后建构引领数学课堂学科素养培育——以《有理数》后建构章节复习课为例*

陈 锋

(江苏省无锡市太湖格致中学 214125)

2017年和2018年，江苏省青年教师优秀课(初中数学)比赛别出心裁地分别从“前建构”和“后建构”两个不同视角确定赛题.赛后由苏科版初中数学教材主编董林伟先生总结，创新性地提出了“后建构课”这一概念，由此引发了学界对“后建构课堂”这种新课堂组织形式的广泛关注．

一般认为，“前建构课堂”指的是在建构主义理论指导下的课堂教学，多为新授课；而“后建构课堂”指的是在新认知情境中重组或再构学生已有知识基础，局部深入，以达到重建新的更为完整的认知结构的课堂教学．近年来逐渐兴起的关于初中数学后建构课堂的课例研究，给目前乏善可陈的课堂研究注入了新活力．钟鸣等人对于后建构课堂的章尾复习课展开了一定的设计与应用[1]；薛莺基于单元复习设计[2]和多元变式的应用[3]提出关于后建构课堂的思考．

不难发现，后建构课堂强调教师对知识的重新建构，即打乱原有的顺序，重新建立知识体系，用一条主线将教师想要表达的内容串联起来，后建构课堂在章节复习课中作用尤为明显．因此，笔者以《有理数》章节复习的后建构课为例，借此探讨并总结得出后建构课堂应用于初中数学章节复习课的一些思考．

1 基于核心素养的后建构课堂目标的设计

1.1 把握学科课程标准，优化教学内容

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出：教材内容要有利于调动学生的学习积极性和主动性，有利于教师进行创造性教学．后建构课堂依托于课程标准，教师应该在整合教材内容的基础上进行教学，把教材看作一种资源，整合小学和初中的相关内容，形成系统性的知识体系，从而避免复习的零散化和碎片化．后建构课堂也可以打破学生“只见树木、不见森林”的窄视思维限制，从而整体建构“数与代数”领域的概念和运算基础，从思维层面建构“数形结合”的数学思想方法．因此，无论是从内容上还是从思想方法上来看，后建构课堂都对初中数学学习起着重要的作用．

1.2 关注教学基本要求，建构教学目标

苏科版七年级上册第二章《有理数》主要学习有理数的分类、绝对值与相反数、数轴等内容．因此，章节复习课的教学内容多、教学要求高，从知识的梳理开始，在让学生感受问题的数学化、系统化、模块化的同时，应注重培养他们的转化能力、应用意识和创新意识．基于这样的学科素养目标，本节课的教学目标设置如下：

(1)理解有理数的意义、运算法则以及相关概念：相反数、数轴、绝对值、倒数，会用合适的方法比较有理数的大小；

(2)体会分类讨论、数形结合、化归等数学思想方法；

(3)通过探究体验，感知数学的价值，提高学习兴趣和求知欲，同时在探究问题和解决问题的过程中，提升数学素养．

2 基于核心素养的后建构课堂教学实践

2.1 利用开放性问题，从知识到网络，搭设体系建构

师：我们今天来复习《有理数》这一章节的内容，在这一章节中你学了哪些知识？

生：学习了负数，因为数不够用，所以产生了负数．

师：还有吗？

生：知道了有理数和无理数的概念．

生：学了什么叫相反数和什么叫绝对值，以及绝对值的几何意义．

生：学到了用画数轴的方法可以直观地表示数，我还会用数轴来比较数的大小．

生：学习了有理数的五种运算，知道有理数运算的法则．

师：这些知识之间有怎样的关系？

师生共同建构章节知识网络图(图1)．

图1 有理数章节知识网络图

教学说明教师从学生已有的知识出发，利用开放性问题对本章的内容进行重新组合，不仅帮助学生梳理本章的知识内容，而且建构了知识点之间的联系，这一环节让学生将新授课时对知识的感性认识上升为理性认知，又将微观的零散知识进行宏观的系统化重构，让学生体会整章知识之间的连贯性和系统性，从而建构整个单元知识体系．

