啮合错位对高速齿轮传动振动响应的影响

李良祥， 魏静， 张爱强， 倪德， 钟团结

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室， 重庆 400044； 2.中国航发湖南动力机械研究所，湖南 株洲 412000)

航空齿轮等高速齿轮传动系统中，由于轴、轴承、壳体和齿轮等受载变形以及零部件制造和装配误差，易造成齿轮啮合错位即齿轮不对中，根据国内外相关文献统计，由于齿轮错位即不对中所引起或与之相关的故障占所有旋转机械故障的60%以上[1]，微小的错位可能造成系统转速失稳、振动加剧、齿轮偏载和疲劳破坏[2-5]等严重后果。关于齿轮啮合错位，国内外学者进行了较多的研究，就研究方法而言，主要分为解析法[6-12]和仿真[13-16]。Shao等[6]研究了斜齿轮啮合错位对齿轮啮合力的影响。马辉等[7]研究了修形对啮合错位的影响，结果表明，鼓向修形可改善错位对齿轮接触应力的影响。Lin等[8]、Wang等[9]和Saxena 等[10]建立了斜齿轮副啮合刚度计算模型，说明了啮合错位对斜齿轮啮合刚度的影响，但他们的模型均为切齿啮合模型，模型较为简单，考虑因素较少。Guan等[11]和Wei等[12]以齿式联轴器为对象，考虑错位建立齿式联轴器数学模型，研究了错位对轮齿接触特性的影响，研究结果表明，在错位情况下轮齿表面由原来的线接触变为点接触。Shi等[13]建立了准双曲面齿轮转子系统数学模型，研究轴不对中对准双曲面齿轮动态响应的影响，结果表明，轴系不对中对速度、转矩波动等响应产生了较大影响。Zhan[14]建立了啮合刚度的有限元模型，分析了齿轮错位对啮合刚度的影响。Jones等[15]和Li[16]运用有限元方法，建立齿轮模型研究了啮合错位对齿轮啮合性能的影响，错位改变了啮合力、传动误差和轮齿接触模式，轮齿修形可减小错位的影响，但他们的建模过程中均未考虑系统各齿轮轴受载产生的弯扭耦合作用对啮合错位的影响。

国内外学者在研究齿轮啮合错位时，所建立的模型多为切齿错位模型，模型中未考虑齿轮轴在运转过程中受载产生的弯扭耦合作用(各轴系柔性)对啮合错位的影响；研究多局限于错位对齿轮副啮合刚度、接触状态等齿轮自身啮合性能影响，而错位对系统振动特性，特别是错位对应力造成的影响研究较少。针对以上研究不足，本文运用超单元缩聚方法对系统各轴系和齿轮轮齿进行缩聚创建缩聚主节点，实现轴系及齿轮柔性化，结合多体动力建模理论，在各主节点施加约束和载荷，建立了考虑错位的全柔体单级航空高速直齿轮传动系统动力学模型，研究了齿轮啮合错位对系统影响。

1 啮合错位齿轮传动系统动力学模型

啮合错位主要分为3种：角度错位、轴向错位和径向错位，如图1所示，错位导致齿轮非正常啮合，进而影响系统动态特性，文献[12]的错位试验研究结果表明，错位增大了振动位移频谱中各主频处幅值，其中角度错位的增幅更大，因此本文主要研究角度错位。

图1 啮合错位类型Fig.1 Types of meshing misalignment

耦合动力学模型基于Guyan矩阵缩聚理论完成，通过子结构分析法将结构单元凝聚为一个超单元，大大缩减模型自由度。选取某一部件其动力平衡方程为：

(1)

式中：M、K、C分别为质量、刚度和阻尼矩阵；F为载荷矩阵；u为位移矩阵。

u分为主自由度um和从自由度us，两者关系为：

us=Tum

(2)

式中：T代表um和us相互关系，um和us分别用nm和ns阶向量表示，T为nm×ns阶矩阵，式(2)表示为：

(3)

静态时：

Ku=F

(4)

假设部件有m个主自由度，且有s个从自由度，则式(4)可以表示为：

(5)

式中：Kmm、Kms、Ksm、Kss依次为m×m、m×s、s×m、s×s阶刚度矩阵；主自由度上的载荷向量为Fmm。

由式(5)可得：

uss=-K-1Ksmumm

(6)

[Kmm-KmsKss-1Ksm]umm=Fmm

(7)

由式(2)、(6)可得：

(8)

联立式(6)、(7)、(8)可得

(9)

