摩擦阻尼器工程应用力学模型算法研究进展

赵 露，涂田刚，丁孙玮*

（1.上海第二工业大学 资源与环境工程学院，上海 201209；2.上海材料研究所，上海 200080；3.上海消能减震工程技术研究中心，上海 200080）

在建筑结构中引入阻尼器协助耗能，减少地震对建筑结构的破坏已是土木工程领域的常用做法。摩擦阻尼器作为一种低成本，高耗能的阻尼器受到了广泛关注与应用。研究摩擦阻尼器的耗能特性及所属结构在地震激励下的反应，是摩擦阻尼器在实际应用中发挥更好效果的关键因素之一。计算摩擦力的算法最早由Coulomb 提出，其假定摩擦系数对已知的接触材料为常数，实际这作为摩擦阻尼器的力学模型是比较粗糙的。由于计算机技术的快速发展，摩擦的数值解可以更精确地考虑材料非线性、接触非线性和几何非线性等问题。

在阻尼器设计阶段，研究人员可以依靠建立几何模型，利用有限元的方法来模拟其各项特性，当阻尼器制作出来后，研究人员可以通过实验获得其力学特性，但是有限元的仿真精度很大程度依靠网格和接触定义，实验只能探究有限情况下的反应特征，所以研究人员需要一个数学模型，在基于有限实验数据的情况下表现出阻尼器在受不同激励下的反应。

在此以抛物线为例，一个斜抛物体在空中呈现出不同运动轨迹，但均可由二次函数的一般式来表示，这个一般式即是抛物线的数学模型，只需要改变各项参数，即可体现不同的运动路径，本文旨在总结应用于摩擦阻尼器的各项数学模型算法及其参数定义方法。

1 阻尼力

当前仍有较多研究人员沿用Coulomb 模型，即按式（1）所示。假设摩擦阻尼器的荷载—变形关系为理想弹塑性。在外荷载低于起滑力前，装置本身的变形表现为弹性变形和轻微塑性变形，达到起滑力后表现为塑性变形。由于弹性阶段较短，且理想情况下不提供耗能作用，所以式（1）未表现出弹性阶段特征。

式中：f 为阻尼力；k1为材料相关常数；△为塑性变形量；k 为摩擦系数；N 为正压力大小。据《摩擦学原理》介绍，摩擦是2 个接触表面相互作用引起的滑动阻力和能量损耗，主要包含分子作用、黏着摩擦、犁沟效应和变形能等摩擦理论[1]。从宏观角度，黏着和犁沟产生的阻力总和即为摩擦力。摩擦力计算式如式（4）

式中：A 为接触面积；τb为软基体剪切强度；σs为软基体受压屈服强度；S 为犁沟面积。一般较平整的接触面，犁沟效应较弱，式（1）右侧第二项值较小，对摩擦力的贡献小。而粗糙峰明显的接粗面，则不能忽略犁沟效应。

式中：V0为初始速度；θ0为初始外力与初始速度间的夹角；Q 为外力；F 为摩擦力与外力的比值，F=；θ 为瞬时速度与外激励间的夹角。

由式（2）可以看出，摩擦系数与材料剪切强度和受压屈服强度有关。

从出口的角度看，目前主要的二铵出口国家主要有8个，包括：中国、摩洛哥、美国、俄罗斯、立陶宛、澳大利亚、墨西哥以及沙特。这8个国家2017年的二铵出口总量为1526万吨，同比下降1%。主要的一铵出口国家主要有7个，包括：中国、摩洛哥、美国、俄罗斯、墨西哥、南非以及沙特。这7个国家2017年的一铵1065万吨，同比增长12%。相对而言，一铵出口增速比二铵更快。

珍惜一块边角地（归真） ................................................................................................................................9-59

