“随机数表法”的学生错误认知与思维矫正*

郝结红

(南京师范大学附属扬子中学 210048)

赵雨林

(扬州大学数学科学学院 225000)

苏教版高中数学教科书必修二“简单随机抽样”中要求学生掌握两种简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．学生此前未曾接触过“随机数表”的概念，并且在后续的章节学习中也很少涉及，因此学生对此知识的认知有一定的困难．为此，笔者在教学过程中，提前准备了一个盒子和10个小球，设计通过抽签法与全班学生现场制作“随机数表”．目的是让学生体验随机数表的生成过程，激发学生的学习兴趣，加深对随机数表的理解．

1 意料之外——概念混淆现象

课堂上每次邀请两位学生上台演示，一位负责摸球，另一位负责记录数字，如此重复，很快一张“随机数表”就制作好了．学生踊跃参与，课堂气氛活跃，但出乎意料的是学生产生了三种错误认知．

错误1“小球放回”与“小球不放回”相混淆

由于随机数表中每个位置上的数字都是在 0～9十个数字中随机产生的，因此每个位置上的数字都可以通过抽签法产生．具体操作为：用十个大小、形状完全相同的乒乓球分别写上0～9这十个数字，放入一个箱中并搅拌均匀，从箱中随机抽取一个球，记下球上的数字，完成第一次抽签；然后将小球放回箱中，继续第二次抽签……如此重复下去即可得到一张随机数表．

学生的错误做法：从箱中抽取一个球并记下第一个数字后，没有将小球放回箱中就开始第二次抽签．不少学生认为，抽过的球是不能放回箱中继续再供下次抽取的，这是原先抽签法步骤中明确要求的．

错误2“制作随机数表”与“随机数表法”相混淆

师生一起制作随机数表的过程让学生感受随机数表是由随机数组成的，进一步地认识到随机数表法满足简单随机抽样的四个特点，是简单随机抽样的一种方法．

学生的错误观点：不少学生认为“制表”的过程就是随机数表法“查表”的过程，将“制表”和“查表”相混淆．

错误3“小球放回等可能”与“小球不放回等可能”相混淆

上述三种错误是学生在课堂学习时产生的，作为教师必须重视，不能潦草解释或直接忽视，要真正地答疑解惑，帮助学生跨过认知障碍，感受数学的理性之美．

2 情理之中——错误认知形成原因

2.1 过程性错误与合理性错误

李善良博士将数学概念学习中的错误分为两种：一为过程性错误，二为“合理性”错误．前者指数学概念形成过程中，从实例到意象、意象到定义、联系到网络、运用到体系、批判到创新的各个环节中，出现错误的或不完全的反应与操作．后者主要指概念学习中阶段、水平的转变，不同的个性倾向等所带来的概念学习的障碍而造成的错误[1]．相对而言，过程性错误具有短暂性、外显性，是可以预防与避免的．而“合理性”错误则具有隐蔽性、长期性，带有合理性、规律性、不可避免性．分析与区别这两大类错误，有助于透彻认识概念学习，有助于教学指导与预防矫正．

对于“错误1”，利用抽签法制作随机数表的过程中，受到之前学习抽签法“不放回”的影响，学生认为既然用了抽签法，就不能再放回，却没有考虑到随机数表中的每个数字都是在0～9十个数字中随机产生的，学生在两者之间建立了不恰当的联系，混淆了抽签法和运用抽签法制作随机数表．用概念原型等代替数学概念、分类不合理、抽象不完善、概念定义与概念相脱离、概念间建立不恰当的联系等错误，属于过程性错误．对于“错误2”，学生之所以会混淆“制表”和“查表”，是因为他们误认为随机数表的制作过程是随机数表法的过程，同样属于过程性错误．对于“错误3”，学生根据以往学习的概率知识认为放回是等可能、不放回不是等可能，是用原来的思维审视新的概念，按过去的经验、结论、方法对概念作看似合理的推广或限制，属于“合理性”错误．

2.2 学生观点与专家观点

数学概念的形成离不开恰当的教学方式．鲍德纳认为，教师以事先设计好的教学模式来进行教学或许能教得很好，但是却不见得能使学生学到东西，这是因为教学内容所呈现的顺序是基于专家的观点，而不是“学生的观点”[2]．所以我们需要考虑：对于每个数学概念，学生原有的观点是什么？学生的观点与专家的观点有哪些差异？教学中如何去协调这些差异？

教师的教学思想、教学行为，学生原有知识经验和情景的意义建构是否被教师考虑都会不同程度地影响学生的学习效果．以教为主的教学侧重行为目标，较少考虑学生，合理性数学错误便较易且较多地出现，如“错误3”；以学为主的教学则重视学生的知识经验和情景的意义建构，过程性的数学错误相对较多，如“错误1”和“错误2”都是学生在课堂摸球实验中自然产生的．

2.3 数学元认知与元认知监控

数学学习心理学认为，数学元认知指的是人们对数学认知活动的自我认识和自我控制.数学元认知在人的数学思维活动中具有统摄作用，是思维活动的核心成分．[3]不同学生个体的认知活动虽彼此有差别，但元认知的监控、调节是各项学习活动所具有的共同特征，也是学习活动是否有效的决定因素之一．正是数学元认知的存在，才使得数学认知结构具有动机功能、调控功能、选择功能、解释功能、建构功能、提取功能、迁移功能、生成功能、转化功能、激活功能等，从而防止错误认知结构纳入．

