材料力学课程中关于对称性两个问题的讨论

李道奎，周仕明

（1.国防科技大学 空天科学学院，长沙 410073；2.空天任务智能规划与仿真湖南省重点实验室，长沙 410073）

对称性的利用在力学问题的求解中具有重要作用。在传统的《材料力学》教材中，常常以“对称与反对称性质的利（应）用”[1-2]、“对称与反对称静不定问题分析”[3-4]，或类似题目作为一节，专门介绍对称结构、对称载荷和对称内力等概念及对称性质，并应用对称性质简化静不定（超静定）杆系问题的求解过程。

在一些文献资料中，也有关于对称性质的描述与应用。如蒋中祥[5]介绍了对称载荷的判断方法和对称性质，并用更能反映对称性数学本质的方法，证明了对称性质。李冠鹏[6]导出了点对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下的反力和内力特征。张常光等[7]分析了反对称荷载作用下静不定对称刚架的弯矩图特点，从而找出了一般性规律。周臻等[8]将静不定结构力法中对称结构承受对称与反对称荷载时的结论，直接引用于静定结构分析，张晓萌[9]对为什么可以引用此结论进行了证明。

在这些教材与文献资料中，对于对称载荷的判断和对称性质的描述都还不够清晰，甚至还会引起一些误解。针对这些问题，本文提出了对称载荷的详细判断步骤与方法，特别是对集中力偶载荷对称性的判断，提出了符号运算判断方法；在对称性质的描述中，指出现有描述容易引起误解，提出将对称内力与反对称内力的性质分开描述，并建议引入对称位移与反对称位移的概念。

需要说明的是，本文为简单明了地说明问题，采用的结构均为轴线在同一平面内的杆系结构，且力偶表示方式有两种：两端带向外箭头的折线（图1（d）中的m），或一端带双箭头的线段（图1（d）中的m1和m2）。

一、载荷对称性的判断方法

载荷对称性的判断，往往是求解对称性问题的难点，特别是在存在集中或分布力偶时，很多同学甚至是老师，都不能准确地判断载荷的对称性，这就对利用对称性求解静不定问题带来不可逾越的困难。下面，首先介绍教材与文献中载荷对称性的常规判断方法，并指出这些方法中的问题，然后提出新的判断方法。

（一）常规的判断方法

在传统教材[1-4]中，通常会给出载荷对称性的概念，并可以直接用概念来判断载荷的对称性。例如文献[1]是这样描述的：在这样的结构（对称结构）上，如载荷的作用位置、大小和方向也都对称于结构的对称轴，则为对称载荷；如两侧载荷的作用位置和大小仍然是对称的，但方向是反对称的，则为反对称载荷。其他教材[2-4]中的描述也与文献[1]的类似。

这种直接利用概念来判断载荷对称性的方法，存在一大一小两个问题。大的方面的问题是，这种判断方法对于图1（a）—（c）中集中力或分布力载荷对称性的判断，是没有问题的，但对于集中力偶或分布力偶载荷对称性的判断，学生较难接受，例如图1（d）中，按照概念描述，集中力偶载荷m 的力偶矩矢量的指向关于对称轴是反对称的，事实上它们为对称载荷。小的方面问题是，关于方向对称或反对称，对于学生来说容易混淆，有必要把方向这一个指标再分解为方位（与对称轴的夹角）与指向两个指标，无论是对称载荷还是反对称载荷，方位关于对称轴还是对称的，只是指向有对称（图1（b））与反对称（图1（c））之分。

图1 载荷对称性判断的示意图

在一些文献资料中，也给出了载荷对称性的判断方法。如文献[5]中是这样描述的：所谓对称载荷是指沿对称结构杆件分布的一个矢量场，绕对称轴翻转180°包括载荷在内的计算简图不变；所谓反对称载荷是指沿对称结构杆件分布的一个矢量场，改变对称轴一侧的载荷矢量的方向即得一对称载荷。这种判断方法较教材上直接利用概念的判断方法进了一步，不仅适用于集中力与分布力载荷对称性的判断，还适用于平面内集中力偶和分布力偶载荷对称性的判断，且判断方法较为直观，在很多学校的教学中，也按照此种方法进行讲解。

