用分类讨论思想优化初中数学解题教学

谢文秀

(山东省济南市莱芜区汶源学校,山东 济南 271100)

初中生在解决不确定问题、存在含参字母的数学问题时,经常会用到分类讨论思想,其可以帮助学生有条理地分析,使学生在分类之后再逐个研究,最终归纳整合,找到问题解答的思路,顺利地回答问题.波利亚在问题解答步骤的研究中提出,当遇到数学问题存在多种不同情况的时候,通过分类的方式,按照统一的标准对研究对象进行分类,可以避免学生在问题解答中出现遗漏等情况,使学生在头脑中形成整体的构思,拟定趋于完整的问题解决方案,有助于学生深刻理解题意,对每种情况拟定解决方案,最终顺利解决问题.分类讨论思想不仅可以提升学生的数学解题能力,还可以用于解决生活实际的问题,如水电费问题、出租车计费问题等,其应用价值不容小觑.因此,教师要指导学生掌握分类讨论的方法,形成分类讨论思想,并且能够在数学问题解答中灵活地运用分类讨论思想,促进学生数学学习质量的提升.

1 分类讨论思想应用的原则

1.1 同一性原则

在使用分类讨论思想研究问题的过程中,学生要始终按照同一个标准,并且按照某一个特定的逻辑顺序对研究对象进行分类讨论[1].实际上,学生们在日常的生活中已经接触过分类的事件,只是没有形成系统化的分类意识.比如,按照国家划分,我们常常会将不同国家的人分为中国人、英国人、日本人、韩国人等,按照肤色划分人的时候,有白种人、黄种人、黑种人等.在数学学习中也接触过许多分类的情况,比如,在学习三角形的时候,学生会接触到锐角、直角、钝角三角形,这是按照角的度数大小划分的,这些都是按照同一性原则做出的类型划分.掌握同一性原则可以帮助学生明晰分类标准,避免出现分类混乱的问题.

1.2 完整性原则

我们发现,许多学生在数学问题的分类讨论中,会出现遗漏、重复讨论的现象,究其原因在于学生在分类讨论中并没有考虑到分类的子项之和是否与母项总和相等的问题,若是子项的总和小于母项的外延,则说明存在遗漏的问题,相反则说明有重复讨论的部分.对此,需要学生在问题的分类讨论中遵循完整性的原则,即为分类出的每一种情况之和与总体范围是相等或相同的.如在自变量取值的问题解答中,有些题目中会将自变量取值问题隐藏得比较深,很多学生会在简单解答了问题之后,忽视了自变量“x”的取值问题,或者是取值的范围确定不对.想要避免此类问题的出现,学生要一一列举,并且主动思考自变量的取值范围是否全面,从而确保分类讨论的完整性.

1.3 层次性原则

分类讨论思想应用中的层次性原则是指在类型的划分中,若是经过一次分类后,子项中还存在着不同的情况,并且这种情况的存在影响着问题的解答,则需要学生对子项继续分类讨论,直至满足问题解决的条件需要,保障类型划分的层次清晰,逻辑分明.“怎么教”比“教什么”更重要,“会学”比“学会”更重要.在初中数学解题教学中,教师应引领学生掌握层次化分类的方法,发展其高阶思维,促使学生在类型的划分中学会分析子项是否独立,子项与子项中是否存在交叉点,子项是否可以继续分类,等等,锻炼学生的数学思维能力,帮助学生在问题解答中找到最优化的解题方案[2].

2 分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用

2.1 在问题驱动中探索,渗透分类讨论思想

初中生的思维能力有限,正处于具象思维向抽象思维过渡的阶段.考虑到这个时期学生的思维发展特点,初中数学教材在编写中融入了许多与现实生活相关的内容,目的在于帮助学生建立数学与现实之间的联系,消除学生对数学学习的畏难心理以及陌生感.同样的,要求教师在数学问题的设计中,能够基于创设生活化的问题情境,以问题为载体,带领学生在情境中理解分类讨论思想,启发学生形成分类的意识,激发对问题的讨论热情,让学生形成浓厚的学习热情和分类讨论的意识[3].

比如,在“方程的运算”这一知识点讲解之后,教师通过情境创设的方式提出了这样的问题:“H学校决定统一采购一批学习用品,将此次采购任务指派给张老师完成,张老师为了减少采购的成本,在某网购软件中选择了两家店面,但是因为两家店面的优惠政策不一样,张老师一时拿不定主意了.A店铺的优惠政策是100元内正常缴费,超过100元的部分打9折;B店铺是50元内不打折,超过50元后,超出部分打9.5折,请你结合两家店铺的优惠政策,帮助张老师算一算,去哪家采购商品花费最少?”在问题提出之后,为了引导学生进行分类讨论,教师可以继续提问.比如,教师设置了如下的几个问题:(1)你理解的题意是什么?请将其说给身边的同学;(2)若是张老师在此次购物中消费了x元,你能够用函数的方式表示在两家商场中花费的钱数吗?(3)你能通过列表格的方式,清楚地表示出上述中的问题吗?(4)怎么判断在哪个店铺中花费的更少呢?通过一连串问题的提出,引发了学生的分类讨论,促使学生从采购费用的不同角度分析,将讨论的类型分为“0100”,将三种情况通过表格的方式罗列出来,促使学生产生分类讨论的意识,活化所学知识.