图1 野草算法流程图

图2 粒子群优化算法

Reddy[2]以荷载、位移、滑动速度作为输入因素，摩擦系数作为响应输出量，得到优化摩擦系数。

Reddy 等[2]基于实验，采用野草算法（IWO）和粒子群优化算法（PSO）来确定摩擦系数，可更接近真实值。野草算法是2006 年由A. R. Mehrabian 提出的一种随机搜索优化算法，以群体中适应性更高的参数指导优化，以正态分布动态改变标准差的方式将已按适应性排序的参数叠加在目标参数周围，再经过参数之间的竞争，得到最优参数。粒子群优化算法是1995 年由Eberhart 和Kennedy 提出的一种迭代优化算法，以群体内每个粒子（参数）作为可能解，每个粒子具有速度和位置属性，每个粒子单独搜寻的最优解叫做个体极值，粒子群中最优的个体极值作为当前全局最优解。2种算法流程如图1 和图2 所示。

在明确了摩擦力及摩擦系数的影响因素后，我们必须进一步分析荷载与位移之间的关系，以求解不同荷载下的摩擦轨迹。王晓笋等[3]在恒定激励下求出滑移轨迹的精确解，如式（6）与（7）。

总之，从国家认同看，作为一种“想象的共同体”，美国显然具有一定的独特性。从“美国人”民族意识萌生，直到建成统一的联邦制国家，脱离了相对一致的自由主义价值认同，美利坚合众国的形成是不可思议的。作为移民国家，美国缺乏长期的历史积淀和显著的多种国家身份认同标志，也没有太多传统包袱，他们拥有的主要是殖民地时代形成的自由主义价值观和以此建立新国家经历形成的自我身份认同。美国成为独特的政治共同体、文化共同体、民族共同体多种认同融为一体的国家，但自由主义始终是把不同层面心理认同融为一体的关键。从这种意义上说，成为美国国家认同的重要标志，正是自由主义美国化形成的所谓“美国自由主义传统”的最显著特征。

由式（1）摩擦力除以正压力，可以很容易获得摩擦系数的表达式，如式（5）

在关系数据库中，关系模式是有概念模式生成的。概念模式的表示方法一般为E-R图。在E-R图中，包括实体和联系两个元素，实体与实体之间的联系类型有“1对1”、“1对多”和“多对多”三种，根据一定的规则和规范化要求，可以导出由实体和联系生成的关系模式。因此，关系模式可以分为实体关系模式(实体表)和联系关系(联系表)模式两类。根据关系数据模型的参照完整性要求，关系表之间存在主外键的约束关系，形成了关系图。

王晓笋[3]利用上述解析解能够建立一种新的库伦摩擦力系统轨迹数值求解算法，并且获得了较高的响应精度。

2 摩擦阻尼器力学模型

2.1 模型介绍

为获得每个力学性能指标参数，有必要对一些简单的概念做一下介绍，为保证参数的一般性，在此用粘弹的滞回曲线作为模型来介绍必要的力学参数含义，因为粘弹滞回曲线便于区分最大阻尼力与最大位移阻尼力，图3 为粘弹阻尼器试验测得的一般滞回曲线。

钻孔施工中要求每钻进20 m及达到终止井深时各测斜1次，确保井身的垂直度达到设计要求，终孔时井身最大偏移不能影响下生产套管后安装止水托盘。终孔测斜后要计算出井底的方位和坐标。

图3 粘弹滞回曲线示意图

（1）图中：u0为阻尼器的最大位移；F0和F3分别为为阻尼器的正向最大阻尼力和负向最大阻尼力；F1为最大位移u0处的阻尼力；F2为零位移处的阻尼力；滞回曲线斜率为阻尼器刚度kt。

（2）表观剪应变γ 体现材料的剪切变形能力。

林治民等[10]基于层间位移差引起各层摩擦阻尼器耗能情况的不同，建立了更贴切的等效刚度计算模型，如式（19）和（20）

夏冰下了车，听到身后压抑已久的抱怨声终于爆发出来：“太没有素质了！”“一看就知道不是好人！”“垃圾！”夏冰冷笑一声，走向十字路口一家报亭。他趴在报摊上翻了翻，要了一份《成都市民报》，一瓶绿茶和一个面包，还要了一张IC卡。

