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基于“大概念”的高三复习课探索
——以“隐形圆问题”为例

2023-01-24冯宇斌翟荣俊

中学数学月刊 2022年12期
关键词:大概念变式高三

冯宇斌 翟荣俊

(江苏省无锡市洛社高级中学 214187)

1 背景描述

单元教学是落实数学核心素养的有效途径.其中,“大概念”起到引领的作用.所谓“大概念”,是指能将众多数学知识联成一个整体的数学学习核心,它可以是一个具体的上位概念、重要命题或原理,也可以是一个数学主题、观点或思想方法.例如,平面向量是一类重要的数学对象,沟通了几何与代数,是解决问题的有力工具,可以视作知识型大概念;换元法是代数变形的常用方法,起到简化结构、突出实质的作用,在函数、数列、不等式中都有体现,可以视作方法型大概念;转化与化归是数学解题的依据和导向,同时也是重要的数学思想方法,可以视作思想型大概念.

图3

点评具体破解时,可以从“数”的性质角度,通过坐标法来分析;或从“形”的特征角度,通过几何法来处理.

高三数学试卷讲评课,要依据高考复习背景与试卷讲评的课型特征和学生实际,选择恰当的教学策略,提升数学关键能力,优化应试策略,为情境而教、为素养而教.

2 教学设计

例1已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).

(1)直角顶点C的轨迹方程为;

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程为.

解(1)设AB中点为D(1,0),则CD=2,故C的轨迹是以D为圆心、2为半径的圆(不含A,B),方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).

(2)设DB中点为N(2,0),则MN=1,故M的轨迹是以N为圆心、1为半径的圆(不含D,B),方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).

(也可以设M(x,y),则C(2x-3,2y),代入(1)中的方程,同样得出结果,注意不含D,B)

小结 ①定点(圆心)和定长(半径)是确定圆的两个几何要素;②根据具体问题,舍去一些不符合条件的点.

变式 (多选题)已知圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的可能取值是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

设计意图学会通过几何分析,确定定点和定长找出隐形圆.同时注意“增点”问题,加深对曲线方程这一概念的理解.

思考 ①确定圆的几何要素,除了圆心和半径,还可以是什么?(CA⊥CB,或者说AB是圆的直径)

②已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点,求圆方程.

该方程称为圆的直径式方程,简称直径圆方程.

例2已知点A(-1,0),B(1,0)均在圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2外,且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP,那么半径r的值为.

小结 垂直这一几何条件,往往隐含直径圆.

小结 本题从几何角度难以直接得出点P的轨迹,通过设点用代数方法求出P的方程.并且有如下结论:平面内到两个定点的距离之比是定值(不等于0,1)的点的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆.

变式1 已知两定点A(-3,0),B(1,0), 若直线l:x+ay-2=0上一点M满足MA2+MB2=16,则实数a的取值范围是.

设计意图例3及其变式的处理方法都是设点、列式、化简,这是求轨迹方程的一般方法.同时学生意识到背景条件虽有变化,背后都是隐形圆,轨迹意识得到强化.

例4(拓展)已知圆O:x2+y2=1,C:(x+1)2+y2=9,直线l与圆O相切,与圆C相交于A,B两点,分别以点A,B为切点作圆C的切线l1,l2,设直线l1,l2的交点为P,则OP的最小值为.

设计意图例4及其变式可视作隐形圆问题的延伸.例4是综合问题,不仅要求学生具备较强的“动点找轨迹”意识,同时要熟悉基本模型;变式可以用常规解三角形的方法去做,较繁琐.抓住条件CA+CB=3c=12>AB,本质上是一个隐椭圆问题,从而建立坐标系巧妙求解.

课堂小结,如图1所示.

图1

3 教学反思

“大概念”组织高三复习课,更容易揭示知识间的联系,提高学生解决综合问题的能力.对于高一、高二的新授课,我们常提到单元教学、大概念……而对于高三复习,笔者认为更应当去强化、去落实.高三学生具备了相当多的知识,积累了一定的方法和经验,但缺乏整体性的认识,高三复习需要解决知识、方法的孤立问题.先确定大概念,再精心选择内容相近、方法类似、本质相同的问题,学生的数学视野一旦打开,能力、素养也会得到相应的发展.例如,以多变量问题作为大概念去组织素材,消元、固元、基本不等式、函数思想等都可以容纳进去.

“大概念”组织高三复习课,有助于解题方法的优化和取舍,提升思维的深刻性.一题多解是高三复习课常采用的方式,能够帮助学生打开思路.实际操作过程中,有一个问题常被忽视,就是如何引导学生对多种解法进行评价、选择、优化,甚至取舍.同时也并不是所有问题都应当或值得去追求多解的.用“大概念”的观点看待这个问题,就是要区分该方法是否是一般方法,其适用范围是否广泛.有了这样的认识,我们才可能做到善于选择,大胆舍弃,而不是刻意寻求多种解法,降低课堂效率的同时浪费宝贵的时间.

编者按为密切编辑部与中学的联系,本刊编委第28次“走进课堂”,于2022年9月15日赴江苏省句容高级中学观课议课.江苏省句容高级中学由句容文化名人丁宣孝先生创建于1926年,建校以来,虽历经风雨涤荡,几易校名,但终能弦歌不辍,薪火相续.近百年砥砺风雨,学校积淀了丰富而深厚的文化底蕴.学校秉承“诚·毅”校训,大力打造“诚毅果行,守正出新”的精神文化,形成了“爱国、守纪、勤奋、健美”的校风,“敬业、奉献、求实、创新”的教风和“奋发、探索、团结、进取”的学风.学校曾获“江苏省文明单位”“江苏省实施素质教育先进学校”等多项省部级集体荣誉.近几年来,承载着创建“高品质示范高中”的梦想,全校上下立足新起点,瞄准高目标,坚持“以人为本,立德为先,民主和谐,全面发展”的办学理念,着眼于校园文化建设,在努力使所有学生得到充分发展的同时,积极促进教师素质的全面提升,争取大幅度提高教育教学质量,以期使学校综合办学绩效获得社会的更广泛认可.

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