数学概念教学中的信息技术应用——以函数的单调性为例

杨宏英 广东省深圳市育新学校

数学概念是人类对现实世界数量关系和空间形式的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、数学交流的工具。[1]数学概念作为数学核心知识与数学思想方法的载体，一部分来源于现实世界，是由现实世界的事物、现象及其关系抽象而产生（函数与圆），另一部分来自数学内部，是通过对已有数学对象的本质进行再抽象、组合或拓展而得到的进一步概念（复数与极限）。

准确认识和理解概念，是数学教学的一个难点。如果教师能够借助信息技术合理创设情境，让学生积极参与到学习中，那么学生对概念的理解将更加深入。[2]创设数学情境可以弥补直接传授结论的局限，为数学的学术形态转变为教育形态提供自然的通道，为数学的呈现方式转变为数学的生成方式提供具体的环境，有利于实现知识“再创造”。[3]

下面，笔者以“十四五”职业教育国家规划教材——高教社出版的中等职业学校数学基础模块上册《函数的单调性》为例，探索如何运用信息技术创设真实情境，让学生经历从具体的直观描述到结构化表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的认识和理解。

● 确定目标

1.学情分析

教师利用问卷星为学生做学情前测，前测内容包括学习方式与学习认知水平两个方面。

（1）学习方式。有38.96%的学生表示希望“通过师生共同创建活动，探索概念的生成过程”，28.57%的学生赞同“教师画图分析导入概念”，24.68%的学生愿意“听教师陈述定义，介绍概念”，而7.79%的学生表示会通过“自己课后百度求助”。

数据表明，学生关于数学概念学习方式的选择具有差异性，但其中大部分学生希望通过适当的方式导入概念或在活动中探索概念的生成。

（2）学习认知水平。学生对二次函数f(x)=-x2图像特征的认识存在很大的偏差，只有32.47%的学生正确回答该函数图像是开口朝下先升后降的抛物线，错误率高达67.53%。对于函数在比较f(-2)与f(-3)的大小关系时，只有40.26%的学生能正确比较大小。

数据表明，中职学校学生对二次函数图像及其特征缺乏清晰的认识，数量关系比较能力有待加强。

2.课标分析

《中职学校数学课程标准（2020年版）》（以下简称“课标”）对函数的单调性给出的内容要求为“理解函数的单调性”，教学提示为“通过熟悉的函数图像，帮助学生理解函数的单调性”。

从课标要求可以看到，函数单调性的学习需要结合学生身边熟悉的实例，从“形”出发，经历从具体的直观描述到符号语言“数”的结构化表达。

3.确定目标

基于以学习者特征与课标核心素养为导向的教学要求，教师将课标中的“理解函数的单调性”拆解为“描述曲线几何特征”“抽象出函数模型”“结构化表达函数变化规律”三部分，以确定本节课的教学目标与重难点。

①借助COVID-19曲线走势直观描述其几何特征，培养直观想象能力与洞察能力（教学目标）。

②通过几何画板轨迹追踪功能抽象出函数模型，培养数学抽象能力与模型意识（重点）。

③通过几何画板数据制表功能探索函数的变化规律，用符号语言对函数的单调性进行结构化表达，培养数学建模素养（难点）。

● 教学实施

1.课前

①通过问卷星做学情前测；②教师通过公众号发布推文《解读COVID-19图表曲线，培养学生理性精神》[4]，为学生进入本课学习预热；③学生根据每天发布的新冠疫情信息收集数据资源，制作数字化视频，为情境化教学提供准备。

设计意图：学生是本课的学习者，也是信息化资源的创建者，体现了学习者为中心的教学理念。

2.课中

（1）创设情境（5min）

在初中阶段，学生已经初步了解一次函数、反比例函数以及二次函数的图像具有单调性的特征。高中阶段可以创设真实情境，从直观认识出发，提出问题，通过任务驱动，经历函数单调性的抽象过程。

问题1：2020年2—11月，观察海外新冠病例确诊趋势曲线图，请根据曲线走势，说出新冠病例确诊数与时间的变化关系。

问题2：2020年2—11月，观察我国新冠病例确诊趋势曲线图，请根据曲线走势，说出新冠病例确诊数与时间的变化关系。

设计意图：熟悉的情境容易产生代入感；从几何直观出发，发现曲线特征，为抽象函数模型做好铺垫。

（2）抽象模型（8min）

用几何画板模拟曲线，指导学生多次更换f(x)=ax的底部参数，发现函数f(x)=1.66x（如图1）与f(x)=0.2x（如下页图2）与疫情曲线最为契合，从而抽象出函数模型。

图1

图2

设计意图：通过信息技术对疫情曲线反复实验抽象出函数模型，将真实情境数学化，培养学生的数学建模意识。

（3）揭示本质（8min）

为了进一步揭示函数单调性的内涵，教师利用几何画板的制表功能，分析如下页图3所示函数图像中函数值与自变量之间的变化关系。

图3

设计意图：利用信息技术呈现函数中的数量关系，使函数单调性概念的生成过程可视化，有利于函数单调性概念的理解与表达。

通过自然语言建构增函数与减函数的概念之后，引导学生通过小组合作讨论用符号语言刻画函数的单调性，这是本课的难点。为突破难点，可以通过“问题驱动+动画演示”的策略为学生创建思维脚手架。