“错误1”的产生是由于学生发生了“概念打架”，刚学过抽签法后又用抽签法来制表，但对于随机数表是什么还没有真正搞清楚，所以产生了错误认识．“错误2”是学生先入为主，因为刚学完随机数表的概念后就制表，学生便混淆了“制表”与“查表”．这两个错误认知可通过教学环节的调整来解决，把随机数表的介绍和通过例题讲解如何使用随机数表的教学环节放在制作随机数表之前，这样可以避免“概念打架”与“先入为主”的两个错误认知．“错误3”产生的原因是由于学生没有学习过条件概率，但教师依然可以通过举例讲解和画树状图来帮助其克服认知障碍．

3 当务之急——学生思维矫正策略

基于以上认知错误的归因分析，教师在第二个班级授课时改进教学，从思维矫正的角度来调整学生思维活动形式，收到较好的教学效果．

3.1 开展小组讨论，引发认知冲突

建构主义认识论认为，认识、学习的过程不是简单地输入和储存信息的过程，而是主动地将原有知识、经验和新信息进行比较、分析、判断、选择和重组．[4]由于学生的错误概念暴露的机会比较少，因此发现得越及时越好．开展小组合作学习，组内同伴相互交流时可以将隐蔽的错误概念显露出来，当学生发现自己的认知与别人不同时就会产生认知冲突，引发思考后经过顺应过程形成正确的认知．因此笔者用小组合作学习方式矫正学生相异构想．

教学改进1在制作随机数表前，让学生讨论如何动手制作一张随机数表．

思维活动 (对“错误1”的回应)让学生仔细思考，如果“不放回”地抽取，那会导致什么样的结果？是不是这个随机数表只有十个数字组成？这符合实际吗？

从随机数表的定义来看，表中任一位置出现任一数字的概率相同，且不同位置的数字之间是独立的．也就是说表中的每个数字是在0～9十个数字中随机产生的，那么当我们用抽签法确定了第一个位置上的随机数时，也就代表第一个位置上随机数抽取完成了，实际上就是第一次抽签完成，接下来进行第二次抽签来确定第二个位置上的随机数．

3.2 调整教学顺序，促进同化顺应

建构的过程是同化和顺应，当新知识与原有知识结构和思维方式相符时就被同化，否则就会被排斥，当然也可能经修正、重组后再被吸收．由皮亚杰的认知发展论可知，同化是引起认知结构量的变化，而顺应是引起认知结构质的变化，顺应的难度远大于同化．[4]教材通常都是按照知识之间的逻辑关系编排的，教师的任务是引导学生把这种逻辑关系清晰地表达出来．既然同化是先前知识对新学知识的作用，顺应是新学知识对原有认知结构的改造，那么厘清知识的生成顺序就显得非常重要，因为“最邻近”的知识最利于同化，有序的知识利于形成结构．

教学改进2调整教学顺序，把制作随机数表的过程放在随机数表法之后，主次分明．

思维活动 (对“错误2”的回应)随机数表除了可以用抽签法来制作，还可以通过计算机生成，教材附录中就是计算机生成的随机数表．一般情况下，我们只要学会利用随机数表进行抽样即可．

课堂上再附加一道例题，并利用教材上的随机数表让学生体验用随机数表抽取样本的方法．在完成随机数表法项目任务之后，再呈现随机数表的制作过程，进而强化学生对随机数表的认识．

3.3 了解已有经验，实现概念转变

教师了解学生的知识现状、对教育背景的知觉情况以及错误概念的形成过程，是改进学习的关键之一．只有这样，才能为制订相应的矫正策略提供目标，也为最终达成矫正目标提供可能．因此，必须采取行之有效的诱导方法，使学生显露自己的思维过程和知识的内在结构．

教学改进3增加一个课后思考题，激发学习兴趣．

思维活动 (对“错误3”的回应)为了使问题能解释得清楚，学生学习条件概率后再讲会方便得多．因为抽签法是公平的，是一个常识，大部分学生都是知道而且认可的．因此向学生提供一道课后思考题：有一个抽奖活动，抽箱里有十个号签，分别是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.只有一个号签是中奖号码，小红、小刚和小明三个人依次抽奖，请分别计算三人中奖的概率．

4 言下之意——善待错误重在理解

教学是一门遗憾的艺术，课堂就是犯错的地方．发生上述认知错误反映出学生有思考精神，也有质疑意识．作为教师，既要鼓励学生积极思考问题和发现问题，还要和学生一起解决问题，真正实现善待错误、包容错误、珍视错误，化错误为资源，从错误中学习，在学习中悟道．教师必须理解数学、理解学生、理解教学．这样，才能充分把握知识的发生发展过程、重点、难点和关键，才能抓住内容的核心，才能设置有利于学生理解知识的教学主线，才能在教学中提出具有启发性和挑战性的问题，才能有针对性地有效指导学生学习数学，最终实现提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神的目标．