由上述式子，可以总结等效阻尼比如下

（4）存储剪切模量Gs表征材料存储剪切应变的能力，表达式如下

式中：F1为正向最大剪切变形时的阻尼力；A 为剪切面积；γ 为表观剪应变。

（5）损耗因子η，表达式如下

（6）等效刚度Keq表征材料抵抗剪切变形以及提供剪切刚度的能力，表达式如下

式中：F1与F4分别为正向最大位移与负向最大位移处时的阻尼力；u0和u1为正向与负向最大位移。

（7）等效阻尼比ξeq用来衡量材料的阻尼特性对结构减震耗能作用的大小，计算公式如下

本系统主要由温度传感器模块模块、压力传感器模块、红外线传感器、超声波模块、液晶显示模块、人体感应模块、蜂鸣器模块以及STM32作为主控制板的系统装置,系统结构如图1所示。

比如说在讲授《月光曲》这篇课文的时候，老师可以把清幽的月光照进茅屋的情景通过微课的形式展现在学生面前，使学生情不自禁地走入情境之中，对月光的清幽、景色的美好更加深刻的体会，使学生对语文学习产生浓厚的兴趣。再比如学习《开国大典》这节课的时候，很多学生都没有去过北京，没有见过天安门，只靠课文中的一些插图，很难感受到天安门带给我们的宏伟气势，这就很难把这篇课文教学效率提升上去。而我们通过微课的形式，可以把图片与视频结合起来展现在学生面前，刺激学生的感性认知，从而使学生对课文中的描述理解更加深刻，促使教学目的更加有效地完成。

式中：W 表示每循环耗能，一般由积分计算得到，可简写为如式（14），即试件在一次滞回循环过程中力—位移滞回曲线所包络的面积大小。W′表示最大变形时的应变能如式（15），由材料力学可知W′的计算公式如下

式中：F0和F3分别为正向最大阻尼力和负向最大阻尼力；

此处仅就常用符号含义做出介绍，针对不同的滞回模型，各项指标的计算方法有轻微差别。一般阻尼比表示结构自身的整体耗能，而阻尼器在结构中是离散分布的，要表示阻尼器的离散耗能，需一个耗能相等的近似等效，将阻尼器的耗能等效为结构的耗能。等效的依据与方法的不同，产生的模型也有所差异。

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李澈[4]设计的异形面变摩擦阻尼器，实验得出类狗骨形滞回曲线，后简化为对三角形滞回曲线，提出等效阻尼比计算式，式中k0为建筑结构自身刚度。李明俊[5]将原有框架结构和刚度较大的墙体连接，形成摇摆墙体系，在墙板接缝处设摩擦阻尼器，并提出其建议的等效阻尼比。Wang 等[6]设计的新型自定心变摩擦阻尼支撑，依据阻尼器每圈耗能Eso和结构等效单自由度系统的弹性应变能量ED 提出其等效阻尼比。Graham[7]分析对比多种结构，提出总等效阻尼比是弹性阻尼ξel和迟滞阻尼之和ξhyst，并对弹性阻尼和迟滞阻尼做了更为详细的推导介绍。Dwairi[8]的思路与前述相似，用非线性系统中的初始弹性阻尼ξv和迟滞阻尼作和，不过Dwairi 计算迟滞阻尼时考虑了自振周期的影响，有效降低了预测非弹性位移的误差。

由前所述，滞回曲线对阻尼器的评价非常重要，很多专家学者简单利用Coulomb 方程作为摩擦阻尼器的恢复力模型，由于目前阻尼器的结构设计越来越复杂而不再适用，且由于接触表面随时间在不断发生各种物理化学变化，界面摩擦系数也在发生着显著变化，导致单纯用Coulomb 模型是非常粗略的，但要精确考虑及量化界面粗糙度、表面膜、颗粒、基层弹塑性变形和螺栓拉伸状态等又会使问题变得非常复杂，为了使问题更易处理，需要进行构造和本构关系的简化。

2.2 本构模型

2.2.1 Fu 模型

Fu 等[9]在2000 年根据摩擦阻尼器的滞回特征，建立了反应摩擦阻尼系统的数学模型，且对其进行了等效线性化。摩擦阻尼器的机械模型是利用弹簧和摩擦机构并联，如图4 所示。

