关于k-可表示Frobenius 问题的拓展研究

张文超，陈丹霞

（1.惠州学院 数学与统计学院，广东 惠州 516007；2.大亚湾第三中学，广东 惠州 516083）

Frobenius 问题是关于一次不定方程的一个著名问题，该问题是找出依赖于互素正整数集{a1,a2,…,ad}(d≥2)的最大不可表出数，即Frobenius数。二元情况下的Frobenius 问题已经得到完全解决，Sylvester［1］讨论了相关问题并给出了二元Frobenius 数的表达式为ab-a-b.Matthias 和Sinai［2］对d= 3 的情况进行了探讨并对可表示问题进行了相关探究，给出了部分结论。

我国对于Frobenius 问题的研究起步较晚，取得了部分显著成果。如：柯召对该问题做出了较大贡献，给出了二元情况下Frobenius 问题的另一种证明［3］，同时给出了三元情况下的最大不可表出数算法以及在一定条件下的最大不可表出数的计算公式［4］。傅克慎［5］、林源洪［6］等对三元情况下的Frobenius 问题进行了进一步探索，给出了线性最大不可表出数的表示形式以及最大不可表出数的最大下界；除此之外，吴佃华［7］、陈清华［8］、陈宝根［9］、廖群英［10］等对Frobenius 问题进行探究后给出了在一定条件下的算法以及研究成果。

1 基本概念及引理

设有一组互素正整数

如果存在非负整数xi,其中i= 1,2,…,d，使得

那么我们称正整数n是可由a1,a2,…,ad表示的。

Frobenius 问题就是找出依赖于互素正整数集{a1,a2,…,ad} (d≥2)的最大不可表出数。我们称这个最大不可表出数为Frobenius 数，用符号g(a1,a2,…,ad) 表示，其中已知g（a,b）=ab-a-b.

例如：关于3 和7 的最大不可表出数为11。此即，11 不能表示成“11=3x1+7x（2x1、x2均为正整数）”的形式，而大于11的任意正整数n均是可表示成“n=3x1+7x（2x1、x2均为正整数）”的形式。

关于Frobenius 问题的研究，Peter Barlow 和Tiberiu Popoviciu 具体研究了任意正整数由互素正整数集{a1,a2,…,ad} 表示的解的个数，并给出以下结论［2］。

引理1.1［2］若a和b均为正整数且(a,b)= 1，则有正整数n=x1a+x2b解的个数

其中，符号{ }表示取符号内数字的小数部分，b-1b≡1(mod a)且a-1a≡1(mod b)（a-1,b-1均为正整数）。

易知关于3和7的最大不可表出数为11，那么任意大于11的任意正整数均是可由3和7表示的。根据引理1.1 可以求出大于11 的正整数关于3 和7 可表示解的个数。如：P{3,7}(24)= 2，即24 关于3 和7 有2 种不同 的 组 合 式——“24=3×8”、“24=3×1+7×3”；P{3,7}(42)= 3，即42 关于3 和7 有3 种不同的组合式——“42=3×7+7×3”、“42=3×14”、“42=7×6”。

本文以下内容均考虑二元情况下的k-可表示Frobenius问题。为便于后续研究陈述，现给出部分名词定义。

定义1.2若a,b均为正整数且P{a,b}(n)=k，则称正整数n关于a和b是k-可表示的。

定义1.3若a,b均为正整数且P{a,b}(n)≥k，则称正整数n关于a和b至少是k-可表示的。

定义1.4若正整数N满足P{a,b}(N)=k，且对于∀n＞N有P{a,b}(n)＞k（n为正整数），则N为k-可表示的最大正整数。

定义1.5若正整数N满足P{a,b}(N)=k，且对于∀n＜N有P{a,b}（n）＜k（n为正整数），则N为k-可表示的最小正整数。

文献［2］给出了两元素互素情况下的k-可表示最大正整数的如下表达式，见引理1.6。

引理1.6［2］若a,b均为正整数，且(a,b)= 1，则k-可表示的最大正整数gk(a,b)=(k+1)ab-a-b。

接下来给出引理1.6的一个证明。

证明：由引理1.1 可得

由二元互素Frobenius数g（a,b）的表达式可得，

因此k-可表示的最大正整数gk(a,b)=(k+1)ab-a-b，得证。

文献［2］给出了两元素互素情况下k≥2 时的k-可表示最小正整数的表示式，见引理1.7。

引理1.7［2］若a,b均为正整数，且(a,b)= 1，则当k≥2时，k-可表示的最小正整数为（k-1） ab。

证明：由引理1.1可得，

不妨设P{a,b}(n)=k，对其进行放缩后有

整理可得

引理1.7得证。

2 主要结论及其证明

2.1 k -可表示数的范围

基于k-可表示最大正整数和最小正整数的计算公式，进一步对k-可表示数的范围进行了进一步讨论，给出了包含所有k-可表示的正整数区间（定理2.1）和一个仅包含k-可表示正整数的区间（定理2.2）。

定理2.1若a,b均为正整数，且(a,b)= 1，则包含所有k-可表示的正整数区间为[(k-1)ab, (k+1)ab-a-b]。特别地，包含所有1-可表示的正整数区间为[min{a,b}, 2ab-a-b]。

