数形结合在初中数学解题中的应用

高英凯

(北京十一学校丰台中学,北京 100079)

数形结合是探究数学知识的重要思想方法,也是数学探究的重要手段.在以往的教学中,教师偏重于抽象的理论讲解,不注重以直观的手段加深学生对数学知识的认知和理解.教师对初中学生的认知特点缺乏全面的了解和把握,尤其是在解题教学中,忽视了以初中学生处于形象思维的特点而设计教学过程,学生对于抽象的理论和概念难以理解,对于教师的机械讲述也不感兴趣,导致其数学综合能力很难得到提升.学生在解题过程中找不到解题思路和方法,不能对抽象的数学理论有深入的理解,主要原因是没有掌握数形结合等思想方法,尤其是不能灵活运用数形结合解决数学题目,学生的解题能力很难得到培养.

1 数形结合思想内涵简述

数学知识具有较强的抽象性,数形结合思想可以使数学知识化抽象为直观,将抽象的“数”变为直观的“形”,或者将直观的“形”转化为抽象性及概括性较强的“数”,学生可以根据自身的需要使“数”和“形”相互转化.数形结合思想可以使学生认识到数学知识之间的逻辑关系及相关规律,应用于解题教学中,可以为学生展现更为直观形象的数学知识,使抽象的知识直观化,帮助学生对数学知识进行更深入的认知和理解,提升其解题效率.学生在解题过程中灵活应用数形结合思想,可以更好地分析题目的信息,提炼解决问题的有效知识,尽快找到解决问题的思路和方法.初中学生正处于形象思维阶段,对抽象的数学知识在理解上会有一定的难度,而数形结合可以将抽象的数学逻辑关系用图形、线段等直观的方式进行展示,使无形的抽象知识变得有形,学生通过有形的逻辑展示,强化对抽象数学知识的理解,掌握数学分析的方式方法,进而提高解题能力.

2 数学解题教学中应用数形结合的作用

2.1 促进学生对知识的理解

学生在解题中会遇到一些抽象的数学概念以及定理,并且题目的描述也较为抽象,在解题中应用数形结合思想,可以将问题简化,用直观性的方式显示出来并进行分析,抽象的知识变得可视化和直观化,有利于学生清晰数学知识间的逻辑关系,激活思维,顺利找到解决问题的思路和方法.

2.2 提升学生解题技能

数形结合思想不仅是学生学习数学的方法,也是解决问题的有效路径,它可以帮助学生形成一种科学的思维方式,在不断地分析和思考中,以及解题的实践训练中,锻炼数学思维能力,积累解题经验,有效提升解题技能.

3 初中数学解题教学存在的问题

目前的解题教学中还存在许多问题.一是教师的教学方法过于单调,在解题教学当中只重视对题目的理论性讲解,之后直接给学生布置相关练习题目,学生对这种机械的训练方式缺乏兴趣,也失去了解题动力;二是教师在教学中忽视对解题思路的探究,不注重引导学生对解题过程进行检查和反思,学生的解题技能得不到有效提升;三是教师不注重数形结合的应用,学生对于题目中涉及的抽象概念和信息不会转化为直观的方式进行分析和探讨,无法利用数形结合进行解题.

4 数形结合在初中数学解题教学中的应用策略

在数学解题教学中,用数形结合思想分析题目当中的一些抽象的信息,使其变得直观化,学生会从直观的信息中弄懂题意,分析数量之间的关系,搞清题目要求,然后再通过数形结合思想来揭示数学知识的逻辑关系,从而找到解题的思路和方法[1].

4.1 利用数形结合思想理解正数和负数的概念

初中学生还处于形象思维阶段,尤其是刚进入初中阶段的学生,他们遇到的数学题目以及数学概念,相比于小学阶段难度有所提升.例如,学生刚接触初中数学时,涉及对“正数”和“负数”概念的理解,如果教师按照课本对概念进行讲解和叙述,学生很难理解,甚至在解题过程当中还会因为理解不深入而出现错误,所以教师要以直观的方式帮助学生理解抽象的正数和负数概念.例如,教师在黑板上绘制数轴,让学生首先明确数轴的相关元素,规定了数轴的原点以及负数和正数的方向,之后再创设生活中气温低于0 ℃和高于0 ℃的天气预报情境,让学生将-3 ℃、-11 ℃和+5 ℃、+18 ℃标注到数轴上,学生通过直观的视觉体验,可以很容易理解正数和负数的概念.这种用数轴、线段和图形表示数学数量关系的方式,能够让学生以直观的形式理解相对抽象的数学概念及定理,还可以促进学生在数学解题中举一反三,形成用数形结合思想来解答数学题目的能力及习惯.

