在小学数学解题过程中渗透模型思想

陕西师范大学附属小学 何军华

一、模型思想的概述和应用价值

小学数学的模型思想主要是对某种抽象的事物进行一定的抽象或者效仿，让学生对某些抽象的数学知识建立起数学模型，可依托实物，也可以概括形式的表达，包括学生生活中的飞机模型、汽车模型等。而这些数学模型的构建，可以让学生对数学的概念、符号、图形、数量关系有个清晰明确的认知，通过创建情境可以让学生更深入地接触一些有关数量的关系。特别是狭义的数学模型可以解决生活中的一些实际问题，对一些特定的问题有着重要的研究意义，包括数学学习中的植树问题、确定起跑线问题、寻找次产品问题等。

而在小学数学解题教学活动中，教师加强数学模型思想的渗透，有利于提升学生处理问题的技能，帮助学生提高自我解题的正确率。首先，数学问题来自生活，也要回归生活，教师可以考虑通过建设生活中的一些模型，让学生根据自我的现实情况来判断数学结果是否正确，建立一个问题处理的形象，从而提升学生的问题处理水平。其次，数学模型思想有利于提升学生对数学知识的理解。数学模型的建立过程就是让学生在生活中寻找问题，然后用数学的方式表达出来，并且进行验证和求解，这一过程不仅培养了学生建立模型的技能，也让学生了解了这个过程的实践意义和价值。学生能将学习的知识应用于生活中，间接帮助学生提升了数学的解题技能，帮助学生对数学有一个更深入的理解。最后，数学模型思想的融入也能让学生对知识运用思想有个清晰的认识和了解，激发了学生的学习兴趣。在数学教学活动中，教师有意识地渗透模型思想教育，能发现学生学习过程中的一些思维问题，进行思想建模方面的引导，让学生对数学有更多元化的解题方式和方法，能形成自我的数学学习方式。

比如，小学中常见的一些数学解题模型。

植树问题模型：

植树问题就是反映总路线长、间距长与棵数这三个数量之间关系的问题。这三个数量关系之间一般有下列关系。

点与间隔一一对应，一端栽，长度÷间隔＝棵数。

两端都栽，长度÷间隔＋1＝棵数；两端都不栽，长度÷间隔－1＝棵数。

关系模型：

关系模型就是表示某些数量关系的模型。在小学阶段的主要数量关系有：每份数×份数＝总数，速度×时间＝路程，单价×数量＝总价，总数÷总份数＝平均数，正比例关系、反比例关系等。

概率模型：

统计与概率在小学阶段涉及的内容比较少，但也蕴含了一些模型思想。在概率教学中涉及了有关（0－1）分布的模型思想（抛硬币）。在统计教学中主要是借助图来整理、认识现象。

二、小学数学模型思想在小学数学课堂的应用现状

（一）教学目标定位不准确

由于传统的教学方法，有些小学教师在进行数学教学时，只注重对学生的基本技能和基础知识的培养，而忽视了新课标中的模式思维。数学是一门需要逻辑思考的课程，学生如果总是被动地接受，特别是那些喜欢玩的孩子，时间一长，学生的学习积极性就会下降，学习的效果也会大打折扣。

（二）关注的焦点存在偏差

数学建模是一种新的教学手段，目前还处于摸索阶段，虽然有不少数学教师在实践中应用，但还是有一些数学教师不能熟练地运用它，只注重形式，而忽略了它的本质。建立的模型是要把数学与现实相结合，但它只是一个连接的层次，更多地强调了算法的多样性，而忽略了分析与优化的过程，使学生无法通过这种模式来形成和提升自己的思考能力，这与建模的初衷背道而驰。

（三）评估方法改进不足

从当前的数学教育状况来看，大多数数学教师对学生的数学学习评价都是一成不变的，教师只是根据学生的考试成绩和日常训练的分数来评判他们的数学学习。这种单一的评估方法，会极大地影响学生的建模思维，难以提高学生的学习效率。