2.2 在问题讨论中生成,掌握分类讨论方法

在以往的数学教学中,许多教师只教会了学生分类,却没有组织学生对不同的问题类型开展讨论,从而导致学生对分类讨论思想的掌握不够深刻.为了避免这种问题的出现,教师应在解题教学中给学生提供充分的讨论机会,鼓励学生在问题的讨论中表达个人的观点,促使其在想法的表达中实现思维的碰撞,并且不断地完善认知内容,提升认知高度.在问题讨论过程中理解知识,进而提高学生对分类讨论思想的掌握程度,为问题解决中的实践运用奠定基础.

如在针对三角形存在性问题,教师设计了这样的问题:“直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上的一个动点,若三角形PAD与三角形PBC是相似三角形,那么满足条件的点P的个数有几个?”要求学生先认真读题,再展开讨论.这道题很明显是分类讨论的题型,在解题教学中,教师要给学生留足够的讨论时间,鼓励学生敢于说话.例如,一名学生说道:“我想到了使用画图的方式解决问题,将P点可能存在的位置画出来,结果发现P点可以靠近A点,另一种是靠近B点,因此满足条件的P点位置有两个.”另一名学生又说道:“我第一时间想到的是使用对应边比值相等,计算AP的长度,这样就可以确定P点的个数了.”还有一名学生表示:“我觉得他们两个说的并不对,应该先确定相似三角形的对应点,然后再使用对应边比值相等的规律,完成计算,这样可以解出AP有几个值,AP的值有几个就说明P点有几个.”学生们在问题讨论中,实现了思维的交流,解题思路也在不断的讨论中变得更加清晰.学生从中发现分类讨论的解题方法,实现了数学思想的主动建构.

2.3 在解题中适时点拨,提升数学解题能力

数学知识本身具备较强的抽象性,数学问题的解答更是对学生的逻辑思维有着较高的要求.在初中数学解题教学中,教师可以通过习题训练的方式,培养学生使用分类讨论思想解决问题的自觉性,当学生遇到难以解决的问题时,通过教师的适时点拨,让学生产生拨开云雾见明月的感受,在解题中领会分类讨论的应用价值,促进学生数学解题能力的提升.

如在含有绝对值的代数式化简教学之后,我们发现许多学生在去绝对值符号中存在一定的困难,比如,在对|a-1|+|b+1|+|a-b|,(a

2.4 在练习中不断巩固,灵活使用数学思想

在数学解题教学中发现,学生在习题解答中无法顺利完成的习题,经过教师的讲解后看似听懂了,但是在相似的或者是相同类型习题出现的时候,又重新陷入了解题困境中,究其原因在于学生缺少习题的训练,无法在数学问题解答中做到灵活地运用.为了避免学生在解题中出现分类讨论思想使用生涩、不熟练的情况,教师应注重合理进行习题训练,一方面避免学生遗忘,另一方面达到巩固与提升的作用.

如在角的分类讨论内容教学之后,教师给学生布置了这样的课后作业:“在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射线OM、ON分别平分∠AOB、∠BOC,求∠MON的大小.”通过课后作业,将分类讨论思想的教学进行了进一步的延伸,也给学生提供了更多的思考时间,学生们在课后的习题解答中,会自觉地联系课堂学习中的内容,主动从分类讨论的视角出发,寻找习题解答中的不确定因素,发现这道题中的不确定因素是∠BOC的位置,因此可以从这个角度开展分类讨论,即对射线OC在∠AOB内、射线OC在∠AOB外两种情况进行讨论,经过对两种不同情况的讨论、计算,发现射线OC在∠AOB内、∠AOB外的两种情况下,∠MON的角度分别为20°、50°.经过课后习题训练,可以促进初中生对分类讨论思想的进一步理解,提升学生的分类讨论思想应用能力,并从中不断地积累解题经验,提升学习效果.

总之,分类讨论思想在解题教学中的运用,可以帮助学生找到关键的解题思路,促使其掌握重要的数学思想方法,在问题解决中提升思维逻辑性、缜密性,进而锻炼学生的数学思维能力.由此可见,分类讨论思想对于提升学生数学问题解决能力有着重要的作用,因此,教师应把解题教学与分类讨论思想融合,优化教学指导方式,提升初中数学解题教学质量.