次线性期望空间下精确渐近性的一般定律

黄丽桢,吴群英

(桂林理工大学理学院,广西 桂林 541004)

1.引言

传统概率空间中的经典极限定理具有可加性的概率和期望,只适用于确定性的模型.然而现实生活中面临的很多问题都具有很大不确定性,比如对风险及保险等行业产生不确定的随机数据进行估计时,传统概率空间的经典极限定理已不再适用.因此,彭实戈院士[1-2]提出了次线性期望空间的概念,并将传统概率空间(Ω,F,P)的概率拓展为次线性期望空间(Ω,H,)上的容度,从而拓展了概率极限理论模型的实际运用.目前,线性期望空间上的概率极限定理有中心极限定理[3]、大数定律[4]和完全收敛定理[5]等.但是,由于在次线性期望空间中,次线性期望和容度没有可加性,这导致很多用在传统概率空间中的方法和工具,并不适用到次线性期望空间,这就加大了研究次线性期望空间的难度.因此,将传统概率空间相关的经典极限定理推广到次线性期望空间更具有研究价值的意义.

假设{X,Xn;n ≥1}是在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列,φ(x)和f(x)是定义在[n0,∞)上的正函数,n0Z+,∞,f(x)↑∞,.记

其中,φ(x)和f(x)分别称为加权函数和边界函数.

1947年,Hsu和Robbins[6]首次提出了随机变量序列完全收敛的概念.在此基础上,许多学者在(1.1)中讨论某阶矩存在的条件下,不断研究φ(n)与f(n)之间的关系,证明P(φ,f,ε)<∞,ε>0.类似的结果,我们可以参考Hsu和Robbins[6]、Erds[7-8]和Baum以及Katz[9]等的成果,他们分别研究了φ(n)1,f(n)n和φ(n)nr/p-2,f(n)n1/p,其中0

其中,0≤δ<1,N是标准正态随机变量.令δ0,h(x)log logx,则(1.2)是文[15]的定理2.令h(x)logx,则(1.2)是文[13]的定理3.因此,研究φ(x)和f(x) 之间关系的一般式变得更有意义.

2.预备知识

在本文中,我们使用彭实戈院士[1-2]所构建的次线性期望空间的基本概念和框架,假设(Ω,F)是给定的可测度空间,H是定义在(Ω,F)上由实函数构成的线性空间,如果X1,···,XnH,则对,Lip(Rn),有φ(X1,···,Xn),其中Cl,Lip(Rn)表示局部Lipschitz函数,即对任意,Lip(Rn),存在常数c>0,Z+取决于φ,使得对任意x,yRn都有:

此时,称H是由随机变量所构成的空间,并记.

从定义得出,对于所有的X,,则有:

定义2.2[2]令G ⊂F,一个函数V:[0,1]称为容度,如果下式成立:

2) V(A)≤V(B),∀A ⊆B,A,.

其中,Ac为A的补集.根据定义,则有:

定义2.3[2]定义Choquet积分为:

其中,V可由上容度V和下容度V替换.

为证本文的结论,本文需要用到以下引理:

引理2.3[16]假设{X,Xn;n ≥1}是次线性期望空间(Ω,H,)上的独立随机变量序列,α为实数,且0<α<1.如果存在实常数βn,k满足:

3.主要结果及其证明

定理3.1假设h(x)是定义在[n0,∞)上单调上升的可微慢变化函数,且xh′(x)单调下降.假设{X,Xn;n ≥1}是次线性期望空间(Ω,H,)上独立同分布的随机变量序列,V具有可数次可加性,且满足:

反之,如果

且当n>k时,(Sn −Sk)与Sn-k同分布,以及hδ(x)h′(x)x ≥c(xh(x))′,则(3.1)成立.

定理3.2假设h(x)是定义在[n0,∞)上单调上升的可微慢变化函数,且xh′(x)单调下降.假设{X,Xn;n ≥1}是次线性期望空间(Ω,H,)上独立同分布的随机变量序列,V具有可数次可加性,且满足(3.1),则对任意的0≤δ<1有:

其中,N是标准正态随机变量.

注3.1定理3.1中分别取δ0,h(x)log logx和h(x)logx时,则将文[15]的定理2和文[13]的定理3从概率空间推广到了次线性空间,同时研究了定理3.1的必要性,而且定理3.2将定理3.1拓展到了最大值.

定理3.1的证明注意到:

再证(3.6).

先假设M ≥64,记AM,ε:h-1(Mε-2),其中,h-1是h的反函数.注意到:

因此,要证(3.6),只需证:

关于ε一致成立.

先证(3.7).

注意到F(y)是单调递减函数,因此它的不连续点是可数的.所以,(3.10)式对除了某个Lebesgue测度为零的集合以外的所有y都成立,再结合

根据Lebesgue有界收敛定理,由(3.10)得出:

因此,在(3.9)式中,首先令0,再令0,则(3.7)成立.

继续,证(3.8)关于j2成立.

对于0<µ<1,假设φµ(x),Lip(R)是一个偶函数,使得对所有的x,有0≤φµ(x)≤1,当|x|≤µ时,φµ(x)0.当|x|>1时,φµ(x)1,则有:

根据(2.3),(3.11)以及X与Xi的同分布,对于∀x>0,0<µ<1,有:

因此,要证(3.8)关于j2成立,只需证:

关于ε一致成立.以及

关于ε一致成立.

先证(3.14).

由于0≤δ<1,因此δ −1<0,则有:

再证(3.15).

由xh′(x)是单调下降的,则存在着一个正常数l,使得xh′(x)

不妨假设ε2<1,结合(3.17)和(3.18)可知:

因此,从(3.17)到(3.19)可知,(3.15)成立.

由于{−X,−Xi}也满足定理3.1的条件,因此用{−X,−Xi}代入(3.14),(3.15),对于(−Sk)我们也得到同样的收敛性,又因为

因此,结合(3.16),(3.19)以及(3.20)可知: (3.8)关于j2成立.

再证,(3.8)关于j3成立.

所以,(3.8)关于j3成立.

因此,分别证明了(3.7)和(3.8),则(3.6)成立.所以,我们完成了定理3.1的证明.

必要性的证明先证: (3.3)蕴含着CV(X2)<∞.

定理3.2的证明注意到:

因此,要证定理3.2,只需证:

因此,(3.27)成立.

再证(3.28).注意到:

由(3.8)关于j2成立,因此,要证(3.28),只需证:

关于ε一致成立.

先证(3.29).

类似于(3.7)的证明过程,在(3.9)中用2G(y)替换F(y),由(2.7),则有:

因此,在(3.31)中,首先令0,再令0,则J21(ε)0,(3.29)成立.

再证(3.30).

类似于(3.8)关于j3的证明过程,在(3.21)中用2G(y)替换F(y),又因为E|N|2δ+2<∞,则有:

所以,(3.30)成立.

因此,结合(3.31)和(3.32)可知,(3.28)成立.所以,我们完成了定理3.2的证明.