在转化中优化数学运算 在思辨中培育数学素养——以一道解析几何试题教学为例

肖罗保, 邓 丹

(1.余杭第二高级中学，浙江 杭州 311100；2.临平职业高级中学，浙江 杭州 311100)

高三数学复习时，学生都觉得平面解析几何大题第二问计算烦琐，运算难度大，教师在课堂教学时也深感头痛.然而，平面解析几何又是高中数学教学的重点和难点，在全国各地的高考试题中，通常作为拉开分差的大题出现，在全国卷或新高考卷中分值一般为12分，在浙江卷中占15分，具有较好的区分度.究其原因，平面解析几何难点在于对运算目标对象进行“转化”，难点在于数学运算量大而且烦琐.本文试图通过一道平面解析几何的模拟试题，阐述在解析几何问题的求解中如何进行转化，从而优化数学运算，在思考和辨析中培育学生的数学核心素养.

1 试题呈现

图1

例1如图1，点A为椭圆C1:x2+2y2=1的左顶点，过点A的直线l1交抛物线C2:y2=2px(其中p>0)于点B,C，点C是AB的中点．

1)若点A在抛物线C2的准线上，求抛物线C2的标准方程.

2)若直线l2过点C，且倾斜角和直线l1的倾斜角互补，交椭圆C1于点M，N.

①证明：点C的横坐标是定值，并求出该定值；

②当△BMN的面积最大时，求p的值．

(2020年浙江省周边重点学校数学模拟试题第21题)

2 试题分析

本题考查的知识点是抛物线的标准方程、准线方程、焦点坐标、中点坐标、直线的倾斜角、直线的斜率、直线与抛物线以及直线与椭圆的位置关系问题.在问题的解决过程中，考查学生对基础知识的理解、对基本技能的掌握、对基本思想方法的运用，同时积累基本的解题活动经验.从数学课程的核心素养来看，本题考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.

3 教学过程

3.1 第1)小题

3.1.1 问题引导

师：在本题中，点A的坐标是什么？抛物线的准线方程是什么？

设计意图回顾椭圆的顶点坐标、抛物线的标准方程和准线方程等基础知识.

3.1.2 及时追问

师：过点A的直线l1方程该如何假设？

生2：我假设l1的直线方程是y=k(x+1).

生3：我假设l1的直线方程是x=my-1.

3.1.3 比较解法

师：比较这两种直线方程的假设方式，你认为哪种假设更加方便展开计算？为什么？

生4：假设直线l1的方程为x=my-1更加方便，因为直线l1与抛物线C2:y2=2px(其中p>0)联立更简单.

设计意图根据不同的抛物线方程形式，假设相对应的直线方程，联立方程组，减少运算量.

y2-2pmy+2p=0，

从而

在此，如何求点C的横坐标？

3.1.4 耐心启发

生5：我是通过直线方程来求的.因为点C是AB的中点，所以

2yC=yB, yB+yC=3yC=2pm,

但是到这里算不下去了.

师：其他同学能帮助他吗？

于是

师：你是如何想到的？

生6：根据题目需要证明点C的横坐标是定值，我由生5的解法猜想pm2是定值.

师：很好！根据目标，大胆猜想，小心验证结果.还有不同的解法吗？

3.2 第2)小题

3.2.1 问题引导

师：接下来，我们看第2)小题.当△BMM的面积最大时，求p的值．请同学们思考:△BMN的面积该如何表达更方便？

生8：计算MN的弦长，再算点B到直线MN的距离h，因此面积公式是

3.2.2 及时追问

师：那弦长MN该如何求呢？点B到直线MN的距离h，该如何求解呢？

整理得

x+my-2=0.

(m2+2)y2-4my+3=0，

从而

师：生9的解题思路非常清晰，也直截了当，需要求什么直接表达出来.可见生9的运算功底很扎实，运算也很仔细.其他同学有没有不同的想法？

图2

生10：我通过生9的解题过程发现直线l2:x+my-2=0过定点(2,0)，即直线l2与x轴的交点为定点D(如图2).因此，我再观察发现，由于直线l2的倾斜角和直线l1的倾斜角互补，因此△ACD是等腰三角形，由第1)小题可知

解得xD=2，因此直线MN的方程可设为

x=-my+2，

整理后即为生9所得直线MN的方程.

3.2.3 比较解法

师：生10的解答给我们一个启示，解析几何问题首先是几何问题，应先利用几何图形(△ACD是等腰三角形)建立直观，然后通过转化进而优化代数运算，使得求直线MN的方程更加简洁.还有其他想法吗？

生11：我发现求点B到直线MN的距离可以优化，也就是求△BMN的面积过程可以优化.

师：如何优化求△BMN的面积？

生11：在这个题目中，点B的坐标不用求，因为点C是AB的中点，所以点B到MN的距离可转化为点A到MN的距离.而点A(-1,0)是定点，从而

于是

这样的转化简化了很多运算.

师：同学们很善于动脑筋思考问题，把复杂的问题一步步转化为更加简单的计算问题，在转化中优化了数学运算.接下来我们把结果计算出来.

又

因此

3.2.4 耐心启发

师：通过这道典型的平面解析几何题的解决，给了我们什么解题启示？

生12：解析几何问题，首先是几何问题，应该先利用几何图形建立直观，在转化中优化代数运算，而不是直接去求直线方程，联立求解.应该对图形特点多一些观察，多一些思考.

设计意图让学生总结解题的过程、方法和思考感悟，理解在转化中优化运算过程，在思考辨析中培育数学素养.

4 教学反思

4.1 解析几何问题首先是几何问题，然后才是解析问题

解析几何问题应该先利用几何图形建立直观，然后通过理解运算对象，进而在转化中优化代数运算，使得求解更加简洁.学生的转化能力，不是突发奇想而来的，而是先观察几何图形的特征，然后确定运算的对象、设计运算途径实现的.学生的运算能力的培养不是一朝一夕形成的，也不是一节课几个例题的讲解能够达成的，而是让学生“卷”入课堂教学中来、“卷”入运算对象中来，理解处理问题的思路不同所带来的运算量也不尽相同.

4.2 关注结果，更要关注结果产生背后的思维过程

数学教学活动是数学思维的活动，一堂好课的关键是看学生的“思维参与度”以及有没有高水平的、深层次的思维.教师设置问题，应把学生引入“愤”“悱”的境地，经过思考获得结果.教师不仅要关注获得的结果，更要关注结果获得背后的思维过程，经常问一问“你是怎么想到的？”“你是不是有不同的想法？”“你为什么这样想？”，通过这样一些有效的追问，背后的思维过程就暴露出来了.这样的思考辨析过程有效地提高了知识运用的能力、逻辑思维能力.不知道“为什么”的知识是肤浅的知识，多问“为什么”是从假懂走向真懂的必经之路.

5 结束语

著名数学家波利亚曾说过：“没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分研究和洞察后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化对答案的理解.”[1]在处理平面解析几何问题时，教师要不断体会在转化中优化运算、在不断地深入思辨中培育学生的核心数学素养.