作为学科核心素养的数学抽象：内涵、外延及其培养路径

摘 要 数学抽象是数学核心素养的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是数学知识、数学方法和数学能力素养的基础。本文从数学史与数学教育的整合视角，探析了数学抽象的内涵与外延。本文的核心观点是：数学史中的分析化和综合化运动分别产生了数学抽象的两种基本类型——内化和形式化。本文还以中学教学中的实际案例展示了培养数学抽象核心素养的方式。

关键词 数学抽象素养；分析数学；综合数学；形式化；内化；HPM

中图分类号 G633.6

文献标识码 A

文章编号 2095-5995（2023）12-0048-03

一、数学抽象学科素养的内涵

（一）HPM视野中的数学抽象与数学建模

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课程标准”）明确指出，“数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养”［1］。单从这一定义来看，数学抽象与数学建模容易混淆。后者是指“对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”［2］。两者的区别是：数学抽象过程得到的是数学对象，而数学建模过程得到的是数学模型。

基于对在科学中运用数学方法的经验，人们对数学模型是有丰富直观认识的。数学模型是对经验现实使用理想化方法进行适度近似而得到的形式体系，其一般形式是方程组以及适当的初始条件和边界条件。

按照法国布尔巴基学派的认识，数学对象就是集合及集合上的构造。集合是普通高中数学课程一开始就会讲授的知识点，但教学者和学习者对其重要性认识普遍不足。为了充分理解数学抽象和数学对象的本质，我们认为HPM提供了适当的视角。

（二）数学的分析化

“数学对象是集合”这一认识发端于数学的分析化运动。17世纪，牛顿—莱布尼茨因物理学的需要创建了微积分。但直至19世纪，微积分都是作为一种半经验性（即半物理学）的数学形式体系而存在的。

牛顿—莱布尼茨的古典微积分是围绕“无穷小量”的演算法，其中“既等于零又不为零”的怪异现象引发了第二次数学危机。以柯西为首的数学家致力于解决无穷小演算法的基础问题，这就是数学分析诞生的原因。到魏尔斯特拉斯时代，微积分学的形式体系已经实现了彻底的严格化。无穷小量所引发的概念混乱被驱散，第二次数学危机得以解决。

柯西—维尔斯特拉斯分析学的基础是实数理论。本着分析学的精神，人们还可继续追问：实数理论的基础是什么？柯西给出的回答是：实数是有理数序列的极限；戴德金给出的回答是：实数是有理数全体上合理的分割方式。也就是说，实数（模型）在大多数情况下要借助有理数。再进一步，有理数可由整数的分式域加以构造。最后人们要问：整数（或自然数）是什么？策梅罗和冯·诺依曼的回答是：自然数可在集合论中从空集逐步构造。

由此可见，数学的分析化是从一个适当层面的数学对象出发，逐步寻求其底层构造的过程。在分析化过程中，初始数学对象的直观性被逐步消去，最终达到了高度抽象的数学对象。布尔巴基学派认为，所有数学对象都是集合及其上面的构造。

（三）数学的综合化

分析数学是从点集出发，逐步在其基础上施加新构造，从而得到结构愈加丰富的数学对象。与之不同，综合数学提供了另一种实现数学抽象、把握数学对象的方法。综合数学的出发点是：人们在实践中对某种类型的数学对象可产生足够的直观，这些直观可直接抽象为公理。此类公理直接描述了数学对象的性质和行为，而不需再借助一个底层的“基础设施”。

分析数学和综合数学中都有公理，但这些公理的作用是不同的。分析数学的公理描述在已有数学对象上新增设结构的特性，而综合数学的公理则直接描述某种类型的数学对象。任何公理系统都存在一些元数学性质，如一致性、可靠性和完备性。一致性要求系统中的诸公理不能互相矛盾，这是对一个公理系统最基本的要求。对分析数学来说，由于任何数学对象都是前趋对象之上的充实化，因此一般不太可能出现新公理互相矛盾的问题。但對综合数学来说，诸公理都是从直观中直接得出，一致性就成为一个需要严肃对待的问题。由于公理对综合数学而言更为本质，因此有时综合数学也被直接称为“公理数学”。