但这种方法对于力偶作用面与刚架轴线平面垂直的集中力偶和分布力偶（如具有产生扭转变形效应的力偶），则会得出相反的结果，如图1（d）中的两个m1或两个m2，它们的矢量方向虽关于对称轴呈反对称性质，但结构对称轴左右两侧的变形是对称的，因此，它们实际为对称载荷。

（二）新的判断方法

根据教材与文献资料对载荷对称性判断中存在的问题，提出如下载荷对称性的判断方法与步骤。

（1）观察结构本身和载荷作用点的位置关于对称轴是否对称，以及载荷的大小是否相等，如果有一个“否”，则为非对称载荷，如果全为“是”（例如图1 的4 个图中的载荷），则进入下一步。

（2）观察载荷作用的方位关于对称轴是否对称，如果为“否”，则为非对称载荷（例如图1（a）），如果为“是”，则一定为对称或反对称载荷（例如图1（b）—（d）），然后进入下一步。

（3）观察载荷的指向关于对称轴的对称性，这时需要分两种情况讨论：集中力或分布力、集中力偶或分布力偶。

对于集中力或分布力，根据力矢量箭头的指向很容易判断，指向对称的为对称载荷（图1（b）），指向反对称的为反对称载荷（图1（c））。

对于集中力偶或分布力偶，载荷指向对称性判断可采用三个指标的符号运算方法。三个指标为：力偶作用面与刚架轴线平面的关系，力偶矩矢量与对称轴关系，以及两个力偶矩的矢量关系。且设指标力偶作用面与刚架轴线平面平行为“-”，垂直为“+”；力偶矩矢量与对称轴平行为“-”，垂直为“+”；两个力偶矩矢量反向为“-”，同向为“+”。三者相乘结果为“+”的指向是对称的（定义为“+”），此时的载荷为对称载荷，为“-”的指向是反对称的（定义为“-”），此时的载荷为反对称载荷，见表1。根据这种符号运算判断方法，图1（d）中的三对力偶载荷均为对称载荷。

表1 力偶载荷对称性判断的符号运算方法

（三）判断方法的应用

下面用几个例题说明判断方法的应用。

例题1：如图2（a）所示小曲率圆环的弯曲刚度为EI，铰接于圆环内侧的直杆CD 的拉压刚度为EA，承受均布的切向载荷q 和力偶Me作用，试判断载荷的对称性。

解：通过观察图2（a），可以看出AB 是结构的对称轴，且在关于AB 的对称位置，作用了大小相等的切向分布载荷q。集中力偶Me作用在对称截面B上，可将其分解为作用在对称截面两侧的两个力偶矩为Me/2 的集中力偶（图2（b）），也满足对称位置上作用了相等载荷的条件，因此，步骤（1）中的条件全部满足；然后观察对称位置上的载荷作用方位是否对称，将对称位置上的分布载荷q，分解为水平向分布载荷q1和垂直向载荷q2，结合对称截面上的两个集中力偶的矢量方位，可以知道载荷作用的方位关于对称轴是对称的；最后观察载荷的指向，对称轴两边的q1和q2指向是反对称的，而两个Me/2 的集中力偶，根据表1 的载荷情况1 可知，三个指标分别为“-”“+”“+”，三者相乘为“-”，因此载荷是反对称的。由此可知，所有载荷的指向关于对称轴都是反对称的，因此本例中的载荷是反对称载荷。

图2 载荷对称性判断的示意图

例题2：如图3（a）所示三角形刚架，各杆的弯曲刚度均为EI，在各边的中点处作用有集中力偶M，试判断载荷的对称性。

解：通过观察图3（a），可以看出CD 是结构的对称轴，以将对称截面D 上的集中力偶M 分解为作用在对称截面两侧的两个力偶矩为M/2 的集中力偶，再将E和F 截面上的集中力偶M 分解为水平向集中力偶Mx和竖直方向集中力偶My（图3（b）），很容易看出两个M/2、两个Mx和两个My，都是作用在对称位置上的相等载荷，且方位对称，因此只需要判断指向的对称性。对于两个M/2 和两个Mx，根据表1 的载荷情况3 可知，三个指标分别为“+”“+”“+”，三者相乘为“+”，因此载荷指向是对称的；对于两个My，根据表1 的载荷情况2 可知，三个指标分别为“+”“-”“-”，三者相乘为“+”，因此载荷指向也是对称的。由此可知，所有载荷的指向关于对称轴都是对称的，因此本例中的载荷是对称载荷。其实图3（a）中的BE 和AF 也是对称轴，如以它们为对称轴进行分析，同样可以得到本例中载荷是对称载荷。