4.2 利用数形结合思想解决函数问题

函数是初中数学的重点教学内容,由于该内容当中涉及的概念以及定理相对抽象,学生单纯地以理论的方式去理解和巩固,往往效果不佳,在有关函数的解题过程中也会出现诸多错误.所以,对于本内容的解题训练,教师可以设计数形结合思想的专项训练,并且组织学生在课堂上进行小组合作探究,让学生分析自己应用数形结合思想的解题过程,还要给其他小组成员的解题过程提出建议.如让学生用数形结合的方法对一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程的特点进行概括总结,以促进学生的深入理解.为了促进学生的深入学习,教师提出问题:比较一次函数与二次函数,说说它们的异同点.如果不利用数形结合思想去进行对比和观察,很难得出结论,这时,教师应引导学生通过数形结合思想进行解答,让学生在练习本上画出一次函数和二次函数的图象,通过图象了解二者的不同点,并且通过对二者的图象分析,学生可以了解到一次函数和二次函数各个元素的作用,以此为学生未来的学习打下坚实的基础.

4.3 利用数形结合思想解决不等式问题

不等式是学生继学习方程之后的内容,这一内容在学习上要结合方程知识,还要注重利用数形结合思想对题目进行分析,使抽象化的知识能够通过图形的绘制变得直观而形象,从而使学生理清知识间的逻辑关系.部分学生对本部分知识掌握得不好,解题中会遇到一些问题,其主要原因是学生不善于利用数形结合思想对问题进行分析,在解题过程当中直接就对式子进行运算.在教学中,教师对题目做示范讲解以后,就布置学生做同类型的题目,对学生的解题过程不注重引导,对学生解题过程当中出现的问题不进行分析与纠正,因此,学生在解题过程中也没有养成用数形结合思想寻找解题思路的习惯.所以,教师在解题教学当中要强化对学生的引导,使学生体验到数形结合思想在分析数学信息中的重要作用,帮助学生有效提高解题效率.如关于X的不等式0≤X2+AX+4≤2 有唯一的解,求解A的值.学生在遇到这种题目时往往盲目地进行分析和计算,陷入抽象的运算当中,学习基础差的学生还容易产生思路混乱的问题.对此,教师利用数形结合思想,将其拆分成Y=X2+AX+4,Y=0,Y= 2这三个方程,引导学生对这三个方程进行分析,并用图形的绘制的方法对三个方程的关系进行了解,学生结合以前学过的抛物线与直线相关内容,认为抛物线与直线有唯一的一个交点(相切),就能满足题目中的“有唯一的解”的说法,学生通过观察和分析找到了解题思路.教学中,教师让学生动手绘制图形并进行观察和比较,体会利用数形结合思想解题收获成功的快乐,培养其应用数学思想方法进行解题分析的意识.

4.4 利用数形结合思想解决几何问题

数形结合对于学生分析数学问题有着十分重要的作用.处于形象思维阶段的初中学生,他们需要借助直观的手段来理解相对抽象的数学知识,而数形结合思想就为学生直观理解数学知识提供了方法和手段.数形结合思想在初中数学解题中的应用十分广泛,教师在解题示范中也可以对数形结合思想进行渗透,不仅让学生了解数形结合思想,还要会应用数形结合思想找到解题思路,利用其解决代数问题和几何问题.初中几何知识对学生来说难度较大,在教学中教师要注重应用数形结合思想,将题目当中的文字叙述用有形的线段以及相关图形来展现,对题目中的文字信息和数字信息进行必要的转换,使相对复杂的题目变得简单、直观.如学习几何证明题相关内容时,一些几何题只是给出文字信息,如证明“等腰三角形的高、中线、角平分线在同一条直线上”.鉴于题目当中都是语言叙述性的信息,教师可以引导学生将题目中的信息转换为图形信息,如果学生不会依托图形对文字信息进行分析,就难以搞清信息的实际意义,甚至不能分清数据条件之间的关系.通过数形结合思想进行分析,可以理清学生的思路,从相对复杂的语言信息当中获取图形信息,将题目变得简单而直观,学生通过对图形进行分析,就很容易取得正确的答案.所以教师在引导学生解决几何问题时,要注重利用数形结合思想对相关信息进行转换,对于其中相对冗长的叙述性信息进行图形化处理,这样学生就可以更直观地理解题目,了解题目中所给的条件的作用,从而解决问题[2].

数形结合思想可以打开学生的解题思路,学生学会转换题目信息,将抽象的知识变得可视化、直观化,从而降低学生学习及解题的难度,提高其解题能力和效率.在数学解题教学实践中,教师要注重引导学生应用数形结合思想,并进一步拓展应用范围,让学生在解题实践中体会数形结合思想的重要作用,促使学生更深入地理解数形结合思想,把其作为分析数学题目的常用方法,在解题中灵活运用,提高解题能力.