一类广义不稳定时空分数阶薛定谔方程的近似解

2023-01-16洪宝剑

安徽大学学报（自然科学版） 2023年1期

洪宝剑

(南京工程学院数理学院，江苏南京 211167)

众所周知，许多自然科学和工程问题都可以归结为非线性方程的求解，尤其是分数阶方程几乎应用于社会生活的每一个领域.因此，研究非线性方程的解就成了国内外学者需要关注的首要问题.迄今为止，人们提出了寻求非线性方程精确解及近似解的各种方法，如贝克隆变换法、约束方程法、同伦分析法、Adomian展开法、变分迭代法等[1-7].近年来，Laplace变换法被广泛应用于各类非线性系统的求解[8-10].论文将借助Adomian多项式和同伦摄动的理论，将Laplace变换法应用于一类广义分数阶薛定谔方程，得到较好的结果.

考虑下列广义不稳定时空分数阶薛定谔方程

(1)

其中：u=u(x,t),a,γ为非零常数，v(x)为实函数.

1 几个定义

为了方便后面计算，关于分数阶导数和Laplace变换，给出几个定义[7,23].

定义1一个实函数f(t)，当μ∈,t>0时，若存在实数p>μ，使得f(t)=tpf1(t)，其中：f1(t)∈C[0,∞)，则称f(t)∈Cμ，若f(n)(t)∈Cμ,n∈，则称

定义2函数u(x,t)关于t的Caputo分数阶导数定义为[13,18,23]

(2)

Caputo分数阶导数具有下列性质

DαC=0,C为常数,

Dαf[u(x)]=fuu(α)(x).

(3)

2 近似解的推导

关于Laplace变换迭代法的具体步骤可参阅文献[8-10,24-27]，对(1)进行简单变换得

(4)

(5)

(6)

对(6)两边作Laplace逆变换

(7)

构造同伦方程

(8)

显然当p:0→1时，u:u0→u，若令

(9)

则(1)的精确解为

(10)

比较p的同次幂，构造迭代式

(11)

其中：An是(8)中非线性项N(u)=|u2r|u通过Adomian多项式线性化后的第n项[4,13,21].

(12)

(13)

当r≠1时，若u为实函数，则按牛顿二项公式展开，若为复函数，则按三角形式展开，均可得到An.再由(10),(11)式就可以得到方程(1)的各级近似解或精确解，下面讨论(1).

情形1当r=1,v(x)=-cos2x,u0=sinx时，有

(14)

由(11),(13)式，有

u0=sinx.

(15)

(16)

[a2sin(x+2πβ)+4a(2γ+1)sin2xsin(x+πβ)-2asin(x+πβ)+

(17)

…

(18)

方程(14)的一个n级近似解为

(19)

(20)

情形2当v(x)=2λ,u0=eix时，有

(21)

构造迭代式

(22)

有

u0=eix.

(23)

(24)

(25)

(26)

…

(27)

方程(21)的一个n级近似解为

(28)

所以方程(21)的一个精确解为

(29)

注2当γ=a,r=1,λ=0时，u1,u2,u3与文献[23]中的结果一致.当γ=1,λ=0时，Un表达式比文献[13]中的结果(3.18)标准.当γ=a=0.5,r=1,λ=0时,(29)式转化为文献[28]中的(49)式.

情形3当v(x)=k(1-x2),u0=x2时，有

(30)

接下来尝试对迭代式的构成方式进行修正.考虑到u(x,t)=φ(x,t)eiψ(x,t),|u(x,t)|=|φ(x,t)|，利用文献[23]中的修正思想，构造迭代式

(31)

有

u0=x2.

(32)

(33)

k2x2-2k2x4+k2x6]，

(34)

4γk2x4r+2+8γk(γ-k)x4r+4-4γk(2γ-k)x4r+6+4γ2kx8r+2+

4γ2(2γ-k)x8r+4+k2(2γ-k)x8-k2(4γ-3k)x6+k2(2γ-3k)x4+k3x2].

(35)

…

方程(30)的近似解为

Un=u0+u1+u2+u3+….

3 数值分析

借助Mathematica软件，表1，2和图1，2分别对方程(1)的n级近似解(28)式和精确解(29)式进行对比和数值模拟，分别讨论当α=1,β=1,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0时的整数阶方程情形和当α=0.5,β=0.8,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0时的分数阶方程情形.图3，4对方程(30)当a=k=r=1,γ=0.5时，在α,β不同参数取值的近似解的实部和虚部进行了模拟.