一类具有特殊区域的椭圆型方程奇摄动问题

冯茂春,肖佳妮,王淼坤

(湖州师范学院理学院,浙江 湖州 313000)

1.引言

带有小参数的微分方程在许多理论和应用领域都会经常出现,对这类问题的研究许多学者表现出很大的兴趣.如Nave[1]和Chashechkin[2]分别研究了奇异摄动问题在涡轮增压器发动机模型上与在流体力学问题上的应用;而Abdelhakem[3]与Lukyanenko[4]则各自讨论了奇摄动问题的谱勒让德导数算法和数值模拟;Priyadarshana[5]探究具有大时滞的奇摄动半线性抛物型问题;冯[6]探讨了对二次方程Robin问题奇摄动群的估计;王爱峰[7]和周克浩[8]分别研究了具有积分边界条件的二阶半线性奇摄动方程脉冲状对照结构与一类奇摄动非线性边值问题的角层现象;欧阳成[9],吴钦宽[10]和朱红宝[11]各自讨论了分数阶微分方程的奇摄动问题,等等.

本文讨论带有小参数的拟线性椭圆型方程.由于方程是带有一阶偏导的椭圆型方程,它的解有比较复杂的情形,非线性问题更显难度,所以研究的人并不太多.Il’in在他的专著[12]中的第四章讨论了高阶导数带小参数的椭圆型方程,但他讨论的是线性方程.本文的独创之处在于,其一,参考了文[12]的原本应用于线性方程的方法,将它应用于非线性问题;其二,针对非线性偏微分方程出现的难以求渐近解的困难,第一次配合使用求奇摄动解的两种不同方法,完美求得渐近解;其三,证明了求得的渐近解的一致有效性,以此证明了前述方法的合理性.

2.问题与外部解

考虑如下拟线性椭圆型方程边值问题:

这里ε>0为小参数,∆为拉普拉斯算子,Ω{(x,y):00.为方便,我们记

方程(2.1)的奇异特征[12]为线段{(x,y) : 0≤x ≤1,y ≤0},这是三角形∂Ω的下面的一条边.

定义2.1在适用极限方程P(x,y)Q(x,y,u)的区域的边界上,如果有不光滑的点和边界曲线的切线斜率等于0的点,过这些点作平行于x轴的直线,如果直线中有一段包含在该区域内部或边界,则把这些直线段都称为方程(2.1)的奇异特征.边界曲线中如果也含一段平行于x轴的直线段,则也称此直线段为方程(2.1)的奇异特征.

线段{(x,y) : 0≤x ≤1,y ≤0}为方程(2.1)的奇异特征,所以边界条件会在线段右端处留给渐近解中的外部解,边界层在线段的左端点产生.这是我们下文求外部展开式和边界层内部解时确定边界条件,使之相容的依据.

记问题(2.1)-(2.2)的外部展开式(the outer expansion)为

再将Q(x,y,R)按ε展开:

将uR和(2.4)代入(2.1),并令等式两边ε的同次幂系数相等,得

现将(2.8)代入(2.6),则可由(2.6),(2.7)依次求出R2,R4,···,R2m,其中m为任意正整数.取A2m,x,y为关于ε的幂级数的截断函数,意为级数中ε的次数不超过2m的项之和,且变量为x,y.于是上述过程说明我们可以求得

3. y=0处的内部解

上述求得的外部解会在三角形∂Ω的除{(x,y)|x1,0≤y ≤1}外的另外两条边和顶点上产生奇异性,所以我们需要设置内部解(the inner solution).先考虑边{(x,y)|y0,0≤x ≤1}.

令x不变,用ξε-λy去代替y,这里λ>0为待定常数.我们根据O’Malley的方法[13]来构造渐近解,令u(x,y,ε)≡R(x,y)+εI(x,ξ,ε)为原方程的解,代入(2.1)得

显然,特异极限(the distinguished limit)[14]取λ1.在内变量ξε-1y和x下,方程变为

由假设[H2],Qu(x,0,R0)0,所以

再设内展开式为

将P(x,εξ)在y0处展开成ε的级数:

由此得到递推关系式

其中ti(x,ξ),i1,2,···为已求得的函数.

由于R+εI必须满足边界条件(2.2),所以上述方程应满足条件

方程(3.4),(3.5),(3.6)是左边形式相同的抛物型方程.我们作变换:

再记方程(3.5),(3.6)的右端为Hi(x1,ξ),即(3.5),(3.6)记为

在条件I0(0,ξ)I0(x1,0)0下,其解为

但这样求得的Ii的一阶偏导在(1,0)点并不连续,所以(1,0)点是奇异点.其次,将(3.8)代入(3.5),(3.6)后,Hi(x1,ξ)出现分母为x的正整数幂,从而Ii也出现分母为x的正整数幂的式子,并且随着i的增大,奇异性的阶数(次数)也增大,所以(0,0)也是奇异点.这些问题下文都必须加以解决.

显然,从(3.8),(3.9)可以看出,当时,Ii(i1,2,···)是指数型衰减的.所以我们有

其中M1,γ1为某正数,Ω1Ω −{(x,y)|0≤x ≤εα,0≤y ≤εα},α为某个小的正数.

这样我们求得了在直线{(x,y)|x1,0≤y ≤1}和{(x,y)|y0,0≤x ≤1}上满足边界条件(2.2)的方程(2.1)的渐近展开式A2m,x,yR+A2m,x,ξI.但在三角形∂Ω顶点处会出现奇异性.

现在还需考虑三角形∂Ω的第三条边{(x,y)|0≤x ≤1,yx}.