证明：当k≥2 时，由引理1.6和引理1.7可得k-可表示的所有正整数所在区间为

注意到，a,b均为正整数且(a,b)= 1情况下，当k= 1 时，k-可表示的最小正整数为min{a,b} ，则同理可得到包含1 -可表示的所有正整数的区间为[min{a,b}, 2ab-a-b]。

定理2.2a,b均为正整数且(a,b)= 1时，仅包含k-可表示的正整数的区间为(kab-a-b,kab)。

证明：（1）k= 1时。

由引理1.6和引理1.7可知，关于a和b的1 -可表示的最大正整数为2ab-a-b,2 -可表示的最小正整数为ab；

又因为 2ab-a-b＞ab。

因此，a,b均为正整数且(a,b)= 1 时，仅包含1 -可表示的正整数的区间为(ab-a-b,ab)。

（2）k≥2时。

当a,b均为正整数且(a,b)= 1 时，根据定理2.1，可以得到以下结论：

1）包含所有(k-1)-可表示的正整数区间为[(k-2)ab,kab-a-b];

2）包含所有k-可表示的正整数区间为[(k-1)ab,(k+ 1)ab-a-b];

3）包含所有(k+ 1)-可表示的正整数区间为[kab,(k+ 2)ab-a-b]。

其中，

又因为在(a,b)= 1的情况下

因此

由此可得，

为此，可以得到a,b均为正整数，(a,b)= 1，且k≥2 时，仅包含k-可表示的正整数的区间为(kab-a-b,kab)。

综上可得，a,b均为正整数且(a,b)= 1 时，仅包含k-可表示的正整数的区间为(kab-a-b,kab)。

2.2 不互素情况下的k -可表示问题

在互素情况下的k-可表示数极值以及分布区间的基础上，进一步对部分不互素情况下的k-可表示数极值进行了研究，得到了关于二元呈倍数关系时的k-可表示的最大正整数（定理2.3）以及关于任意二元不互素情况下的k-可表示的最小正整数的计算公式（定理2.4）。

定理2.3若a|b，则关于不互素正整数a和b的k-可表示的最大正整数为kb-a。

证明：因为a|b，所以可设b=an，因此

又

因为kb＞kb-a，所以正整数kb-a关于a和b有且仅有k种不同的表示形式，即kb-a关于不互素正整数a和b是k-可表示的。

取N=kb-a+x(x∈N+)，则

1）若x不是a的整数倍，则正整数N关于a和b是不可表示的；

事实上，

因此当x不是a的整数倍时，

即正整数N关于a和b是不可表示的。

2）若x是a的正整数倍，则正整数N关于a和b是可表示的，且至少是(k+ 1)-可表示的。

事实上，设x=an1(n1≥1且n1∈N+)，则

因此当x是a的正整数倍时，正整数N关于a和b是可表示的，且至少是(k+ 1)-可表示的。

综上所述，当a和b不互素且b=an(n∈N+)时，kb-a关于不互素正整数a和b是k-可表示的且任意正整数N(N＞kb-a)关于a和b或不可表示或至少是(k+ 1)-可表示的。因此，关于不互素正整数a和b的k-可表示的最大正整数为kb-a，即定理2.3成立。

定理2.4关于不互素正整数a和b的k-可表示的最小正整数为

其中，lcm(a,b) 表示a和b的最小公倍数。

证明：不妨设a＜b。

（1）k= 1时。因为a＜b，因此正整数a关于a和b的表示仅可取0个b，即正整数a仅可表成a=a+ 0b的形式，所以a关于不互素正整数a和b是1-可表示的。

又取任意小于a的正整数为N，有N＜a＜b，因此正整数N关于a和b的表示中a和b都至多可取0个，即N关于不互素正整数a和b是不可表示的。

为此，不互素正整数a和b的1-可表示的最小正整数为min{a,b} 。

（2）k≥2时。

由最小公倍数和最大公因数的关系，易知

其中gcd(a,b)表示a和b的最大公因数。

令

因为bx2≥0，则

又

所以

故正整数(k-1)×lcm(a,b) 关于不互素正整数a和b是k-可表示的。

取任意小于(k-1)×lcm(a,b)的正整数为N，令

同理可得

因为x＞0，所以

此即任意小于(k-1)×lcm(a,b) 的正整数关于不互素正整数a和b都是至多(k-1)-可表示的。

因此，当k≥2时，关于不互素正整数a和b的k-可表示的最小正整数为(k-1)×lcm(a,b)。

综合（1）和（2）的证明，定理2.4成立。

3 结束语

文章研究k-可表示Frobenius问题，给出并证明了2 个关于k-可表示数分布的区间，即k-可表示正整数所在的区间和1个仅包含k-可表示正整数的区间。同时给出并证明了二元呈倍数关系时的k-可表示最大正整数以及两元素不互素情况下的k-可表示最小正整数的表达形式，进一步对该问题进行了拓展。后续可以研究三元情况下的k-可表示数分布情况以及一般不互素情况下的k-可表示最大正整数表示形式，以进一步完善k-可表示问题的研究。