新课标指引下小学低年级图象表征促进数学理解力探究

周冰娴

（苏州市劳动路实验小学校，江苏 苏州 215000）

“双减”政策，对于低年级教师来说是充满挑战的，一二年级不允许布置家庭书面作业，如何做才能“提质增效”成为教师们的难题。首先就要摒弃之前“刷题”制胜的方法，把课堂40 分钟有效利用起来。精讲例题，注重教学方法的讲解，从提高学生的理解力入手，减负增效提高教学质量。说起来容易做起来难，那到底怎么提高教学质量呢？教师可以借助图像表征让抽象的数学可视化，使学生理解数学的本质，在画图的过程中促进数学理解力的发展，从而达到抽象、推理、建模的过程。

一、定义

表征是认知心理学的概念之一，指信息或知识在心理活动中的表现和记载的方式，是外部事物在心理活动中的内部再现。为了交流研究数学概念，必须对数学的概念作出表征，表征是用某种形式表达数学概念或关系的行为，也指形式本身。

二、小学低年段图像表征的现状

在探索低年段图像表征现状时，笔者采用了调查问卷、访谈等方法，从学生、教师、教材分析，有以下几点现状。

（一）教学忽略本质

小学低年级的数学知识看似是简单的，有的孩子幼小衔接已经学过了一二年级的内容，导致现在的孩子们到了小学已经是“不教就会”的状态。教师发现学生已经会做题了，就不研究教学方式，更多的是把教学内容放在拓展提高上，让学生发展更高阶的思维。孰不知，这些看似简单的知识他们并非完全掌握，学生对知识理解只是浮于表面，对于其逻辑根据、思想方法和价值意义却不一定知晓。如，在一二年级的教学内容中，很多需要摆一摆、画一画的活动如果不让学生操作后思考，学生就缺少了活动经验的积累，对数学没有从本质上理解。

在2022 版课标中，明确提出要重视知识本质的教学。只有注重知识的本质才能让学生的思维走得更高、更远。因此，教师不能因为知识简单就忽略了本质的教学。

（二）画图意识淡薄

笔者对一年级两个班进行了前测，布置了一些需要用画图的策略解决的问题，发现个别学生已经有了一些用画图的方法解决问题的能力，这几个学生平时成绩都比较优秀，但大部分学生还没有用画图解决问题的意识，看到题目就不知道从何下手，就写下了一个错误答案，下面留白区域一片空白。后来笔者问这个学生：“这道题你是怎么想的？”他说：“我不知道怎么做，也就是他不知道可以用画图的策略解决。”还有个学生想到要画图解决问题，但是他画出来的和题中描述的条件完全不同。笔者认为用画图策略解决问题的能力需要教师有意识地进行培养，并随着教学进度设计一系列画图练习，才能让学生掌握把数学语言和图像表征互相转化的能力。

（三）思考模式受限

低年级学生的思维特点是以形象为主。而教材多以文字和数字编排，即使有情境图的支撑，也不足以在抽象的数学知识与学生的形象思维之间建立联系。比如，在低年级学习解决实际问题时，课本上都是几段话描述怎么想的，但是对学生来说还是过于抽象了。如果能在书本上有表示数量关系的线段图，更有利于学生理解数量关系，解决实际问题。而运用图像表征分析问题、解决问题、表达概念、表达个人思考、辅助数学学习，本质上就是把思维可视化。

图像表征，正是一个好的数学学习工具，在低年级学生擅长的形象思维与数学课本抽象的数学知识之间，建立起一座桥梁。

三、提效小学低段学生数学理解力的路径

基于现状，结合实践，笔者认为利用图像表征促进小学低段学生理解力的实施中可以采用以下策略：

（一）活用画图策略，促进教学并轨

1.画图，理清数量关系

在解决问题时，理清数量关系是关键步骤，用画图的方法理清数量关系是一个好方法。笔者以廓线图和线段图为例，除了这两种图，还可以用其他图表示数量关系。

（1）画廓线图

低年级的数量关系是解决问题的基础，其中一年级的数量关系以：部分数+部分数=总数，总数-部分数=部分数为主。那么怎么帮助学生理清这种数量关系呢？从上学期的一图四式，到后来的看图列式，最后看文字列算式，都是把总数分成了两个部分。

