模仿、迁移、创新：数学建模教学的三重进阶*

张 阳

数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学建模并非求解数学应用题，它需要用数学的眼光将生活问题抽象成数学模型，并用数学思想方法解决模型，最终用数学语言表达、解释生活问题。

数学建模是学生学科素养与理性精神的综合体现。教师需要指导学生经历模仿、迁移到创新的三重进阶，最终实现学生数学建模能力的素养化、自觉化。

一、模仿：进入数学建模世界

模仿是教与学的基本方法，有着极其丰富的内涵，主要体现在以下三个方面：一是指人类本能的模仿，二是有明确目的的模仿，三是以创新为目标的模仿。数学建模教学中的模仿，主要是指导学生模仿教师的解题过程，学习数学建模思想方法，体验数学建模过程，进入数学建模世界。

数学建模中的模仿可以分为三个环节：一是教师示范数学建模过程，二是学生模仿数学建模，三是以学生为主提炼建模步骤，形成建模方法。

1.课例展示

【例1】测量操场上旗杆的高度：（1）成立测量小组；（2）研究测量目标和测量方法；（3）制订两套测量方案（含测量精度）；（4）明确小组成员的任务分工；（5）实施现场测量，记录并处理测量数据；（6）小组内交流填写《测量工作报告表》；（7）班级成果交流。

教师示范方案1，构造平面三角形。随后安排学生分组讨论。学生给出方案2、方案3及方案4。（见图1）

图1 测量旗杆高度方案

“测量旗杆高度”本质是用数学的眼光观察世界，用数学知识抽象现实问题，体现了数学建模的思想，用到的数学学科知识有三角函数、解三角形。4种方案中，方案1构造平面三角模型，方案2构造等腰直角三角形模型，方案3构造立体模型，方案4构造平面几何模型。方案1与方案2对测量条件要求较高，方案3与方案4可以测量处于较为复杂环境的物体的高度。

2.关于模仿的思考

从教育学的角度来说，“知行合一”是模仿的理论依据，教学所达成的能力与素养是隐性的，不可以直观呈现。在教学中教师能够传授可见的定义、定理，可言述的方法、技巧，还有不可言传的思想感悟等。学生只有在模仿中进行体验实践，才有可能形成具有个性化的能力素养。

在开展教学活动时，教师应注意以下四个方面。第一，模仿的提炼环节是对数学建模的升华，是由特殊到一般的内化过程，需要通过图表等形式辅助理解抽象意义。第二，教师示范指在教师的指导下学生进行建模活动。在此过程中，教师应保证建模活动的进度、质量与安全。第三，模仿活动与建模活动在形态上相似度越高，模仿活动的难度就越低，需要教师依据学情合理设计作业。第四，模仿在教学中占有的比例需要根据教学内容与学生认知水平共同决定。

二、迁移：形成数学建模能力

迁移是指一种学习对另一种学习产生的影响。现代迁移理论主要有三种，一是心理学角度的结构迁移理论，探讨人的内部因素对迁移的影响；二是知识角度的建构主义迁移理论，认为知识结构越完善，学习迁移的能力越强；三是教育学角度的类比迁移理论，认为学习是利用已经掌握的问题解决方法去解决新问题。以上理论有两个共同观点，一是认知结构水平在迁移中处于核心地位，二是外部环境和主体相互作用对迁移具有重要影响。

1.课例展示

【例2】防止水管冻裂，需用保温带缠绕在管道外部。若管道的直径为3cm，保温带宽度为3cm，为节省材料,如何进行包扎才能使保温带全部包住管道且不重叠。

（图2）

将现实问题抽象为数学模型，需要数据收集与处理、数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养。

2.关于迁移的思考

数学模型选择是迁移质量的关键。一个好的数学模型需要有三个条件，一是有较强的实际背景，有利于培养学生用数学的眼光观察身边的生活模型；二是数学模型结果与实际问题结果相近，具有可实践性；三是数学模型需要经历多次修改、不断完善。例2中还有许多地方值得商榷改进，如保温带有一定的弹性，这种弹性很难控制。

对于数学建模能力的迁移评价可以从四个维度进行：一是敏感程度，即学生对生活中的现象能否主动用数学的眼光进行观察；二是知识维度，即学生对于生活问题的抽象过程能否自觉联结到相关数学知识；三是技能维度，即学生在建模过程中能否选择最优方案；四是反思维度，即学生能否对建模过程进行反思、改进，探寻建模中的不足。

三、创新：实现数学建模自觉

数学建模自觉是学习发展到一定程度后的必然结果，它的养成需要学生具有系统的学科知识储备、理性精神、批判性思维和良好的隐性知识。自觉数学建模的直接表现是理性思维，是在对照已有知识的基础上，提出新的概念、观点、方法，是对原有知识的一种增值活动。创新环节可以分为三个阶段：研究问题、提出新颖观点、分析论证。

【例3】请同学们阅读这样一条短信。“尊敬的客户：您的户号12053900000于2022年4月产生水费80.25元，用量25吨。请尽快缴纳。如逾期未缴，我司将于2022年5月20日开始按日收取水费违约金。

师：这段文字是吴江水务公司发给用户的短信，请同学们提取短信中涉及的数学问题。

生：水费与用水量之间是什么关系？缴纳时间与缴纳费用间的数学关系如何表达？

师：非常好，现在我们选取问题“水费与用水量之间的关系”作为研究对象，探究吴江地区水费与用水量间的函数关系式。从例3中的文字信息提炼出的数学信息无法形成完整的函数关系，我们上网查询苏州市居民用水价格表如下。

居民生活用水阶梯第一阶梯第二阶梯第三阶梯户均年用水量0m3～216m3（含）216m3～300m3（含）大于300m3价格3.41元/m3 4.34元/m3 7.13元/m3

2.关于创新的思考

依据创新的概念与特征，数学建模需要在现实生活中发现问题，建构数学模型，求解数学模型中的问题，最后解释问题。创新需要良好的学科素养。数学学科素养有两个层次，一是在学科问题的背景下，应用知识解决学科问题，如常见的数学应用题；二是现实问题的解决中，自觉应用学科知识解决问题，如例3的水费问题。

学生数学素养的形成是一个渐进过程，数学建模素养的培养同样遵循这一规律，需要经历模仿、迁移、创新三重进阶，教师在数学教学中可以依据学情与学生的认知规律，选取对应策略组织教学，帮助学生形成数学建模能力，实现素养培育。