基于最小均方和递归最小二乘的自适应滤波器设计

刘耀文

江西理工大学信息工程学院 江西 赣州 341000

引言

由于现代芯片的工艺提高，现如今计算机的计算速度获得了空前的提高[1]。本文使用自适应数字滤波器实现语音信号的降噪处理，滤波器的设计数字滤波器总的来说可以分两大类：经典滤波器和现代滤波器，经典滤波器需要事先提取信号的统计特性[2]，例如经典的维纳滤波器以及经过改良的卡尔曼滤波器，对于已知统计特性的语音信号和噪声信号可以做到不错的滤波性能，但是由于信道和噪声的统计特征往往是较难于已知的，或者是复杂多变的，因此，针对某些变参数信道，经典滤波器的稳定性就会大幅降低，为克服这一困难，设计了自适应滤波器。自适应滤波器能够根据信道的统计特征自我学习，通过自适应方法自主的改变滤波器的权重系数[3]，从而获得最佳的信道滤波性能，并实现对信号和噪声特征的跟踪，从而能够满足各种信道条件，因此自适应滤波器具备了强大的选择性能，以及跟踪能力。

1 自适应滤波器的基本原理与结构

1.1 LMS最小均方误差自适应滤波算法

本文采用定步长LMS算法。本文中采用的滤波器为横向有限冲击响应的维纳自适应滤波器，假设输入信号与期望信号均为平稳随机信号，其误差函数为横向滤波器的二次函数，也即其函数图像是一条向中间下凹的抛物面线，故必具有误差较小值的点，该点为最小均方误差的最优解[4]。

若对其求梯度，可以得出其梯度函数为：

当梯度等于零的时候，可以解出最小均方、差的最优滤波器参数解为w*=R-1P。

虽然在理论推导中可以知道最小均方误差算法存在理论最优解，但是这个理论算法是难以实现的，因为输入信号的自相关矩阵是难以求得的，即使可以通过自相关函数进行求解，而且其矩阵计算量过大，所以如果采用公式求解，对于信号的滤波是无法做到实时处理的，目前最广泛的应用为梯度下降法，利用梯度下降法的思想，对均方误差求解梯度，再根据梯度的反方向进行权重更新，以求解均方误差的最小点，其更新公式为[5]：

其中需要计算自相关矩阵的特征值，为了避免计算特征值，一般采用计算自相关矩阵的迹来表示特征值，最小均方误差存在以下几种缺点，由于计算量大，迭代次数多，所以其收敛速度较慢。二是要求不同时刻的输入信号是线性无关的，如果其统计特性存在相关性，则前一次迭代产生的噪声将影响到下一次迭代，造成误差的反复传播，收敛速度进一步减缓[6]。

1.2 RLS递归最小二乘法自适应滤波算法

最小二乘算法则采用了确定性思想，该算法主要探讨如何通过有限个观测数据来寻求滤波器的最优解，即求横向滤波器的最优权重，首先介绍递归运算算法求解思想，该算法将误差函数的均方达到最小值[7]。

递归最小二乘法思想是使用了开始到目前为止所有误差的加权均方误差，所以对非平稳信号也有不错的降噪效果，同时具备快速的收敛速度，同时最小二乘法是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。但是最小二乘有个问题，就是前面计算出最优估计量后，当有新的数据进来时候，又要重新计算最优估计量。数据量比较大的时候，计算量会变得特别大。

1.3 语音评价方法

客观评价是指用语音信号某个参数系统的去表征语音通过降噪系统后的失真程度，用此来评估降噪系统的性能指标。

1.3.1 信噪比。信噪比是指信号功率和噪声功率占比的一种度量方式，对于总体来说可以初步判断一个语音信号的质量问题，信噪比越高说明一个语音信号的信号功率占比越高，主观表现就是有用信号功率越高，其语音的可懂性也就越高，一般来说一个安静环境下的录音信噪比大概在40-80dB左右。

