数学类竞赛融入公共数学课堂教学研究与实践

陈丽娟，马鸿洋，李明珠

（青岛理工大学 理学院，山东 青岛 266520）

引言

为推动工程教育改革创新，2017年2月18日，教育部在复旦大学召开高等工程教育发展战略研讨会［1］。新工科以立德树人为引领，以应对变化、塑造未来为建设理念，以继承与创新、交叉与融合、协调与共享为主要途径，培养多元化、创新型卓越工程人才，具有战略型、创新性、系统化、开放式的特征。

公共数学课程包括“高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”，是高等学校工科本科各专业学生必修的重要基础理论课，是进一步学习其他专业理论知识的必备基础课程，对培养学生的科学思维、逻辑推理和创新能力有着十分重要的作用，也影响着高校专业人才培养质量。但是，传统的以教师教为中心的单向教学模式过于强调课程内容的系统性、条理性和严谨性，不能很好地适应后续专业课程的要求，很难使学生真正学以致用，对培养学生的创造性思维、科学思维和独立学习能力难以起到积极作用［2］。因此，改变传统的教学方法势在必行。在公共数学教学中，适当引入数学类竞赛案例，与传统的教学模式有机结合，取长补短，优势互补，有助于促进高等数学教学质量的提升。基于教学目标的要求，依托数学类竞赛中的案例，由教师引导学生学习、研究及提升能力。从本质上体现了教育家孔子“不愤不启，不悱不发”的教学理念，即由教师提出数学类竞赛问题，学生积极思考，待学生处于“愤”的状态，教师才点拨启发，让学生继续思考案例，再待到学生进入“悱”的状态，教师再诱导，使学生“柳暗花明”。以此形成一种“在学习中探索，在探索中学习”的良性能动循环。这和CBL问题式教学法主张的让学生解决真实世界中的问题，或完成源自真实世界经验且需要深度思考的任务相一致。

一、数学类竞赛在大学数学中的作用

全国大学生数学建模竞赛是教育部在20世纪90年代倡导开展的四大学科竞赛之一［3］。作为数学类竞赛之一，数学建模能有效提升学生的创新和实践能力，是数学类课程教学改革的有效载体。2022年，全国大学生数学建模竞赛参赛学生超16万人，受益面广。在高等院校中开展的大学生数学类竞赛，是开放式教育的一种表现形式，也是一种素质教育，能为学有余力的学生提供展示数学才能和天赋的机会。数学类竞赛在大学数学中具有以下作用［4-5］。

（一）提高学生的自主学习能力和数学素质

激发学生学习兴趣是目前高等学校教学研究课题之一。数学类竞赛能使学生亲自感受和体验数学知识的魅力。在数学建模竞赛活动中，集中的培训和有效的锻炼会使学生的自主学习能力得到提高。数学类竞赛能激发学生创新思维的产生，因为数学类竞赛的题目有很多不同类型的解题方法。大学生数学类竞赛提供了一个展示自我的平台，能培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。

（二）发掘具有创新思维的学生

数学竞赛和数学建模比赛需要学生具有创新精神和探索精神。在平时上课的过程中，发掘解题方式独具一格的学生，引导对数学类竞赛具有一定兴趣的学生。教师应积极调动学生创新和探索的主动性。

（三）优化公共数学课程的师资队伍建设

数学类竞赛涉及范围广泛，多个学科交叉性强，涉及军事、工业、农业、经济、生产、管理、人口等领域的实际问题。这就要求课题组教师的知识面和实践经验相对于普通教学教师的知识面和实践经验更宽广、更丰富，组建雄厚的教师团队，吸收更多优秀的教师包括专业教师到公共数学课和数学类竞赛的队伍中来，加强数学教师与专业教师的密切合作，是公共数学和数学类竞赛取得好成绩的重要保障。

（四）通过公共数学课网络教学平台，加强和学生的交流

高校数学竞赛和数学建模竞赛期望让更多的学生参与，而每位理工科学生都会学习公共数学课。可通过在公共数学课网络教学平台增添数学类竞赛和数学建模内容，让更多的学生参与数学类竞赛。

二、数学类竞赛融入公共数学课堂教学的实践

（一）教学内容中融入数学类竞赛思想

数学中许多概念本身都必然对应着某些实际原型，是抽象的数学模型，教师课上导入概念时可以利用学生熟悉的一些几何背景或物理背景，让学生认识到这些概念是与实际生活有密切联系的。具体如下。

1.教师可结合公共数学，融入具有一定背景的数学建模题目，指导学生课外研究解决，并给予一定指导。

2.增加基于数学软件应用的实践内容，最大限度地调动学生的学习积极性，培养学生的计算能力，这是衡量学生数学能力高低的一项重要指标。

3.收集资料，编写具有特色案例的公共数学课程教案及数学类竞赛的培训材料。材料既要符合学生现有的学习水平，又要满足学生今后的需要，例子习题要有实际应用背景，有一定学术水平，便于学生自学，能最大限度地发掘学生的学习能力。

（二）基于数学类竞赛平台的两大体系建设

数学类竞赛为学生的创新实践能力和综合能力培养提供了平台，是课堂理论知识内化的训练场，也是检验人才培养成效的试金石。为更好地发挥数学类竞赛的带动作用，教学团队构建并实施了“完善的学科竞赛体系”和基于竞赛辅导机制的“交叉融合的课程体系”。经过多年实践检验，学生总体综合素质及能力显著提升，两大体系相辅相成，共同支撑起创新人才教育的保障体系。为了创新人才培养方案的顺利实施，教学团队经过多年探索，打造适合自身学情的软硬件环境，积极改革不适用的旧方式和旧制度。目前已形成并完善了“开放实验室的运行机制”“本科生进课题组的选拔实施机制”和“数学类课程创新教学机制”。通过这些改革措施，进一步补充完善人才培养手段，丰富人才培养内涵。