2.2 利用探究性问题，从技能到方法，深度优化建构

问题1将下列各数填入相应的大括号里：

正分数{ … }，负有理数{ … }，整数{ … }，无理数{ … }．

师：请同学们思考一分钟，回答具体分类．

师：这个题目里的数涉及到了哪些数？这些数可以怎么划分？

生：可以分为有理数和无理数．

师：很好，那有理数可以分为什么呢？

生：有理数可以分为整数和分数．

师：很好，这是按照有理数的定义来分，可分为整数和分数.那么有理数还可以按照什么原则去分？

生：还可以按照符号来分，分为正有理数、0和负有理数．

师：非常好，那什么样的数称为无理数呢？

生：无限不循环小数称为无理数．

师：非常好，这一道题考查有理数的分类．

教师出示如下问题：

问题2求值：若|x|=3，则x=．

师：这个题目怎么解？

生：x=3或-3．

师：很好，那如果把式子变成这样(变式1)呢？

变式1 若|-x|=3，则x=．

生：跟原来一样．

师：为什么？

生：因为绝对值的非负性，绝对值里面的正负号变化，结果不变的．

师：很好，那我再变．

变式2 若|-x|=|-3|，则x=．

生：还是一样的．

师：为什么？

生：对后面|-3|先进行计算，等于3，就跟第一个变式一样．

师：非常好，也就是说在做这一类题目时，能够先运算的先进行运算，再观察形式得出结果．

问题3在数轴上表示出-2,+(+3), -(-1.250),-5,4,50%．

师：请一个同学上黑板画一画．

学生上黑板画图，教师进行评讲，并总结：

在画数轴时要注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.在画的时候还要注意数轴是一条直线，端点不能封死，标数字时，通常把数字标在直线下方．

师：很好，这是在画数轴，数轴还可以起什么样的作用？

生：比较大小．

师：那请同学将上述数用“<”连接起来．

师(针对生答)：你得出答案的依据是什么？

生：数轴上左边的数小于右边的数，数轴上的数从左往右依次变大．

师：很好，利用数轴我们可以直观地观察出数的大小关系，数轴对我们来说是一个非常有用的工具.这种方法将数和形进行结合，体现了数形结合的思想．

问题4计算：

-12+3×(-4)-(-8)÷(-2)．

学生上黑板板演，教师进行点评．

师：这道题考了什么样的知识点？

生：考了有理数的混合运算．

师：那有理数运算遵循什么样的顺序呢？

生：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内的；同级运算从左往右依次计算．

教学说明教学的目的不只是让学生解题方法实现“程序化”，更是要让学生解题方法实现“最优化”．优化学生的解题方法和解题技能是后建构课堂教学的教学重点，这一环节通过四个系列化问题引导学生对本章节的技能和方法进行回顾和优化探索，这样的探索激发了学生渴求优化方法的强烈欲望[4]．为学生埋下了探索更优方法的种子，蕴含了思维生长的力量．

2.3 利用拓展性问题，从思想到素养，拓宽思维建构

图2

问题5有理数a,b,c在数轴上的位置如图2所示．

(1)用“>”或“<”填空：

b1，a1，cb；

(2)化简：|b+1|+|a-1|-|c-b|．

思考两分钟，请学生阐述思路．

师：解决这个题目的原则是什么？化简什么？

生：去绝对值！根据正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数．

师：非常好，所以解决这类问题的第一步是什么？

生：判断绝对值内式子的正负，判断完了利用化简原则进行化简．

师：很好，观察这个式子，我们如何判断正负呢？将第二问和第一问联系起来，同学们发现了什么吗？

生：发现第二问里绝对值内的式子正是第一问里我们已经比较过大小的内容．

师：有没有发现不一样的地方？

生：|b+1|和另外两个绝对值内部的式子不一样．

师：同学们有什么想法吗？

学生思考，并写出|b-(-1)|的形式．

师：很好，这样我们把三个绝对值内部的式子都统一转化成了两个数作差的形式．同学们思考一下，我们能迅速判断出b+1的符号了吗？为什么要化成作差的形式？

生：能判断出|b-(-1)|里的式子是负数．原因是要和另外两个保持一致．

师：还有其他原因吗？从绝对值的定义来看呢？

生：绝对值的定义根本是表示距离．

师：很好，也就是说，在判断绝对值内式子正负时，我们第一步干嘛？

生：化为作差的形式．

师：很好，也就是判断绝对值内式子的正负时，首先要“变形”，这样能帮助我们更好地判别绝对值内部的式子的正负．下面我们一起来总结一下绝对值化简的解题步骤：①判断绝对值内式子的正负时，首先要“变形”；②化简；③去括号，要注意在将-|c-b|去绝对值号时，由于绝对值前面是“-”，去绝对值号后一定要把绝对值内部的“c-b”作为一个整体，写成-(c-b)的形式，再去括号；④合并同类项．这道题根据数轴我们可以得到绝对值里式子的正负，所以可以直接化简，但是如果没有数轴，也没有大小关系给你，当你不能判断正负时，你又应该如何解决呢？