求总数就只要把两个部分的数合起来，要求其中的一部分只要用总数去掉另外一部分。都是用了这两个数量关系式。

在解决问题时难点是分析数量关系。如，一共领走44 袋牛奶，还剩20 袋，原来有多少袋牛奶？这是典型的求被减数的实际问题。很多小学生都会用减法来做。因为看到了“领走”“还剩”等词语，在他们印象里这都是和减法相关的词。但是如果把它画成廓线图就会发现，原来有的牛奶被分成了两个部分，一个部分是被领走的44 袋，还有一个部分是还剩的20 袋，要求原来有多少袋牛奶？其实是求一个总数，也就是要用加法解决。

如果学生学会画廓线图，只要把已知条件和问题找到，把它们填进去，就能很快分析出数量关系了。然而会用廓线图的小学生寥寥无几，于是笔者专门在课后增设了一次廓线图画法的教学，让学生先画出廓线，然后找到题中的条件和问题，再把条件问题填进廓线图中，在问题上标注问号。画好后让学生互相讨论自己是怎么画的。有的学生说，只要先找到总数的量，然后再找其他两个部分就好找了。课后笔者还让学生自己选择两道加减法解决问题并画出它的廓线图，巩固廓线图理解数量关系。

包括易错题中的常客“买东西”题也可以用廓线图理解。如，小红付了30 元，找回2 元，她买了什么？经过教学，学生对于“付出的钱”“找回的钱”“物品的价钱”这三者的数量关系很难理清，因为电子支付的普及，学生对人民币的认知少之又少，更没有买东西的经验，脱离了他们的生活。于是笔者根据一次买东西的实例，把这三者画成了廓线图，让他们知道，付出的钱是总数，被分成了两个部分，一个部分是找回的钱，另一个部分是物品的价钱。

经过这样的分析以后，学生就知道了要求物品的价钱就是求一个部分数，只要用付出的钱减找回的钱就行了。这个廓线图是最基本的数量关系建构模型，需要学生学会画，因此在指导学生做题时，把它对应的廓线图画在旁边，让他们练习画图的同时，理清数量关系。

（2）画线段图

虽然从三年级开始才接触用画线段图的策略解决实际问题，但是一二年级已经出现了可以用画线段图解决的问题了。在二年级上册学习“求比一个数多或少几的数”时，就出现了线段图，学生能找到已知条件和问题：杨树有39 棵，松树比杨树多16 棵，松树有多少棵？能通过观察线段图发现数量关系，杨树有39棵+比杨树多的16 棵=松树的数量。为了让学生掌握简单的线段图，笔者在课后编写一道类似的数学题，并画出它的线段图。有的学生以自己和同学的“智慧星”数量出题，也有学生以自己和父母的年龄出题。学生在画的时候因为是自己感兴趣的问题，所以积极性很高。

因此在二年级就让学生接触简单的线段图画法，这样到了三年级就不会出现断崖式教学了。画线段图的策略应该尽早让学生熟悉。一年级就出现的廓线图其实是线段图的前身，所以之前说的让学生会画廓线图也是为之后画线段图做准备的。廓线图——简单的线段图——线段图，这样铺垫一下教学效果更佳。

2.画图，理解数学概念

数学概念往往抽象难理解，比如认识时间，1 时=60 分，1 分=60 秒。为什么它们之间的进率是60？为什么1 天24 时。这些概念对二年级学生来说太难理解了。因为他们现在看到的都是电子钟，没有钟面，因此对于认识时间的学习他们没有生活经验。然后笔者想出了一个可以试着自己画钟面的方法。学生对“画钟”很感兴趣，他们用了各色彩笔画了1 到12 的数字，用红色表示1 大格，知道了一圈有12 大格。用绿色表示1 小格，知道了1 大格里有5 小格，1 圈里有60 小格，也就是1 时=60 分。用长长的纸条表示分针、短短的纸条表示时针，知道了分针长时针短。他们在“画钟”时，对时间的概念有了更深刻的理解。画好以后，还能拨一拨，对时间的概念掌握得更牢固。

再比如，怎么理解“余数比除数小”呢？在学习有余数的除法时，学生计算经常出现余数比除数大的情况。如：16÷4=3……4 这为什么是不对的呢？这是因为二年级学生以形象思维为主，对抽象概念的理解是困难的。因此在教学例题时，让学生画一画圈一圈，15÷4，把15 根小棒每4 根一份，可以圈出3 份多3 根，如果再多1 根小棒，16÷4，发现3 份多了4 根，4 根又可以圈出一份，这时候就是4 份。在圈画的过程中，学生理解了为什么16÷4=3……4 是不对的，也就是因为余数要比除数小，达到通过图像表征促进学生理解数学的抽象概念的目的。