通过有限元缩聚完成各子结构分析，同时将传递矩阵T写入式(1)的阻尼矩阵及质量矩阵中：

Mm=(T*)TM(T*)，Cm=(T*)TC(T*)

(10)

主自由度代替了原本结构的自由度，其缩减的自由度动力学方程为：

(11)

根据上述建模理论，建立传动系统动力学模型，流程如图2所示，其中输入、输出齿轮参数如表1所示，齿轮材料为9310合金钢。

图2 节点有限元法动力学建模流程Fig.2 Dynamics modeling process by node finite element method

表1 齿轮参数Table 1 Gear parameters

采用十节点二阶四面体单元(Solid187单元)对两齿轮进行网格划分，划分过程中对几何进行简化(忽略倒角等微小几何特征)，保证模型精度兼顾计算效率。高速输入轴单元数量80 673，节点数量134 110，输出轴单元数量109 170，节点数量181 379。

在输入、输出轴上设置MPC(柔性多点约束)主节点用以创建多体耦合连接关系。其中输入轴设置3个主节点：1个功率输入节点与输入扭矩建立耦合关系，2个轴承节点与箱体建立耦合关系；输出轴设置3个主节点：1个功率输出节点与输出转速建立耦合关系，2个轴承节点与箱体建立耦合关系。

运用轴承节点建立齿轮轴系与箱体之间的耦合关系，轴承滚动体与内外圈之间的耦合关系为：

(12)

式中：

Fbody,1=[FX1FY1FZ1MX1MY1MZ1]T

(13)

Fbody,2=[FX2FY2FZ2MX2MY2MZ2]T

(14)

qbody,1=[x1y1z1θ1ρy1ρz1]T

(15)

qbody,2=[x2y2z2θ2ρy2ρz2]T

(16)

(17)

运用啮合节点建立主动和从动齿轮啮合关系，如图3所示，在每个轮齿节圆位置沿齿宽方向创建均匀分布的缩聚主节点，实现轮齿柔性化建模。

图3 考虑啮合错位的齿轮啮合单元Fig.3 Gear meshing unit considering misalignment

将主节点载荷分布到齿面节点上，可计及轮齿弯曲、剪切等变形影响。另外，该方法可考虑轴系、轮齿瞬时变形、偏斜等导致的啮合错位状态，进而影响系统动态响应。

2 啮合错位对系统动态特性影响

2.1 齿轮啮合特性

2.1.1 齿轮副啮合力

多体动力学模型中求解齿轮副所受圆周力和径向力有效值随错位角度变化趋势如图4、5所示，由图4、5可知，总体上圆周力和径向力均随错位角度增大呈增大趋势，0.05°范围内两者变化趋势较为缓和，0.1°时圆周力和径向力大小分别为7 852 N和3 418 N相比于正常情况下的增幅分别为2.9%和21.8%，错位角超过0.1°后圆周力和径向力增幅显著。

图4 齿轮副圆周力Fig.4 Circumferential force of gear pair

图5 齿轮副径向力Fig.5 Radial force of gear pair

2.1.2 动态接触应力

考虑齿轮的接触强度。得到齿轮动态接触应力可以分析其受力状态、啮合情况和冲击程度等，对研究齿轮啮合特性至关重要。

啮合错位角θ从0°变化至0.2°时，齿轮副动态接触应力随θ变化的时频域响应如图6所示，齿轮材料为9310钢，屈服强度940 MPa，正常情况下接触应力均值是595 MPa，满足接触强度要求。随着θ增大接触应力明显增大，这是因为错位后轮齿接触面偏向一侧，造成偏载。相同时间内应力幅交变频率更快，加速了材料的疲劳破坏；接触应力频谱中主要包含啮频及其2倍频、3倍频，啮频处幅值随着θ增大明显增加。

图6 接触应力随错位角变化时频域响应Fig.6 Time frequency response of contact stress varying with misalignment angle

接触应力均值和幅值随错位角θ变化如图7所示，随θ增大接触应力均值和幅值呈增大趋势，θ从0.05°至0.2°接触应力均值分别为632、762、983、1 247 MPa，相比于正常情况下分别增加6.22%、28.1%、65.2%、109.6%；θ从0.05°至0.2°接触应力幅值分别为620、827、1 235、1 446 MPa，相比于正常情况下分别增加3.85%、38.5%、106%、142%；总的来看，角度错位对接触应力影响较大，θ在0.05°内接触应力增幅较小，超过0.1°后急剧增加，错位0.15°时接触应力已超过材料的屈服强度。

