n阶复微分-差分方程的超越整函数解

刘镡镁 ,陈省江

（1.福建师范大学 数学与统计学院,福建 福州 350117；2.宁德师范学院 数理学院,福建 宁德 352100）

1 引言及主要结果

设f为在复平面上的亚纯函数.对于亚纯函数f,假定读者能够熟练运用Nevanlinna 值分布理论的基本记号和结论,如m(r,f),N(r,f),T(r,f),S(r,f),以及函数f的增长级ρ(f)等[1-2].许多专家探讨了有关复微分-差分方程的有限级超越整函数解的问题,并获得了很多非常重要的结果.

2012年,Liu等[3]考虑了如下复微分-差分方程的有限级超越整函数解的问题,证明了下述定理.

定理A[3]设f(z)是复微分-差分方程

的有限级超越整函数解,则f(z)=sin(z±Bi),其中B为常数,c=2kπ 或c=(2k+1)π,k是整数.

2013年,Liu等[4]将定理A 中的一阶导进一步推广到了n阶导数的情形,证明了下述定理.

定理B[4]设f(z)是复微分-差分方程

的有限级超越整函数解,则当n是奇数时,f(z)=±sin(aiz+bi),其中an=±i,c=kπia,k是整数,b为常数;当n是偶数时，f(z)=±cos(aiz+bi),其中an=±1,c=,k是整数,b是常数.

2019年,刘曼莉等[5]推广了刘凯的上述结果,并得到下述定理.

定理C[5]设f(z)是复微分-差分方程

的有限级超越整函数解,其中：Q(z)为多项式,c(≠0) ∈.则Q(z)=c1c2为常数,且f(z)一定满足

其中a和b为常数,a4=1,c=,k是一个整数.

推广了上述定理,得到如下结果.

由表1及表2可知,所测CO2浓度误差百分比控制在2%以内,温度的误差百分比在4%以内,可以满足航站楼环境参数采集要求。

定理1设w(z)是复微分-差分方程

的有限级超越整函数解,其中：Q(z)为非零多项式,则

(i)当n是奇数时,

(ii)当n是偶数时,

2 引理

3 定理1的证明

方程(w(n)(z)2+w(z+c)2=Q(z))可改为

其中：Q(z)=Q1(z)Q2(z),Q1(z),Q2(z)为非零多项式,p(z)为非常数多项式.

由式(1)可得

对式(2)的第2式求n阶导,有

根据数学归纳法可知

其中，NnMn是关于p′,⋅⋅⋅,p(n)的次数为n-1的微分多项式.

又由式(2)的第1式,有

结合式(3～4),可得