（四）案例研究：平面几何学

中学数学提供了具体说明以上两种数学抽象活动的生动案例——平面几何学。作为综合数学的平面几何学，即初中阶段学习的欧几里得公理几何学。在欧几里得几何中，原初对象是点和线。基于人们的数学直观，直接对点和线这两类数学对象规定下述公理：

［直线公理］ 过两点有且只有一条直线。

［平行公理］ 过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线相平行。

诸如此类，不一一列举。

值得注意的是，欧几里得的公理几何在逻辑上是不彻底的。1930年，希尔伯特使用点、线、面、角四种原初对象给出了逻辑严格的综合初等几何。1959年塔尔斯基仅使用点，1975年霍布豪斯和舍尔巴仅使用线完成了综合初等几何之公理体系的构造。

作为解析数学的平面几何，即为笛卡尔解析几何。此时，点是一个有序实数对（x，y），而线则定义为满足Ax+By+C=0的点（x，y）构成的集合。

容易看出，在欧几里得公理几何中，点和线都是原初对象，线并不是一个点集。而在笛卡尔解析几何中，欧氏几何中的直线公理、平行公理都变为定理，它们可由线性方程组理论导出。

二、数学抽象学科素养的外延

（一）数学直观

课程标准指出，数学抽象核心素养主要指“从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征”［3］。其中，“数量与数量关系”“图形与图形关系”都是原始数学直观。在原始数学直观中，数学对象和逻辑推理都是非形式的。

从现象世界、数量及其关系或图形及其关系出发进行的数学抽象活动，在数学史中有两种方案：分析式的和综合式的。综合数学抽象出描述数学对象的公理体系，而分析数学则抽象出（布尔巴基意义上的）数学对象。从更加现代一点的观念看，分析对应于数学直观的内化，而综合对应于数学直观的形式化。

（二）数学直观的形式化与内化

数学直观本身可进行多种不同方式的封装。布尔巴基学派认为数学应封装为素朴集合论，而瑞典数学家马丁—洛夫则认为应封装为类型及其意义解释。数学直观的形式化是指使用某种形式语言来表达这类原始直观，由于原始直观封装方式的不同，布尔巴基选取ZFC这个一阶语言，而马丁—洛夫则选取内涵构造主义类型论。

形式语言的基础构件是概念，而概念就是形式语言中依语法而形成的词项。因此，形式语言无非是一种“第二语言”［4］，人们借助它可以表达数学概念以及描述概念间关系的数学命题。既然是语言，就有表达能力强弱的区别。布尔巴基学派认为，ZFC已足够表达数学直观中所有观念。

内化是指在一种具体的底层对象上表达日常数学直观。布尔巴基的建议是在集合的范围内完成内化，但今日的数学实践已经牵涉到高度复杂的数学构造。如果依笛卡尔的思路在集合上通过逐层丰化再完成这些构造，人们将面临极高的组合复杂度。在今日的数学教学中，有相当部分的困难即是来源于此。有部分数学家提出如下建议：何不直接考虑以这类复杂数学对象为初始对象建立综合数学？这一尝试已经取得较大的进展，亦有关心教育工作的数学家指出这类新的综合数学应该传导至初等数学的教学中。［5］

综上所述，形式化的基础是逻辑，内化的基础是集合论。正是由于两者互相配合，才使数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。虽然这两方面知识目前都不是高考命题的重点，但对其深入理解是使学生获得数学成熟的基础。

三、数学抽象学科素养的培养

（一）数学能力的语言/技术二分观

柯尔莫哥洛夫指出：（数学活动的本质是）“仅将研究对象的形式分离出来，（然后）对这个形式作逻辑上的解析”。［6］因此，数学能力实际上包含两个部分：

第一部分是数学抽象。在任何语言活动中，对目标语言的语法具有适当的熟练度，以及具有充分的语言表达经验都是极为重要的。因此，课程标准明确指出：学生要注意“积累从具体到抽象的活动经验”。在此基础上，学生还应进一步认识到数学是由“概念、命题、方法和体系”逐级构成的，并且数学语言也能迁移到其他学科中去。