图3 载荷对称性判断的示意图

二、对称性质的描述

应用对称性质，可以减少静不定对称问题的求解变量，简化求解过程，有些时候甚至可以直接求出某些未知内力。下面，首先介绍教材与文献中关于对称性质的描述，并提出其中的一些问题，然后提出新的描述。

（一）教材与文献中的描述

在传统教材[1-4]中，在介绍对称性质之前，一般先会将内力分为对称内力与反对称内力，即轴力与弯矩是对称内力，剪力与扭矩是反对称内力，然后再给出对称性质的描述。文献[3]教材中关于对称性质的描述是这样的：在对称载荷作用下，对称结构的变形和内力分布对称于结构的对称轴（对称面），对称结构对称轴（对称面）处横截面上的反对称内力（剪力与扭矩）为零；而在反对称载荷作用下，对称结构的变形和内力分布反对称于结构的对称轴（对称面），对称结构对称轴（对称面）处横截面上的对称内力（轴力与弯矩）为零。其他教材中，要么没有明确描述对称性质[1]，要么描述的内容与文献[3]的描述类似[2，4]。

对于这种描述，存在三个方面的问题。①变形是个整体的概念，“变形分布对称（反对称）于结构的对称轴”的说法不妥，而应该是“某一位移的分布对称（反对称）于结构的对称轴”；②“内力分布对称于结构的对称轴”也不准确，因为内力存在对称内力和反对称内力，它们之中的一类是对称分布的话，另一类一定是反对称分布；③没有很好地描述对称截面上位移的特点，而这一特点对于静不定对称问题的求解也非常有用，有些教材描述了对称截面上位移特点，但不够准确（发生面外位移时不准确），而且不直观。

在一些文献资料中，也给出了对称性质的描述。如文献[5]中是这样描述的：对称结构在对称载荷作用下，内力和位移对称；在反对称载荷作用下，内力和位移反对称。这种描述尽管将变形改成了位移，但并不是所有位移都是同样的分布规律，因此也不够准确。

（二）新的描述

根据教材与文献资料对对称性质的描述中存在的问题，首先应该引入对称位移与反对称位移的概念，然后再对对称性质进行描述。

按照对称内力定义方式，定义挠度与截面的扭转角为对称位移，轴向位移与截面绕中性轴的转角为反对称位移，见表2。

表2 内力和位移对称性定义

按对称内力和对称位移定义，关于对称性质的描述如下：

在对称载荷作用下，对称结构的对称内力和对称位移分布对称于结构的对称轴，反对称内力和反对称位移分布反对称于结构的对称轴，在对称截面上，只存在对称内力和对称位移，而反对称内力和反对称位移为零，见表3。

在反对称载荷作用下，对称结构的对称内力和对称位移分布反对称于结构的对称轴，反对称内力和反对称位移分布对称于结构的对称轴，在对称截面上，只存在反对称内力和反对称位移，而对称内力和对称位移为零，见表3。

表3 对称结构对称截面的内力和位移性质

三、结论

本文针对现有教材与文献中关于材料力学中载荷对称性判断方法和对称性质描述中存在的问题，提出新的载荷对称性判断方法和对称性质描述，主要结论如下。

（1）提出了分三步进行载荷对称性的判断新方法，特别是力偶载荷对称性判断的符号运算方法。该方法不仅可以涵盖以往的判断方法，还修正了以往的判断方法中的问题。

（2）在对称性质的描述中，引入了对称位移与反对称位移的概念，并提出将对称内力（位移）与反对称内力（位移）的性质分开描述的新的对称性质描述方法。