4.(x,y)|0 ≤x ≤1,y=x}处的内部解

比较两端ε的同次幂系数,得到递推关系式

其中si(σ,y),i1,2,···,为已依次求得的函数.边界条件为

由P(x,y)>0可知,当时,Si(σ,y)指数型衰减.关于对u(x,y,ε)≡R(x,t) +εI(x,ξ,ε)+εS(σ,y,ε)误差的估计,考虑到(4.2),(4.3),(4.4),所以我们有

其中M2,γ2为某正数.

这样我们求得了三角形∂Ω的三条边上满足边界条件(2.2)的方程(2.1)的渐近展开式

5.点(0,0)处的内层解

我们在点(0,0)处引入变量ηε-2x,ζε-2y.现在跟上面做法不同,我们只求单一满足方程(2.1)的处的边界层函数.所以将u(x,y,ϵ)≡J(η,ζ,ε)代入方程(2.1)得

在上式中代入级数

及变换η1−η,并令ε的同次幂系数之和等于零,为方便,假设P(0,0)≡P01,则可得到

其中qi(η1,ζ),i1,2,···,为依次已求得的函数.由于方程

其中δ(η1−s,ζ −t)δ(η1−s)δ(ζ −t)为2维δ函数,K0为Macdonald函数(参看文[15]140页),则方程(5.3)在边界条件

是方程(5.3)在边界条件J0(0,ζ)0和J0(η1,0)0下边值问题的格林函数.类似地,(5.4)有解

其中它满足的边界条件为

我们假设函数qi(η1,ζ)和J0(η1,0)在无穷远处没有比+ζ2增长快,则(5.3),(5.4)的解是慢增长函数.为得出解的渐近性,我们需要下面的引理:

引理5.1[12]方程(5.3),(5.4)和边界条件(5.5),(5.8)存在慢增长函数的解J2i(η,ζ)≡J2i(η1,ζ).函数J2i(η,ζ)和它们所有导数的绝对值不超过M3exp(−γ3η),η ≥Aζ+1.这里A是任意正数,γ3由A决定,M3由i和导数的阶数决定.

引理5.2[12]方程(5.3),(5.4)和边界条件(5.5),(5.8)的解,当η<ζ时能被展开为渐近级数

这里Φi,j(t)充分光滑,且在无穷远处指数型衰减.

这样我们可求得具有渐近性态的A2m,η,ζJ(η,ζ).

现在我们将第4节中求得的渐近解与u(x,y,ϵ)≡J(η,ζ,ε)进行匹配.根据匹配条件,下式成立:

其中k,n1,2,···,2m.此式能完全确定I2i.由此得到(0,0)点近旁符合条件的复合渐近解:

6.点(1,0)和(1,1)处的内层解

点(1,0)和(1,1)处的内层解与第4节完全类似.在点(1,0)处,引入变量κε-2(1−x)和ζε-2y分别去代替x和y,将u(x,y,ε)≡U(κ,ζ,ε)代入方程(2.1)可得

令Uε2iU2i(κ,ζ),代入上式,并展开Q(1−ε2κ,ε2ζ,J),再比较ε的同次幂系数,可得与(5.3),(5.4)相同的方程和与(5.5),(5.8)类似的边界条件,利用与前述几乎相同的方法可求得

将第4节中求得的渐近解与U(κ,ζ,ε)进行匹配.令匹配条件

成立,由此可得到(1,0)点近旁符合条件的复合渐近解

在点(1,1)处,引入变量κε-2(1−x),µε-2(1−y),并设相应边界层函数u(x,y,ε)≡V(κ,µ,ε),则它满足方程

再将第4节中求得的渐近解与V(κ,µ,ε)进行匹配.令匹配条件

成立,最后可得到符合条件的最终复合渐近解

我们再在(0,0)附近,将A2m,x,yR与A2m,η,ζJ匹配,令

得点(0,0)附近的匹配复合解

7.结论

至此,我们可以叙述本文的主要结论了,约定以下结果都是在前述假设下成立的.

定理7.1由(6.3)定义的复合渐近展开式是方程(2.1)的近似解,它满足边界条件

且存在常数M4,δ>0,使得

证回顾R(x,y),I(x,ξ),S(σ,y),J(η,ζ),U(κ,ζ),V(κ,µ)的构造过程和满足的相应边界条件,由(2.7),(5.8)及I(x,ξ),S(σ,y)当x1时为指数型小项,J(η,ζ)当x1,y1时为指数型小项,当x1,y1时再由(5.8),可得(7.1)的第一式成立.由(4.5),(5.8)及指数型小项的理由可得(7.1)的第二式和第三式也成立.

由(2.5),(2.6),和(3.1),(3.4),(3.5),(3.6),及(4.2),(4.3),(4.4),可得

由A2m,η,ζJ与A2m,x,yR+A2m,x,ξI+A2m,σ,yS的匹配条件及当x,y>0时,A2m,η,ζJ为指数型小项,再考虑到引理5.2,我们有

在上式中将A2m,η,ζJ −A2m,x,y(A2m,η,ζJ)替换成它的偏导数,则同样成立.于是,

其中δ>0为某常数.类似可证得

所以(7.2)成立.证毕.

证证明很容易,利用定理7.1,再对方程(2.1)应用最大值原理即得.证毕.

内问题(2.1)-(2.2)的一致有效的渐近解.

证由于在离开点(0,0)处,I,S,J,U,V都是指数型小项,由定理7.1和定理7.2即得第一个结论.关于第二个结论,由于排除了I,无界性不会出现,边界层只有(0,0)处附近的一个,所以R与J的匹配解能符合要求.至于对的估计,与定理7.1的证明完全类似即可证得.