第二部分是在形式的基础上“作逻辑上的解析”。数学形式是数学抽象的终点，但并不是数学活动的终点。例如，使用立体向量求解空间几何问题时，建立坐标系从而将几何问题代数化，只是问题求解的半程，还需使用各种方法求出这一问题的闭式解。这一现象在其他科学中表现得更明显，如在物理学中，形式化的终点一般是一个微分方程组，这类方程在大多数情况下没有闭式解，只能定性地分析其解的性质。

俄罗斯数学教育家斯可平科夫将中学数学教育的重点划分为“驱动型”和“技巧型”两个方向。前者引导学生在中学数学的基础上进一步接触现代数学，后者则尽量少地引入新数学语言的前提下引导学生逐步掌握各种复杂的数学技巧。

从HPM观点看，数学语言的发展依赖于分析化和综合化运动，但数学技巧在柯西以前的古典微积分时代就已经取得了长足的发展。无怪乎俄罗斯数学家阿诺尔德说，在牛顿时代人人掌握的求极限方法在今天即便是大数学家也没有几人掌握了。

（二）案例研究：平面向量教学

在学习平面向量时，学生已经对向量的“箭头”定义及演算法有了直观认识。原因是在学习“力的合成与分解法则”时，学生已经知道向量可由箭头描述，其加减法可由平行四边形法则或三角形法则给出，而纯量乘法可由同方向伸缩所描述。

在教学时，教师可引导学生探索向量加法与数值加法的异同：结合律、交换律是否成立，是否存在加法零元，加法的逆运算怎样定义，等等。待学生认识到加法运算可对数之外的其他数学进行对象定义后，教师可借机抽象出向量加法满足的5条公理：设v1、v2、v3是任意平面向量，则：

［封闭性］ v1+v2仍是平面向量

［结合律］ （v1+v2）+v3=v1+（v2+v3）

［加法零元］ 存在0， 使得 0+v1=v1+0=v1

［逆运算］ 存在 -v1， 使得-v1+v1=v1+（-v1）=0

［交换律］ v1+v2=v2+v1

注意，此处尚未引入纯量乘法。在引入以上5条性质后，教师可提示学生：对一个带有二元运算的集合，只要满足以上5条，就称之为Abel群。如果只满足前4条，则称之为群。如果只满足前3条，则称之为幺半群。如果只满足前2条，则称之为半群。

教师接下来引入纯量乘法。有了向量加法的示例，学生容易探索出纯量乘法的基本性质：对任意的λ，μ∈R以及向量v，有：

［封闭性］ λv仍是向量

［纯量加］ （λ+μ）v=λv+μv

［纯量乘］  （λμ）v=λ（μv）

［纯量乘单位元］ 存在1∈R，使得1v=v

教师提示学生思考：如何理解中间两条公理？答案是：纯量乘的系数所在的实数集R本质上是一个域，而域中只有两种基本运算——加法和乘法。

最后，教师引入向量加法和纯量乘法的相容性公理：

［分配律］ λ（u+v）=λu+λv

至此，教师就完成了从物理向量到向量空间的数学抽象过程。向量空间由以上10条公理完全刻画，其诸性质可由这些公理导出。對这一典型的数学抽象，教师可引导学生进行如下的反思：（1）现象世界的哪些信息被分离出来了？向量空间的诸公理是否都有其经验根源？如果不是，哪些公理是纯数学的需要？（2）物理学中表示力的向量只是向量空间的一种示例，向量空间在现象世界中是否还有其他示例？（3）这一公理体系是否能推广至立体向量？

（袁瑞雪，北京化工大学经济管理学院，北京 100029）

参考文献：

［1］［2］［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020：4，5，4.

［4］ 诺依曼.计算机与人脑［M］.甘子玉，译.北京：商务印书馆， 1965：60.

［5］ 黎景辉. 关于数学教育知识链的传递问题［J］. 数学教育学报， 2014（1）：9-15.

［6］ 伊藤清. 柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩［J］. 数学文化， 2010 （1）：6-12.