn}⊆A且{xn}收敛于,有.

设(X,d)是强b-距离空间,A ⊆X,记A的直径为diam(A)

定理2.1[1-2](Ekeland变分原理) 设(X,d)是完备的距离空间,f:R∪{+∞}是下半连续泛函,不恒等于+∞且下有界.对于任意给定的ε>0以及x0使得

定理2.2[11](b-距离空间中Ekeland变分原理) 设(X,d)是完备的b-距离空间,s>1是实数,b-距离d是连续的,f:R∪{+∞}是下半连续泛函,不恒等于+∞且下有界.对于任意的ε>0以及x0使得f(x0)≤infx∈X f(x)+ε,则存在序列{xn}n∈N⊂X和xεX使得

3.主要结果

引理3.1设(X,d)是完备强b-距离空间,{Sn}n≥1是X的非空闭子集满足,

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1) 单调递减,即S1⊃S2···⊃Sn ⊃··· ;

证对于每个N+,任取xnSn.由于diam(Sn)0(),故对于任意的ε>0,存在正整数n0使得diam(Sn0)<ε.对于m,n>n0,由于{Sn}单调递减,故xm,xnSn0,从而

定理3.1(Ekeland变分原理) 设(X,d)是完备的强b-距离空间(s ≥1),f:R∪{+∞}是下半连续泛函,不恒等于+∞且下有界.对于任意给定的ε>0和x0使得

由于f是下半连续的且x0(x0),故E(x0)是(X,d)中的非空闭集.

取x1(x0)满足

则E(x1)是(X,d)中的非空闭集.继续下去,归纳可得{xn}满足xnE(xn-1)且

则由f的下半连续性可知{E(xn)}是X中的非空闭集列.

对于任意的(xn),由(3.2)和(3.3)可知

注3.1由于距离空间是s1的强b-距离空间,故定理2.1是定理3.1的特殊情形.

定理3.2(Caristi型不动点定理) 设(X,d)是完备的强b-距离空间(s ≥1),映射T:满足,对于任意的,

定理3.3(Takahashi非凸极小化定理)设(X,d)是完备的强b-距离空间(s ≥1),f:R∪{+∞}是下半连续泛函,不恒等于+∞且下有界.假设对于任意的且f()>infx∈X f(x),存在}满足

下面给出均衡形式Ekeland变分原理的若干等价命题.

定理3.4设(X,d)是完备的强b-距离空间,F:X×R∪{+∞}是X上的二元函数且满足对于任意x,y,,

1)F(x,·)下半连续;

2)F(x,x)0;

3)F(x,y)≤F(x,z)+F(z,y).

则下列结论等价

(b) (扩展的Takahashi非凸极小化定理)设

(c) (Caristi-Kirk不动点定理) 设T:2X是集值映射满足

(d)⇒(b): 设(3.10)成立.定义集合

(c)⇒(d): 定义集值映射T:2X,

(d)⇒(c): 定义集合