一则学生离奇错题案例引发的无理数教学的深度思考

王红权, 李 馨

(1．杭州市基础教育研究室，浙江 杭州 310003；2．拱墅区教育研究院，浙江 杭州 310005)

图1是笔者在朋友圈里看到的一则学生错解案例，很离奇也很有趣，更值得数学教师反思．

图1

图1显示的是学生的错解，在错解边上的空白处，教师有两句评语：“单位长度呢？数轴乱了！”对此，征集了150余位教师的反馈，观点整理如下：

师1：数轴必须等距标注位置，否则就失去了数轴的价值．

师3：数轴的“三要素”是对的，问题出在无理数大小的直观还没有建立．

师4：学生混淆了“单位”“等距”和“有序”这些概念．

师5：归根结底是没有真正理解无理数．

师6：学生的解答很有创意，要在数轴上表示无理数，如果单位长度也是无理数，那么二者统一又方便．

师7：强人所难，这是学生的无奈之举．

师8：学生做这个习题不适合，说明作业设计任重道远．

1 归因分析

1.1 学生认知结构与认知水平分析

学生已经学习了有理数、有理数运算和实数的基础知识(按照浙教版的内容顺序判断)，数轴在有理数性质这章学习.从答题情况可以看出：1)数轴“三要素”已基本掌握；2)一类带根号的无理数的大小已基本掌握；3)“每个实数在数轴上都有唯一确定的一个点与之对应”也清楚．

这些内容都是数轴基础知识学习的正迁移，说明初始学习数轴知识基本达标．在学习一种新数(无理数)后出现错误，这表明问题出在新数的学习上．

1.2 “认识无理数”教学分析

1)从无理数“概念”入手的学习．无理数是无限不循环小数.这是无理数的表示而并非定义，其中的关键词“无限”“不循环”无法用数学符号刻画．因此，这样的“概念”不足以判定一个数是否是无理数．

存在：信其有，即要让学生相信一个面积为2的正方形是存在的，因此这个正方形的边长是确定的，但又找不到一个有理数可以用来表示这个边长．

运算：本质上属于极限运算，但也遵循四则运算的基本规律．

(n+1)-n=n-(n-1)，

4)数轴上存在一个点表示无理数和用尺规作图找到这个点是两码事．数轴上的点和实数一一对应，也就是说在数轴上表示某个无理数的对应点是唯一存在的，位置也是确定的．至于能否用尺规作图的方法找到这个点，属于是否可以用尺规作图的问题，并不是同一个问题．

1.3 教师评语分析

教师有两句评语：单位长度呢？数轴乱了！

学生会觉得“数轴乱了”吗？如此思维有“创意”、视觉“有序”、极具“美感”的数轴，哪里乱了？对于这样的认知冲突教师该如何处理，这非常考验教师的功力(教师本体知识的理解水平、教材处理能力和教学组织管理能力)！

2 重新设计“实数”教学片段

2.1 借助直观，信其有得其法

2.2 通过证明，悟其理品其性

设计意图通过对无理数和实数下定义和分类，结合前面的学习，学生感知到无理数有正负的性质，能和有理数比较大小，这样有理数和无理数就可以在一个体系(实数)中加以研究．为接下来研究无理数的性质(大小关系、运算)奠定基础．

2.3 通过辨析，解其疑知其美

例1判断下列说法是否正确：

例3面积为2与面积为3的正方形的边长哪个较大？

图2

图3

设计意图通过示范与动手，学生明确数轴上的点与实数一一对应，感受数学之美(形与数的完美结合)．进一步确定数轴上存在一个点表示某个实数，和在数轴上用尺规作图找到这个点的具体位置是两件不同的事．

2.4 通过小结，使之精使之简

学习路径如图4.

图4

2)类比有理数的学习过程，我们又是如何学习实数的？

按照：“概念(定义、分类、表示)—性质(大小关系)”的一般套路进行(如图5)．

图5

设计意图通过知识框图，回顾研究一个“新数”的一般方法，建构新旧知识之间的联系，挖掘内容所蕴涵的数学思想方法，组织形成有序的内容结构，凝练本单元的教学主题．

3 后记

无理数的大小可以借助有理数进行估计，引题中学生的离奇错误反映出学生对无理数的性质(大小关系)理解偏差，问题的根源在于教学设计，只有纳入教学设计的作业设计才能发挥作业应有的价值．理解数学是一切教学设计之源，教师当任重而道远．