3.画图，整理知识体系

学生的知识是不成整体的，碎片化的知识有容易被遗忘的特点。就像一根筷子容易被折断，而一捆筷子不容易被折断是一样的道理。数学知识是系统的一个整体，知识与知识是有联系的。笔者认为现在要做的是把他们的知识点串联起来，不能拘泥于知识本身的教学，要多关心知识的来源、类型差异、共同属性以及知识之间的组织结构。低年级学生的思维发展还在具体运算阶段，要让他们独立完成一张思维导图是比较困难的。在单元复习时，教师可以在课上进行思维导图生成，一边引导学生回忆知识，一边利用希沃白板的思维导图功能简单生成一个思维导图，或者直接在黑板上书写导图。如果每个单元都这样坚持下去，到了中年级，学生就能自己整理知识体系。运用思维导图有利于促进学生形成知识之间的组织结构，促进学生理解力的提高，让学生的思维变得更广阔。

（二）创设画图练习，贯穿数学理解

认识图形，图形虽然是形象的，但是学生的空间想象能力还没有发展到一定程度。这就需要教师不断地创设画图练习，加深对数学概念的理解。

1.巧画，重视教材习题

如三年级学的《认识周长》，一直是学生们的重灾区。经常听见教师对学生说“你们画图”，但是学生就是不画。为什么会这样呢？还是追根溯源到一二年级的认识图形，是不是也存在断崖式教学呢？从一年级下认识长方形、正方形开始就要求学生在方格图上画图形了。但是在课本上并没有重视画法，只是让学生认图形数图形。到了二年级上开始画线段和在点子图里画平行四边形，认识了“七巧板”并运用七巧板拼出不同的图形。

2.常画，积累画图经验

只要功夫深，铁杵磨成针。只有不断地练习，才能让学生获得画图这一能力。要把数学语言表征转化成图像表征是需要建立在理解的基础上的，需要教师在平时就让学生画一画，这样学生才能真正地理解。教师在抱怨学生没有按照教师规定的要求做之前，是不是要反省一下，有没有把方法教给他们呢？经过画图练习，才能让图像表征促进学生理解力的发展。

（三）设计特色作业，提升学习内驱

为了给学生创造一个多元的评价平台，教师可以把图像表征和特色作业结合起来，既能提高学生学习数学的兴趣，又能在图像表征中促进学生的理解力，一石二鸟何乐不为呢？

1.平时作业：数字开花

本学期是特殊的，因为疫情，学生有两个月时间在家里线上学习。因此，学习《认识100 以内的数》时，笔者很担心能不能把数的组成学好，又担心学生会不会因为在家没有学习氛围所以没有学习动力。于是笔者设计了《数字开花》这个作业，先画一朵花，在花蕊中写上自己喜欢的数字，然后在花瓣上可以写上这个数字的组成，或者一句话。比如，47,4 个十和7 个一合起来是47，或者画上47 的计数器图，或者写上比46 大，比48小的数，或者个位上是7，十位比个位小3 的数等。只要写上一句是这个数字的话就可以了。让画和数相结合，能让学生更好地理解数的组成，也提高了学习兴趣。

这份作业是比较容易完成的，可以利用双休日完成，不占用太多时间，也让孩子体会到画数学的乐趣。

2.假期作业：快乐的一天

学生对时间的概念是模糊的，在寒假里让学生将钟面的绘制与一天的生活结合起来，为自己的一天画一张图。学生通过观察钟面时针、分针的变化，无形中对时间有了更深刻的理解。因为要画一天中的时间，让学生对时间产生了浓厚的兴趣，既锻炼了学生的观察能力，同时也锻炼了学生的画图能力。下次再遇到钟面马上能联想到这次作业。

这份作业可以在假期里完成，假期相对而言时间较多，可以利用假期让学生巩固学期中学习比较困难的内容。

四、结语

学生在解决实际问题时常常找不到数量关系，其实只要通过画线段图这些问题就迎刃而解了。学生在认识图形时常常不能理解其概念，其实只要常画、巧画，定能帮助学生进一步理解图形的概念。数学理解力和图像表征是互相促进的关系，只有理解了数学概念才能把它转化成图像表征，相反通过图像表征的方式才能促进学生理解数学概念，实现表征之间的转化和建立表征之间的联系。通过图像表征促进低年级学生的理解力，是当前“双减”背景下提质增效不可或缺的关键。