就种子萌发的指标发芽率和发芽指数而言，本实验中受体高羊茅种子的发芽率普遍较低。经浓度为0.05 g/mL的凌霄干花水浸提液处理后，高羊茅种子的发芽率仅为8.9%。而在谢苑等人的研究中，经浓度为0.05 g/mL的白三叶水浸提液处理后，高羊茅种子的发芽率为94.3%[12]。本实验同样在20℃、12 h光照的条件下培养高羊茅种子，种子的发芽率与谢苑等人的实验中种子的发芽率有显著差异，原因可能是不同物质的水浸提液释放的化感物质的种类、浓度和释放途径有差异。

图4 模型示意图

弹簧刚度用Kd表示，η′和η″分别表示加载与卸载时的耗损因子，△为初始位移，u 为相对位移，f 为阻尼器提供的反力。

（3）最大阻尼力Pm体现材料的受力特性，计算公式如式（8）

式中：umax为最大滑移位移；us为初始滑移位移；kb为摩擦阻尼器支撑刚度；kf为结构层间刚度；ζ0为结构的固有阻尼比；Edo和keo为与支撑刚度和位移相关的系数，可按下式（21）和（22）获得。

式中：α1为与预压力及摩擦性能相关的滞回系数；Kd为累积刚度；系数p 和q 可用上述遗传算法确定。该改进的Bouc-Wen 模型能够较好吻合和预测复合材料在不同位移幅值下的多阶段迟滞摩擦行为。

在计算出等效刚度及等效阻尼矩阵的基础上，利用计算机程序绘制出滞回模型，可表现出不同层间的摩擦阻尼器耗能情况。

2.2.2 Bouc-Wen 模型及改进方法

Bouc-Wen 模型是Bouc[11]和Wen 提出和推广的一种可以描述滞回现象的数学模型，后经过多代学者改进，且随着计算机技术及参数识别的发展，Bouc-Wen模型被广泛应用于减振邻域，描述多种材料，多种结构的滞回现象。其力学模型如图5 所示。

图5 Bouc-Wen 模型示意图

图中u 为整体位移，z 为滞变位移，F1为弹簧1 变形所产生的力，F2为弹簧2 变形所产生的力，α 为屈服后刚度与屈服前刚度的比值，K 为弹簧的刚度[12]，z 表示摩擦位移，其力和位移的关系，如式（23）和（24）

因为在实践中，Bouc-Wen 模型多用于逆问题求解的方法：给定一组实验的输入-输出数据，来不断优化调整Bouc-Wen 模型参数，使模型输出与实验数据相匹配。一旦某辨识方法应用于调整模型参数后，使实验数据和模型输出之间的误差足够小，得到的模型被认为是真实迟滞的可接受的近似。

Sireteanu 等[13]提出了一种基于遗传算法的方法来拟合广义Bouc-Wen 模型。主要是利用广义Bouc-Wen微分方程导出的解析解，以实验数据作为输入量，用遗传算法来确定模型参数。确定好参数的模型用来预测迟滞曲线最大力绝对值和环轴交点的坐标。最后与实验数据对比，获得了较好的拟合效果。

广义Bouc-Wen 模型一般不能反映位移的影响，而目前有许多研究学者开发出新型变摩擦阻尼器，这需要力学模型反映出位移与滞回的关系。ShaoboLiu 等[14]提出的改进Bouc-Wen 模型，可以反映多相材料变摩擦，同时体现位移相关性表达式如下

式中：αb为附加刚度比，一般取2 至10；us为滑移率。

并联的Bouc-Wen 模型可以反映材料的随动强化，系统拥有两个自由度，而广义的Bouc-Wen 模型不反映位移的影响。模型与实际的符合程度取决于参数的选取，表1 列出了影响模型的参数和影响范围。