三、在小学数学解题过程中渗透模型思想的方法

（一）以学生生活为中心，注重情境创设

在课堂上，教师为学生提供了与教材有关的情境，然后，学生就可以利用自己掌握的知识，将问题给解决了。教师所创造的情境对学生的接受能力有很大影响，良好的情境可以帮助他们更快、更全面地了解知识点，而不好的情境不但会使学生产生厌恶感，而且会对教师的教学造成不利影响。所以，教师要发挥自己的能力，创造出适合学生的情境，让学生能更好地了解和理解，并构建出一个模型。在建模过程中，最关键的是要对所观察的物体进行感知，利用一种具有相同特性的物体，挖掘出这种物体的特性和相互关系，从而指导学生在学习过程中积累表象体验，形成正确的模型。

例如，在教授植树问题的时候，可以用五根手指的空隙，来表示树与树之间的间隔；对树的数目和间隔数，要找到这两者的相似性，即树的数目－1＝间隔数（两边都种），这是一个抽象的过程，在这种情况下，学生可以利用这个模型来解决更复杂的问题。

例如，在教学中，教师要渗透关于几何的模型意识，不仅要让学生了解学习的效果，还要学习各种模型之间的关系、图形的获取及抽象的过程。从几何学角度来看，最基本的几何模型就是由直线、三角形、圆形等几何元素组成的，如果缺少了与现实的联系，那么基础几何就会变成一种抽象的概念，而不会与现实联系在一起。在应用几何图形的教学中，要尽可能地使用直观、形象的教具，帮助低年级的学生迅速接受抽象的数学观念。

（二）以参与为中心，进行模型建立假定

在模型思想教学中，教师需要明确教学任务和教学要点，以学生为中心，围绕学生开展模型思想渗透的教学工作。在明确了变量的关系和各个要素的相互关系后，才能更好地把握问题的本质。教师可以根据自己所学的知识对问题进行简化，给出一些假设。假定与简化要恰当，不同的程度会导致多个模型的出现，答案也会有差别。当假定与现实不符时，需要对其进行进一步的完善和反思。

数学模型思维的运用是一个循序渐进的过程，必须始终贯穿于数学教学中。因此，在引导小学生学习新的知识点、建立新模型的同时，还需要引导学生对之前建立的模型进行回顾，增强学生的建模意识，提升学生的建模能力，增强学生的思维能力，让学生对教材中的内容有更好的理解。数学是一门枯燥乏味的科目，建立数学模型则会增强小学生对数学的兴趣。数学教师要充分利用这个优势，把模型思维运用到实际中去。在反复练习中，学生的数学成绩会越来越好，在遇到问题的时候，也可以用模型来辅助。

例如，当学生初次接触到不同分母的加法时，一般都会根据所学的加法定律，给出以下假设：把分子和分母分开。在教师引导下，学生自己动手实践，就会发现以上的假设是错的，正确的方法是使用最小的公倍数来进行运算。

例如，在进行典型的鸡兔同笼式教学时，可以先设定全部鸡（或兔子），然后根据多余的腿数量进行分配。

在教授矩形的面积公式时，用方格纸来表示。假定长方形的长度和宽度与其面积之间的关系为：长×宽＝面积。假定的程序主要是基于学生的经验和常识。在小学数学的图形和几何中，关于不同图形的性质、面积、体积的计算公式的推导，都可以通过猜测—证实的方法来让学生自己去探索。

（三）建立数学模型进行引导和求解

从广义和狭义的数学模型来看，数学模型可以是生活中的问题，也可以是教科书中的基本概念、基本知识。小学数学的内容相对来说较为简单，与现实生活紧密相关，数学中的概念、公式等都有相应的数学模型。建立好了模型，接下来就是做题了。

例如，能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数字排成一行，使得两个1之间夹着1个数，两个2之间夹着2个数……两个1986之间夹着1986个数。