教学说明后建构课堂的本意就是让学生能够在复习的过程中自主建构，完善自己的知识体系，对知识的认知更加深刻，重点是让学生理解知识的本质，而绝对值化简的本质是判断绝对值内式子的正负．

对于化简|b+1|+|a-1|-|c-b|，首先要让学生学会观察，自主将绝对值内变为作差的形式，即|b-(-1)|+|a-1|-|c-b|．让学生认识到判断正负的前提是将绝对值表现为“距离”的形式，即绝对值符号内部是“作差”的形式：①|b+1|，学生不一定能一下判断出绝对值符号内的正负，化成|b-(-1)|，能让学生一目了然发现绝对值内部的这个式子是“小于-1的数与-1”作的差，以确定绝对值符号内是负数；②让学生深刻地理解绝对值的本质是距离，表现为作差的形式，其实质就是绝对值的本质；③这个本质在下面的变式中也会用到，这样就会有启下的效果，后建构课堂的效果会更好；④另外也对应了这道题设置第一小问的原因，让学生从已有的知识去求解未知的知识，也起到了承上的效果．

变式1 化简：|x-1|+|x-3|．

师：思考一下，这道题该如何解决？

生：因为不知道x在哪里，我们可以对x进行分类讨论．

师：分成几类呢？能用数轴对数的区域进行分类吗？

生：画出数轴，并画出3个区域．

师：很好，当我们将x限制在一个固定区域时，绝对值内的式子就能够判断正负并化简了．

师(总结)：遇到字母位置不确定导致无法解决问题时，可以利用分类讨论思想，对字母的范围进行讨论，这是常用的分类讨论的思想．另外，虽然我们可以一下说出分类，但是借助数轴进行分类能够更加直观．以后在对复杂数分类时，我们都可以借助数轴，这样不会出现漏分的情况．

教师板演分类讨论格式和步骤，并总结：当遇到字母位置不确定导致无法解决问题时，可以利用分类讨论思想，对字母的范围进行讨论．

师：解决了化简问题，我们再来研究一下绝对值的和的最值问题．

教学说明在这个流程里就引入数轴：①提前为下面的变式2作铺垫，同时也承上；②利用数轴将数进行分类，使学生的思路更清晰，不会出现少分类的情况；③在绝对值这个内容里，很多题目都会借助数轴来解答，可能题目给出的变式1比较简单，看不出利用数轴将数进行分类的效果，但是对后面的变式3和变式4，将数分成的区域就会比较多，如果不借助数轴分类，漏分的情况可能会出现；④这四个变式都能与数轴建立联系，以数轴贯穿这四个变式，学生对于将绝对值与数轴联系起来的认知更加深刻．以后碰到类似这样的题，看到绝对值，可以先画个数轴，帮助解题．这样更符合后建构课堂由点到面的一个结构，符合学生的认知．

变式2 |x-1|+|x-3|有最值吗？如果有，当x取何值时有最值，最值是多少？

师：这个问题怎么思考？

生：可以借助数轴和绝对值的几何意义来解决，这个式子可以看作是x到1的距离加上x到3的距离，借助数轴我们可以发现当x在1到3之间时，两个绝对值的和最小，且最小值为2．

师：非常好，也就是说这种题目我们可以将数学式子转化为数轴上的距离来解决，通过图形能够直观地感受当x取何值时，和最小．

变式3 当x取何值时，|x-1|+ |x-3|+|x-4|有最值？最值是多少？

生：同样借助数轴讨论，观察得出当x=3时，有最小值3．

变式4 对于|x-1|+|x-3|+|x-4|+|x-6|呢？你能否将这个规律进行推广，当有若干个绝对值相加，求和的最值．

师：这个我们课后通过猜想、验证去解决．

教学说明这里的思维提升着重在绝对值和数轴的相关问题上，通过数轴来解决绝对值化简和绝对值最值问题，难度递增．将数轴和绝对值结合在一起解决问题，让学生积极参与到探究活动中，亲历“问题建模、问题分析、问题解决”的全过程，层层递进，从易到难，由浅入深，让学生在不断思考中提升能力．