表1 Bouc-Wen 模型各项参数意义

2.2.3 分段模型

Lopez 等[15]把摩擦分为粘滞阶段和滑动阶段分段建模，粘滞阶段使用连续逼近的方式，滑移阶段基于库伦模型考虑Stribeck 效应和粘性阻尼。模型示意图如图6 所示。

HTK是使用最困难的工具包。建立系统需要声学模型训练工具的开发，这个过程费时且容易出错。基于HTK的语音识别系统的开发和集成需要开发者具有较好的专业语音识别领域的专业知识和熟练的开发技巧。

图6 单自由度模型示意图

Lopez 在粘滞段考察了3 种模型，本文仅介绍其粘滞阻尼模型如式（27），滑移阶段模型如式（28）。

式中：fr为粘滞阻尼力；Fd为滑移阶段恒定摩擦力；v 为质量块滑移速度；g 为Stribeck 函数；α 为Switch 模型中的参数；Fex和Fs为恒定摩擦力衰减后的力。

3 结构失效控制算法

建筑结构在受地震作用时，结构层间位移分布是不均匀的，这种不均匀分布会导致结构局部出现破坏，而其他部分并未充分发挥预期性能，导致变形和损伤集中在这些局部楼层，而在结构中附加耗能体系，可以在增强结构整体变形能力的同时，增加结构的延性和避免出现薄弱层失效。

当目标D到达抓取范围内,判断t与td的大小关系以及目标D在y的相应坐标,可得目标D的机器人抓取坐标系下的工件坐标,假设为(xd,yd,zl),抓取目标后将其放置在E点,设E点坐标(xe,ye,z2)。假设F点为预估计抓取位置,抓取时间为tf。在△DEF中作EG⊥DF,可得G点坐标(xe,yd,zl)。可推导出边DE的长度为:

摩擦阻尼器具有屈服后刚度不足的缺点，使其在大震下，并没有有效避免层间位移不均匀的情况[16]，由此清楚了解结构失效的控制算法，可以帮助摩擦阻尼器的布置与应用。

第二，加强科技基础设施建设，在有基础和比较优势的领域，进行预研和前瞻布局，使其成为突破科学前沿、解决经济社会发展和国家安全重大科技问题的物质技术基础。

Ahmed 等[17]利用神经网络算法提出新型LSTM 模型，用于预测地震引起建筑框架结构的损坏，非线性动力分析在OpenSees 中使用地面运动进行，每个非线性动力学的损伤状态分类为三种标签，然后使用高斯白噪声函数平衡数据集，将整个输入序列分成不同数量的堆栈，并使用重叠的数据来链接每个堆栈。这样提供可靠的机器学习技术，训练工作量更少，准确性更高。

Gao 等[18]发现通过有限元数值模拟方法，梁柱节点参数的标定计算量大、耗时长，特别是对于节点较多的框架结构，工程人员难以实现。所以其训练数据建立了12 种机器学习方法，发现随机森林和XGBoost 对失效模式的预测模型精度较高，且XGBoost 方法能较好地识别故障模式，对于精度高但可解释性差的复杂模型，采用SHAP 方法考虑特征交互，并对所有特征进行影响分析，指导结构延性设计，尽可能实现均匀的层间位移。

4 结论

本文从摩擦力、摩擦阻尼器、建筑结构3 个层次系统地介绍了有关算法的研究进展，得到了如下结论：（1）库伦摩擦模型比较粗糙，不适合复杂的摩擦阻尼器。（2）建立考虑速度及温度因素对摩擦力或摩擦系数影响的模型是未来摩擦算法领域需解决的问题。（3）通常滞回模型大都是将恢复力设为弹性力和阻尼力两大部分之和，根据位移和速度的函数来确定待定系数，但摩擦阻尼器表现出的非线性不能被很好地解释，而Bouc-Wen 模型可以得到更为光滑的滞回模型，并且可体现多相材料变摩擦和材料的随动强化，但是Bouc-Wen 模型的微分方程参数较多，提出一个精确且便捷的方法确定其参数是研究重点。（4）实验或有限元仿真不能穷尽构件或结构随机遇到的所有工况，所以急需一个优质模型作为理论研究和工程设计的依据。