带p-Laplacian算子的半线性分数阶脉冲微分方程解的存在性与唯一性

吴亚斌，周文学，宋学瑶

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

近年来，微分方程引起了国内外学者的广泛关注[1-3].但由于整数阶微分方程在描述具体现象时具有一定的局限性，分数阶微分方程在近几十年内得到了迅速发展，且广泛应用于流体力学、化学、物理、生物工程等多个重要领域.此外，因p-Laplacian算子方程具有广阔的应用背景，具p-Laplacian算子的分数阶微分方程也得到了学者大量的关注，取得了不少成果[4-8].文献[8]通过Banach压缩映射原理和Green函数性质研究了如下带p-Laplacian算子的分数阶微分方程反周期边值问题：

解的存在性.其中2<α≤3,0<β<1<γ<2,c为Caputo分数阶导数.

自然界中许多涉及物理、信号处理、生态学等方面的问题无法借助简单的微分方程去描述，有学者发现，给方程加入脉冲项将与实际问题更加接近，对解决复杂问题很有帮助.目前对带脉冲的微分方程也进行了不少的研究[9-12].文献[12]通过Leray-Schauder不动点定理研究了一类非线性分数阶脉冲微分方程边值问题：

解的存在性.其中f∈C(J×R,R),Ik,Jk∈C(R,R)，为Caputo分数阶导数.

据笔者了解，目前很少有学者考虑带有p-Laplacian算子的半线性分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性与唯一性.基于以上研究，本文讨论了如下一类半线性分数阶脉冲微分方程边值问题：

解的存在性.其中 1 <α≤2,f∈C([0,T]×R×R×R,R)，是 α阶 Caputo分数阶导数，λ≥0,p≥1，a≥b>0，p-1+q-1=1,φp(s)=|s|p-2s,(φp)-1=φq,I,I∈C(R,R)，J=[0,T],0=t0

1 预备知识

为了简便，我们引入记号J0=[0,t1],J1=(t1,t2],···,Jm-1=(tm-1,tm],Jm=(tm,T].且定义以下空间：

C(J,R) 表 示所有从J映到R的连续函数构成的空间，其范数定义为

PC(J,R)={u:J→R,u∈C(Jk),k=0,1,···,m，且存 在.k=1,2,···,m}，其 范 数 定 义‖u‖PC=易得C(J,R),PC(J,R)为Banach空间.

Caputo分数阶导数定义及Riemann-Liouville型分数阶积分可见文献[13-14].下面仅列举本文所需重要引理.

引理1[15]如果p>2 ，且 |x|,|y|<ω，那么对于算子 φp，有下面不等式成立：

引理2[16](Arzela-Ascoli定理) Ω⊂PC(J,R)列 紧的充分必要条件是函数u(t)∈Ω在J上一致有界，在Jk(k=1,2,···,m)上等度连续.

引理3[17](Schauder不动点定理) 设E为Banach空间，Ω是E上的非空有界闭凸子集，算子Q:Ω→Ω是连续算子，且Q(Ω)⊂E是 相对紧集，则Q在 Ω 上至少存在一个不动点.

引理4[18](Schaefer不动点定理) 设E是一个Banach空间，假设算子Q:E→E是全连续算子并且有V={u∈E:u=ρQu,0<ρ<1}是有界集.那么Q在E中至少存在一个不动点.

引理5[19](Banach压缩映射原理) 设E是完备的距离空间，Q:E→E是一个压缩映射，则Q在E上有唯一不动点x′，即Qx′=x′.

引理6设y(t)∈C[0,T]，则脉冲微分方程边值问题：

存在唯一解：

当t∈J0时

当t∈Jk(k=1,2,···m)时

其中

证明对方程两端从0到t积分，得

对上式两边 φq作用，得

对任意的t∈J0，对上式两端 α阶积分，有

对t∈J1，存在常数d0,d1，使得

因此，有

对t∈J1，有

类似地，通过相同的过程归纳可得，对t∈Jk(k=1,2,···,m)有

由边界条件au(0)=-bu(T),au′(0)=-bu′(T)得

将c0,c1分别代入(5)式和(7)式即可得证(3)式与(4)式.证毕.

2 主要结果

定义算子Q:PC(J,R)→PC(J,R)为

其中

注1由引理6可知，边值问题(1)有解等价转化为算子Q存在不动点.

为简便计算做如下记号：

定理1若条件

成立，且存在 εi>0(i=1,2,3)满足

则分数阶脉冲微分方程边值问题(1)至少存在一个解.

证明首先说明Q:PC(J,R)→PC(J,R)是全连续算子.过程分3步进行.

第1步：算子Q是连续的.事实上，由的连续性可知算子Q:PC(J,R)→PC(J,R)是连续的.

第2步：算子Q将有界集映为有界集.设 Ω⊂PC(J,R)是 有界集，∀u∈Ω，存在L0,L1,L2,L3>0，使得因此，∀u∈Ω，由(8)式有

即

第3步：算子Q是等度连续的.对任意t∈Jk,0≤k≤m，有

因此，对任意t1,t2∈Jk,t1

由此知算子Q等度连续.

综上，由Arzela-Ascoli定理知算子Q:PC(J,R)→PC(J,R)为全连续算子.

由条件(H1)不难得出，存在r>0，∀0<|u|0(i=1,2,3) ，使得 |f(t,u,Ku,Hu)+λu|≤ε1|u|，和 Λ1≤1成立.

即得 ‖Qu‖PC≤r，有Q(Ω)⊂Ω.由引理3算子Q至少存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个解.证毕.

定理2设以下条件成立：

(H2) 存在常数 γ1,γ2,γ3>0 ，使得对任意t∈J,u∈R 有

则分数阶脉冲微分方程边值问题(1)至少存在一个解.

证明由定理1可知Q:PC(J,R)→PC(J,R)是全连续算子.

定义集合V={u∈PC(J,R):u=ρQu,0<ρ<1}.令u∈V，有u∈PC(J,R).根据PC(J,R)的定义显然存在γ0>0，∀u∈PC(J,R) ，有 |u|≤γ0.因此，对所有u∈V,t∈J，根据条件(H2)类似式(9)式证明过程可得

由(12)式可知

得集合V是有界集.由引理4知Q至少存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个解.证毕.

定理3设1

(H3) 存在函数h(t)>0 ，且存在常数对任意t∈J,u∈R ，有|f(t,u,Ku,Hu)|≤h(t);

(H4) 存在非负函数 µ1,µ2,µ3,ψ1,ψ2∈C(J,R)，使得对任意t∈J,u,u∈R，有

且有

这里 ‖ µ‖=max{‖µ1‖,‖µ2‖,‖µ3‖}.则分数阶脉冲微分方程边值问题(1)存在唯一解.

证明根据条件(H3)有

由条件(H4)，对任意的u,∈PC(J,R)，有

由1 2.由引理1，(13)及(14)式可得

下面说明Q为压缩映射.由条件(H4)与(15)式可得

即

故由条件(H4)可知算子Q为压缩映射，由Banach压缩映射原理可知算子Q存在唯一不动点，即边值问题(1)存在唯一解.证毕.

注2p≥2情况较为复杂，此处不做考虑.

3 举例

下面举例说明主要结果的合理性.

例1讨论边值问题：

综上

即 Λ2<1，可知Q是压缩映射，满足条件(H4).因此由定理3知此问题存在唯一解.