（三）构建新工科背景下的交互性创新能力和工程实践能力学习平台

学生利用这一平台主动学习公共数学课程和数学类竞赛，分析并解决问题。同时教师可采用更多的教学模式，如翻转课堂、慕课等［6］，满足学生学习的需求。数学建模更多的是将实际生活中复杂、抽象的问题转变为简单具体的数学问题，有助于引发学生的好奇心、激发探索解密的潜力。增加“高等数学A”课程“知识拓展模块”，由数学类竞赛创新平台、数学文化及数学建模讲座与论坛、数学沙龙组成。试行“创新+”实验班活动，即“+课题”“+研究团队”“+数学建模导师”，在夯实原有课程体系的基础上，提出基于数学建模的创新人才提升培养计划。

（四）数学类竞赛案例中融入思政元素

挖掘案例中蕴含的思政元素、哲学思想，助力学生树立正确的世界观、人生观和价值观。激发民族荣誉感。例如在讲拉格朗日中值定理时，可以给学生分享数学家拉格朗日的事迹，鼓励学生端正学习态度，脚踏实地地学习。尤其在学习与生活遇到困难时，数学家的奋斗故事可以鼓励学生克服困难，砥砺前行。

（五）探索并实践“后竞赛”时期学生科研活动的管理机制

1.根据学生兴趣专长，实施“两层次”个性化发展途径。以学生为中心，因材施教，充分尊重与鼓励学生的个性发展，允许学生根据自身实际与兴趣爱好，自主选择“进入教师课题研究小组”或“主持国创省创课题”两个层次的阵营，教学团队在课堂内外给予学生专业化指导。调动学生的学习兴趣对增强教学效果至关重要，要激发学生的学习兴趣，让学生的“兴趣”变为“专长”是学生创新能力得到锻炼的绝佳途径。

2.根据学生能力水平，呈现“四环节”个性化培养成效。学科竞赛在学生实践创新能力培养过程中起到了至关重要的作用，学科竞赛的成绩不是一蹴而就的，而是厚积薄发，竞赛对学生培养的影响力也不是昙花一现，而是会延伸到竞赛结束后相当长的一段时间里，甚至整个学习生涯。鼓励学生将竞赛的经验和取得的成果融入创新文章发表、专利申请、软件著作权申请、研究生考取等环节，既是对学生能力水平的肯定，也是创新人才培养成效的写照。

三、“高等数学”课程教学案例分析

我们在讲解函数的极值与最值内容时，很多问题就是数学建模中的优化问题。我们可以设计这样一个问题：生活中，饮料易拉罐体积一定的情况下，用料越省，越会节约成本。这就需要优化设计比例是不是最省的。

模型假设：易拉罐近似看成一个圆柱体。

上下底设计及开罐装置忽略不计。

上下底的厚度一致。

易拉罐的上下底和侧壁厚度是不一样的，假设侧壁厚度是a，上下底的厚度b。易拉罐的体积为V，内部半径记为r，高度为h。易拉罐的体积为V=πr2h。则所用材料的体积为：

于是建立的数学模型为minT（r,h）=minT（r）。

四、实践效果和实际推广应用价值

（一）教师转变教学理念，学生转变学习观念

教师通过数学类竞赛融入公共数学教学实践，可以加深对数学类课程实践教学的理解，进而逐步转变教学观念，促使自己不断丰富理论水平、积累实践教学经验［7］。课题主讲教师针对“高等数学A”课程进行实践。课程改革后学生的学习任务完成情况有了明显好转，基本改掉了不做作业或抄袭的不良习惯，独立完成学习任务的比例有了明显的提高。我校“高等数学”课程属于全校公共课，经过两年的教学实践，学生的不及格率明显下降，从32.89%下降至6.90%，优秀率大幅提高，从12.5%上升到25.52%。

（二）教学相长促进数学课程改革和建设

通过改革实践，教师对自身的教学水平有新的认识和定位，进而不断改革完善课程体系，形成有效的教学方法，最终使学生获得更优异的成绩［8］。从而形成以赛促学、以学促教、以教带训、以训促赛的良性循环。在创新改革研究的两年内，团队发表和指导学生发表创新性文章8篇、申请省部级教改课题5项、校级教改课题8项、软件著作权2项、教材2部，取得了一定的成绩。

（三）创新人才培养，数学建模比赛再创新高

数学建模题目能激发学生创新思维的产生［9］。即使是同一个问题，不同学生采用的方法也不相同。学生必须充分发挥创造力和想象力，从而培养了学生的抽象思维和创新思维能力。团队指导学生数学类竞赛获奖情况：参加全国大学生数学建模竞赛获国家奖项3项、省奖项近20项；参加全国大学生数学竞赛获省一等奖近10项；参加美国大学生数学建模比赛获F奖2项、M奖3项、H奖3项。

结语

经过基于数学类竞赛融入公共数学课程的实践，从初期准备到模式探索，从理念灌输到落地实现，从经验积累到改进优化，无论是教师团队还是试点班级的学生都一步步参与了新的教学模式［10］。随着数字信息化的发展，学生创新思维的重要性日趋明显。将数学类竞赛融入公共数学教学，可以提高学生的学习兴趣和积极性，提高创新和科研能力。自从青岛理工大学公共数学课程中融入数学建模和数学竞赛思想以来，参加数学类竞赛的学生人数逐年增加。参赛学生通过数学类竞赛，创新思维能力和实践能力得到很大提高，为我们探索更具特色的新型教学模式铺平了道路。