问题1：对于给定区间上的增函数，当自变量越大，函数值越大，如何用符号语言描述增函数的这种特征。

问题2：对于给定区间上的减函数，当自变量越大，函数值越小，如何用符号语言描述增函数的这种特征。

动画演示：通过动画点的轨迹追踪，确定当x1＜x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系（如图4）。

图4

通过问题驱动与函数图像上点的轨迹跟踪，得出增函数与减函数的符号语言结构化表达模型。

设计意图：引导学生从用图形语言认识函数单调性与用自然语言描述函数的单调性过渡到用符号语言表达函数的单调性，是一个从感性认知上升到理性认知，思维方式不断优化与深入的过程，有助于培养学生获得更为一般的数学概念模型，发展函数建模素养。

为了深化学生对函数单调性的理解，还需要进一步讨论单调区间上自变量x1与x2的任意性。为此，设计问题3。

问题3：对于给定区间D上的函数y=f(x)，若x1∈D、x2∈D，且x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么该函数是增函数吗？

动画演示：如图5所示，如果给定区间上的自变量不满足任意性，那么可能存在变量x2、x3，虽然满足x3＜x2，但f(x3)＞f(x2)，不符合增函数的关键特征。究其原因，是自变量没有满足“任意性”所致。

图5

设计意图：利用信息技术演示不满足函数单调性对自变量的“任意性”要求，出现不符合增函数特征的反例，加强对函数单调性概念严谨性的理解。

（4）问题解决（14min）

教师推送函数单调性高考真题，利用雨课堂APP的“学生视角”功能了解学生情况。学生在给定时间内解答“雨课堂”推送的学习任务，在“雨课堂”后台可收藏学习资源。

设计意图：通过高考真题实战演练，提高学生的问题解决能力与数学核心素养；实时测评，数据驱动；及时发现问题并调整教学策略。

（5）归纳总结（5min）

教师引导学生归纳总结函数的单调性。学生用思维导图梳理出函数单调性的脉络。

设计意图：用“幕布”做思维导图，形成学习管理习惯。

3.课后

教师通过雨课堂APP收集学习数据，针对性地推送函数单调性作业。

● 教学反思

1.关于教学策略

通过信息技术创建基于真实问题的学习情境，创新数学概念教学方式，可避免知识的刻板复制。充分利用信息技术重构教学内容，优化知识的呈现形式，将抽象概念形象化、静态概念动态化，有利于深化数学概念的理解，揭示数学概念的本质。本课例创设的情境来自学生熟悉的生活事实，不仅能培养学生的理性精神，而且有利于学生形成面对全球公共危机，更加需要构建人类命运共同体的价值观念。

此外，信息技术创设真实情境要考虑三个要素：

①师生共建。学生不仅是资源的消费者，还是资源的创建者。充分利用学生的数字化意识与信息技术能力，师生共建学习资源，在资源建设中体验概念产生的背景与过程。

②问题导向。利用信息技术创设真实情境，要以核心素养为导向，通过问题驱动激发学生兴趣，引导学生做中学、创中学、用中学，在协作与对话中，寻求问题解决方案。

③注重本质。信息化教学资源力求体现情境的鲜活性与时代特点，更重要的是在资源建设过程中，体现数学的相关性，注重通过信息技术揭示数学概念的本质。

2.关于学习主体

将信息技术融入数学概念的学习，使学生成为函数单调性概念“再造”的积极建构者；基于信息化创建学习资源与数学实验，学生经历真实情境的数学化过程，从几何直观到数学抽象，从数学模型到符号语言的结构化表达，围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验成功，获得有意义的学习，体现了学习者为中心的教学理念。

3.关于学习评价

根据布鲁姆教育目标分类学原理，教学设计应该围绕“目标、教学、评价”三个维度展开，形成“学教评一致性”的教学设计原则。本课例教学实施的每一个环节都围绕学习目标展开，力求目标、教学、评价两两匹配。

对比课前测与课后测的数据可以发现，本课的学习目标的达成度较好。课前，只有32.47%的学生正确回答函数f(x)=-x2的几何特征，课后，60.83%的学生能正确解答更复杂的函数f(x)=x2-2x+3的函数单调区间，学生的认知增量达到将近50%；课前，对给出的函数在比较f(-2)与f(-3)的大小关系时，只有40.26%的学生通过计算正确比较大小，课后，45.83%的学生能根据函数单调性概念规范表达该函数的单调区间。学生答题的正确率不高，可见关于反比例函数问题，是学生的薄弱点，需要在后续教学中进一步强化。虽然前后增量只有5%，但是后者的难度更大。前后比对发现，本课题的信息技术教学策略，对实现“学教评一致性”具有借鉴意义。