1.3.2 感知语音质量评估测度。感知语音质量评估测度常用于语音质量的评估，由于其具备良好的普适性，很多场景都会使用，首先将原始信号和含有噪声的失真语音信号经过预处理，将其归一化处理后在时域上进行对齐，消除时延带来的误差，对齐后经过听觉变换获得信号的幅值大小一同输入到差分器中进行扰动处理，计算出语音信号在时域和频域上的MOS分数。

由于存在各种不同的语音评价方式，对于一个语音信号要结合多种语音评价方法进行质量评估，对于感知语音质量评估测度来说可以有效地体现出语音信号的实际听感，在考虑到信噪比的情况下可以评估出实际信号的主观感受，下文试验也可以证明对于一个信号来说信噪比和PESQ分数并不是处于正比关系，所以对于一个自适应滤波器来说要综合考虑信噪比和PESQ分数来考量一个滤波器。

2 MATLAB仿真和实验结果

2.1 实验分析思路

首先设计好的通用LMS和RLS算法的自适应维纳滤波器，改变滤波器阶数，步长，噪声类别来寻找降性能最佳的滤波器参数（滤波器阶数，步长）。通过最大似然比距离、信噪比、PESQ语音测评、收敛速度来评价降噪性能[8]。再设计实验验证学习好某一噪声的最佳滤波器参数对其他噪声的适应能力。

2.2 对高斯噪声的降噪性能分析

原始语音信号受到高斯噪声的污染之后再通过LMS算法实现的自适应滤波器，经过降噪后其输出信噪比、PESQ评价分数、最大似然比距离如表1所示，经过自适应LMS滤波器后噪声基本被滤除，输出信噪比为19.9871，已经满足了清晰噪声的信噪比要求，并且其PESQ评价分数近4.0分，已经可以做到输出噪声语音质量很好的要求，也可以说明LMS自适应滤波器对高斯噪声污染的语音信号的降噪效果优于椒盐噪声污染的语音信号的降噪效果。

表1 加高斯噪声语音信号的滤波效果

如表2所示，虽然LMS算法实现的自适应滤波器对一般噪声有着不错的降噪性能，但是LMS滤波的收敛速度不够快，导致语音听感没有那么好，在主观听感上表现开始的刺耳声，导致无法提供一个很好的降噪效果，本文采用的收敛速度检测是用一段平均剩余噪声小于某一阈值时的最小迭代次数决定的，现在通过实验可以知道LMS对六种噪声的收敛速度对比表格如表2表3所示，RLS的收敛速度则有明显的提高[9]。

表2 LMS对六种噪声的收敛速度对比

表3 RLS对六种噪声的收敛速度对比

为了定性的对两侧的滤波性能做出比较，设计以下实验：使用同一噪声（高斯噪声）下，滤波器阶数均为7，滤波器步长均为0.008，验证两者的滤波性能对比如下表4所示，可以看出RLS算法下的自适应滤波器不仅在收敛速度由于LMS算法下的自适应滤波器，而且其滤波效果也好于LMS算法，经过RLS算法的降噪滤波，其PESQ接近4.5分的高分，已经基本还原了原始语音信号。

表4 两种算法对高斯噪声的性能分析

2.3 对小信噪比信号的追踪效果

上文主要讨论了归一化信号序列和噪声序列一比一幅值比（功率比）下的对比实现，但是当信号通过远距离的传输，往往输入到自适应滤波器的原始输入信号的信噪比非常的小，这个时候的信号可以称为小功率信号。经过预加重和功率放大其信噪比依然不高，那么上面论证的性能表现无法完全适应于小信噪比情况，下面将讨论小信噪比下滤波器参数选择问题，主要使用输出信噪比作为参考，对比常规信噪比和小信噪比之间的最佳参数（滤波器阶数和滤波器步长），首先需要确定信噪比和主观听感之间的关系，定义噪声幅值是语音信号幅值10倍以上称为小信噪比信号。