3 对后建构课堂教学的思考

3.1 教学设计的立意

后建构复习课要立足学生的认知，以问题为生长探究的载体，以“质疑—解构—再构”为探究路径，以培养学生的核心素养为教学目标，注重知识的生长点和关联性，使学生在探究过程中体悟技能方法的本质和思维的延续性，从知识间的表征关系到思维的内核品质，让学生经历知识的发展、方法的生成、思维的生长，从而提升学生的学科素养．

3.2 教学反思

(1)由点状到体系，引导学生认知再彰显，助化知识结构

后建构复习课要立足于章节整体框架，引导学生梳理回顾，将知识点串成线、连成片、结成网．学生的认知结构逐步完善，如何能让学生灵活运用知识则必须使知识在学生头脑中内化．要达到这一目标，一方面，在学生梳理沟通形成知识网络时，教师要引导学生根据网络图进行反思，进一步理清知识间的联系．另一方面，综合练习中要针对知识间的联系和规律设计练习，使学生在练习中内化．教师在课堂中起着主导作用，而不是主体作用，教师引导学生的思维方向，决定了学生的思维深度和广度．

对于章节复习，教师要立足于在高观点下看待初等数学，把课堂还给学生，帮助学生在已有知识基础上对所学内容进行深度挖掘，以绝对值和数轴为背景，深入挖掘较为复杂的题目，促使学生进一步地掌握知识的同时突破难题，使对知识的理解以及自我思考解决问题的能力都得到进一步的提升．教师通过“本章学习了什么”这一开放式的问题，激发学生学习的兴趣，调动学生主动思考，并给学生时间和空间去思考、总结、交流，鼓励学生构建自己的知识网络，完善认知结构．同时通过一组习题加强学生对知识的理解，让学生体会章节知识的连贯性，形成知识体系．

(2)由典例到变式，激发学生能力再创新，优化方法结构

后建构复习课可以通过典型例题到变式的探究，从而掌握一般问题具有的共性表象特征，为了更好地掌握解决问题的技能和方法，我们往往需要从典型问题出发，抓住问题的本质，通过变式的比较、分析、探究，从而揭示问题的一般规律．

本节课中，变式提升着重在绝对值和数轴的相关问题上，通过数轴来解决绝对值化简和绝对值最值问题，难度递增，有效地将数轴和绝对值结合在一起解决问题，让学生体会到数轴的重要性．变式例题选择要有共性，符合知识产生顺序和学生思维逻辑，由浅入深、由易到难，给学生足够的时间思考、感悟、发现，自主归纳；除了注意例题之间的联系外，例题还要具有启发性，注重培养学生的创造性思维．最后一道综合提高题，要融合所有知识点，让学生体会知识之间的联系，这样从有典例到变式的探究能使解决问题的技能和方法明朗地凸显出来，从而达到对问题的深入分析和重新建构．

(3)由策略到评价，强化学生素养再提升，内化思维结构

后建构复习课中，教师积极的评价和生生之间的评价能让学生体验到学习的获得感．从某种意义上讲，学生的多角度、多方向、多层次的思维方式、创新精神、创新能力不是学出来的，而是激发、鼓励出来的．

本节课中，教师对于学生出现的问题适当评价，但不强行引导，做到“点到即可”．如通过开放式的形式来回顾本章内容和知识要点，其他学生再相互进行补充说明和点评，教师总结．“在这一章节中你学了什么知识？”用这种引导式的点评引导学生自动梳理这一章节的知识；接着以问题“它们之间有怎样的关系？”这种点拨式的点评引导学生构建知识网络；“这个题目里的数涉及到了哪些数？这些数可以怎么划分？”用这种策略式的点评对学生解题的方法进行引导；“非常好，那应该怎样做呢？”用这样追问式的点评启发学生找到解题策略；“解决这个题目的原则是什么？化简什么？”引导学生的思维角度和方向，从而提升学生的数学学科素养．