这道题用的是整数的奇偶性模型。教师可以让学生自己动手做一做。

（1）排一排1，2，3这三个数：3，1，2，1，3，2

（2）排一排1，2，3，4这四个数字：2，3，4，2，1，3，1，4

（3）排一排1，2，3，4，5这五个数字：……

通过教师的恰当引导和学生的实践、体验，学生就能发现其中的数学规律，创立奇偶数模型，然后进行题目的求解。而这种模型建立求解问题的方式，也能吸引学生的注意力，让学生保持浓厚的兴趣。

在数学教学中，模型渗透的终极目标是让学生利用所建立的模型来解决现实生活中的问题，使他们充分认识到数学模型在现实生活中的实用价值。

例如，植树问题：在一条长达100米的道路上种植树木，每5米一棵，两边各插一棵，总共要种几株？在建立模型部分，教师指导学生把100米的问题，变成10米、15米、20米……并观察线段图形，根据自己的直觉，找出其中的规律，由此得到“棵数＝间隔数＋1”的数学模型。为使学生更好地了解这个数学模型，教师还可以设计“迁移应用”的教学环节，以帮助学生巩固和内化这些知识。

（四）以解题过程为导向，对模型进行检验

在建立了模型之后，教师必须把问题的答案和实际情况进行比较，从而证明该模型的正确性。在对该模型进行验证后，可以得出两个结论：一是该问题的求解结果与实际问题一致。此时，证明所建立的模型是正确的，并且将来可以用这种模型解决相似的问题。二是该模型的结论与现实不符。也就是说，如果计算结果与实际情况不符，那就必须重新建立一个新的模型。这是一个模型的构建，是一个验证的过程。

在小学数学中，应用问题的解法是一个模型化的过程，方程式是一种很有意义的数学模式。在小学数学中，数学解法和方程式法是两种常用的解法。相对算术，方程可以使我们更容易地了解问题、分析数量关系、建立数学模型。因此，在求解较为复杂的量关系问题时，方程式法具有一些数学解法无法比拟的优点。

例如，两箱苹果的个数相同，甲箱卖出80个，乙箱卖出124个，甲箱剩余的苹果个数是乙箱的3倍，每箱苹果原有多少个？在解决这一道问题时，将每箱苹果设为x个，根据甲箱卖出80个后剩下的苹果个数是乙箱卖出124个后剩下苹果的3倍，这个等量关系很容易就可以列出方程来解决问题。和数学解法相比，方程式法更好理解。

当学生刚开始学习植树问题时，他们常常会考虑一个模型：长度÷间隔＝棵数。但当学生将解的结果返回到问题中时，就会知道这样的解不符合现实情况。这时就要再次经历建立模型过程，结合具体情境分析，再使用线段等工具进行直观教学，找到的正确数学模型是：一端栽，长度÷间隔＝棵数；两端都栽，长度÷间隔＋1＝棵数。

再比如以下数学问题：

（1）一个星期有7天，10月份共有31天。10月份有几个星期零几天？

对这样的问题，可以带领学生依题意一个一个星期地数一数，并逐一写出来：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，算式：31÷7＝4（个）……3（天），十月有4个星期零3天。

（2）已知2007年5月9日是星期三，问6月9日是星期几？

第一步，先算出从5月9日到6月9日共有32天；

第二步，每7天为一周，32天共有几节余几天；

算式：32÷7＝4（周）……4（天），可知最后一天（6月9日）与第一周中的第4天相同，是星期六。

四、结语

新课标中新教材所涵盖的一个重要概念就是模型思维。在数学学习中，学生更倾向于接受与现实生活非常接近的、与自己认知的事物或现象类似的数学。因此，在教学中要注意把模型思维渗透到课堂中去。模型思维的精髓，就是要让学生将现实和数学结合起来，用数字来表达和解决问题。也就是说，要让学生了解数学和外界的关系不是孤立的，而是密切地联系在一起的。教师要做到这一点，就必须把模型思维渗透进教学中，让学生从小接触这样的数学思维和思想，帮助学生提升解题正确率。