借助数学思想方法，解决几何问题

万飞

本章是在小学数学“图形与几何”知识基础上的进一步探究，是初中几何学习的入门知识。下面，我们以几个常见问题为载体，借助数学思想方法的渗透，帮助同学们更好地攻克本章的几个难点。

问题一：与线段中点有关的分类讨论

例1 在一条直线上有A、B、C三个点，M为AB的中点，N为BC的中点，若AB=a，BC=b，试用a、b的代数式表示MN的长度。

【解析】因为题目没有给出图形，画出线段AB后，点C的位置不明确，所以要分点C在线段AB上、点C在线段AB的延长线上、点C在线段BA的延长线上这三种情况进行讨论。

解：①如图1，点C在线段AB上，MN=MB-NB=½（a-b）。

②如图2，点C在AB的延长线上，MN=MB+NB=½（a+b）。

③如图3，点C在BA的延长线上，MN=NB-MB=½（b-a）。

综上：MN的长度为½（a-b）或½（a+b）或½（b-a）。

问题二：角度计算中的分类讨论

例2 已知∠AOB=60°，∠AOB=3∠AOC，射线OD平分∠BOC，求∠COD的度数。

【解析】本题同样没有给出图形，因此不知道OC在∠AOB内还是∠AOB外，所以需要分类讨论。

解：①如图4，OC在∠AOB内，此时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-20°=40°，所以∠COD=½∠BOC=20°。

②如图5，OC在∠AOB外，此时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+20°=80°，所以∠COD=½∠BOC=40°。

综上：∠COD的度数为20°或40°。

在没有给出图形的题目中，一般会有多种情况，需要分类讨论。上面两题可放在一起用类比的思想进行研究，难点在于怎样准确地画出所有图形。

问题三：互余、互补概念辨析

例3 下列说法中，哪些是正确的？请说明理由。

（1）互余且相等的兩个角各是45°；

（2）一个角的余角一定小于这个角的补角；

（3）如果∠1+∠2=∠3，那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的余角；

（4）如果∠1+∠2=∠3，那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的补角。

【解析】（1）45°+45°=90°，正确；

（2）设这个角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α，补角比余角大90°，正确；

（3）∠1的余角为90°-∠1，∠2的余角为90°-∠2，∠1的余角与∠2的余角之和为180°-∠1-∠2=180°-（∠1+∠2）=180°-∠3，错误；

（4）由（3）的解析可知结论正确。

综上：（1）（2）（4）正确。

互为余角、互为补角是指两个角之间的数量关系，不涉及位置关系，所以只要借助数量关系判断即可。紧扣定义还可以知道，1个角或超过2个角不存在互余或互补关系。

问题四：时针、分针的夹角

例4 时钟在9点20分时，时针和分针的夹角为_______°。

【解析】借助钟的表面我们可以知道，分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。9点时，时针与分针的夹角为90°。20分钟后，分针从数字12开始转了120°，时针从数字9开始转了10°。此题可借助图形，利用数形结合的数学思想进行研究。

解：9点时，时针和分针的夹角为90°，到9点20分时，分针转了20×6°=120°，时针转了20×0.5°=10°，此时它们的夹角为：360°-120°-90°+10°=160°。

华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”所以，在解决几何问题时，我们一定要多思考、多画图，借助数形结合或分类讨论等思想方法，做到不漏解、不多解。

（作者单位：江苏省无锡市高新区金桥外国语学校）