图7 接触应力随错位角变化Fig.7 Variation of contact stress with misalignment angle

2.1.3 传动误差

传动误差峰峰值随错位角θ变化如图8所示，传动误差峰峰值随θ增大呈明显增大趋势，θ从0.05°至0.2°峰峰值分别为4.1、5.4、5.8、7.0 μm，相比于正常情况下分别增加5.1%、38.5%、48.7%、79.5%，错位在0.05°内，传动误差峰峰值变化较小，超过0.05°后增幅加剧。

图8 传动误差峰峰值随错位角变化Fig.8 The peak-peak value of transmission error varies with misalignment angle

2.2 系统动态特性

2.2.1 振动加速度

错位角θ从0°增至0.2°，拾振点振动加速度随θ变化的时频域响应如图9所示，振动加速度随θ增大急剧增大；加速度频谱图主要包含啮频及其2倍频、3倍频，啮频及其3倍频处幅值随θ增大明显增大，随着错位程度增大最大幅值对应频率向高频转变，θ为0.2°时最大幅值频率由原先啮频的2倍频转变为啮频的3倍频，与此同时由频域图可以明显看出，随着θ增大，各主频处出现明显的边频带。

图9 振动加速随错位角变化时频域响应Fig.9 Time frequency response of vibration acceleration varies with misalignment angle

振动加速度RMS随θ变化如图10所示，总体来看，加速度随θ增大呈增大趋势，错位小于0.05°时振动加速度变化较缓，超过0.05°时振动加剧，θ从0.05°至0.2°振动加速度分别为1 371.6、2 192.5、5 160.3、8 996.1 m·s-2，相比于正常情况下分别增加33.9%、114.1%、403.9%、778.5%，由此可见，振动加速度对啮合错位较为敏感，微小的错位即可造成系统剧烈振动。

图10 振动加速度随错位角变化Fig.10 Variation of vibration acceleration with misalignment angle

2.2.2 动应力

多柔体动力学模型结合有限元方法获取系统动应力(模态应力恢复法)，该方法简单高效适用于绝大多数的机械构件。不同错位角下，高速输入齿轮轴动应力云图如图11所示，未错位情况下，最大动应力出现在齿轮和轴连接处(应力集中)，且轴系动应力随着错位角增大明显增大。

图11 不同错位角动应力云图Fig.11 Dynamic stress nephogram of different misalignment angles

测点动应力时频域响应如图12所示，动应力随着错位角θ增大而增大，θ为0°和0.2°时应力峰值分别为65 MPa和165 MPa，增大近1.5倍；频谱图中，轴频处幅值最大，啮频处幅值较小但随θ增大其幅值逐渐增大，同时啮频处出现大量边频带，θ为0.2°啮频处边频带如图13所示。

图12 动应力随错位角变化时频域响应Fig.12 Time frequency response of dynamic stress varying with misalignment angle

图13 θ=0.2°时动应力边频带Fig.13 θ=0.2° side band diagram of dynamic stress

由图13可知，边频带主要成分为啮频和轴频及其倍频，该特性可以为系统故障甄别提供思路[17-18]。

动应力均值和幅值随错位角θ变化如图14所示，两者均随θ增大呈增大趋势，错位为0.2°时动应力均值和幅值较正常情况下分别增大109.7%和441.3%，动应力增大加速零件疲劳，减少零件寿命；同时由图14可以发现，θ在0.05°内动应力变化较小，θ大于0.05°后增幅较快。

图14 动应力随错位角变化Fig.14 Variation of dynamic stress with misalignment angle

3 结论

1) 啮合力、动态接触应力和传动误差均随错位角度增大呈增大趋势，错位角度超过0.05°后啮合力、动态接触应力和传动误差峰峰值增幅明显变大，啮合性能恶化，其中通常错位角的范围 控制在2′～3′之内以及可通过提高轴承的安装精度来提高转配的精度。

2) 振动加速度和轴系动应力随错位角增大呈增大趋势，其中振动加速度对啮合错位较为敏感，较小的错位即可造成系统剧烈的振动；由频域响应可知，随着错位角增大，各主频附近出现由轴频及其谐波组成的丰富边频带，该特性可为系统故障诊断提供思路。

3) 高速齿轮传动系统对齿轮啮合精度要求极高，较小错位角度即可导致系统动态特性急剧恶化，对于本系统而言，啮合错位角度应控制在极小的错位角度范围以内。