首先在常规信噪比得到的最佳滤波器阶数（7）、最佳滤波器步长（0.008）条件下对小信噪比的滤波效果如下表5所示，当噪声功率的逐渐提高，输出信噪比逐渐下降，PESQ分数逐渐下降，最大似然比距离逐渐增大，说明当噪声功率较大时，上文中的滤波器不能做到有效的滤波，根据香农定理可知，信道容量的大小随着信噪比的下降而降低，当噪声功率太大时，输入信号所携带的信息将逐渐降低。

表5 常规信噪比参数对小信噪比的适应情况

在小信噪比下，随着自适应滤波器阶数的增加滤波效果显著提高，到20左右达到滤波效果阈值。

2.3 根据上述实验提出的参数追寻方法

根据上文的实验分析，经过自适应滤波器后的输出信号的信噪比呈现先增长后降低的趋势，也就是说起信噪比和滤波器阶数之间的关系存在唯一最大值，那么滤波器阶数没有多极值情况下的虚假最佳参数，根据这一特性可以实现一个自适应滤波器最佳阶数的主动探寻算法，这是非常有意义的，因为语音信号所受噪声的不同其最佳滤波性能所对应的滤波器阶数也是不同的，所以对于滤波器的阶数选择尤为重要，如果可以根据噪声的不同而自动匹配不同的滤波器阶数，则更加具有使用价值。

首先本算法是根据信噪比为度量进行参数反馈随着迭代次数的增加，信噪比逐渐提高，在滤波器阶数为15左右开始趋于平稳，也就是说高斯噪声在LMS自适应滤波器条件下的最佳滤波器阶数为15，进过实验得出，6种噪声在自适应迭代得到的最佳滤波器阶数如表6所示，可以看出，通过对不同噪声进行最佳滤波器阶数的探寻可以看出，在相同的滤波效果下，指数噪声需要的滤波器阶数最小，只有高斯噪声的1/4，也可以说明此方法可以找到不同噪声污染下的语音信号所需要的最佳滤波器阶数。

表6 不同噪声的最佳滤波器参数迭代结果

3 结束语

本文主要就自适应维纳滤波器的滤波原理和两种实现算法，即LMS最小均方误差算法和RLS递归最小二乘法，利用归一化噪声和语音信号定量进行各种实验。

自适应滤波器在信号增强领域有着积极广泛的作用，可以实现未知环境下对信号进行实时滤波或者增强，相比于传统的滤波器有着更为强大的滤波效果和适应性，所以成为如今自适应信号处理的热门研究问题，加上如今计算机计算力的指数提高，研究自适应滤波器的成为一个极其具有使用价值的课题[10]。

本文在参阅了大量数字滤波器的基础知识情况下，首先介绍了自适应滤波器和卡曼滤波器的优缺点，进一步对LMS和RLS算法实现的自适应滤波器作了深入研究，着重对6种常用噪声的滤波效果和最佳滤波参数做出实验探讨，针对自适应最佳滤波器阶数和自适应最佳滤波器步长进行了研究，经过LMS自适应滤波器后的语音信号在滤波器阶数为N=7-10，滤波器步长在0.008时达到最佳效果，其信噪比普遍可以达到20dB以上，基本可以满足语音信号的降噪性能指标。

最后，本文根据上面的实验结论得出一个适用于本文评价系统的结论，随着自适应滤波器的阶数增加和自适应滤波器步长的缩减，其滤波效果呈现先增长后降低的趋势，也就是说存在唯一极大值，根据这个结论我们可以实现自适应滤波器最佳阶数和自适应滤波器的最佳步长进行迭代，实现横向滤波器参数和滤波器步长以及滤波器阶数的自动寻找，结果表明，经过设计的滤波器可以有效地追踪好各种噪声的各类最佳参数。