赏析同时具有max和min符号的不等式问题*

2023-01-16北京市第一0一中学怀柔分校101407李加军

中学数学研究(江西) 2023年2期

关键词：反证法实数结论

北京市第一0一中学怀柔分校 (101407) 李加军

在一些数学竞赛的不等式证明中，常常会在条件或结论中同时出现最大值max和最小值min符号，使得学生心理产生畏惧感.下面结合具体实例分析解决这类问题常用的数学方法和策略.

一、构造法

根据所给条件，构造相应的函数，利用函数的性质进行分析，从而得出结论.

例1 (2016美国数学奥林匹克竞赛试题)已知a,b,c∈R+，且max(a,b,c)≤4min(a,b,c)，证明或者否定2ab+2bc+2ca≥a2+b2+c2.

解：结论是肯定的.证明如下：不妨设a≥b≥c>0，则c≤b≤a≤4c.令f(a,b,c)=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca，让上式中b,c固定，a变化，视作a的二次函数，记为g(a)=a2-2(b+c)a+b2+c2-2bc，其对称轴为a=b+c，由于a∈[c,4c]，所以gmax(a)=max{g(c),g(4c)}，又g(c)=c2-2(b+c)c+b2+c2-2bc=b(b-4c)≤0，g(4c)=16c2-6(b+c)c+b2+c2-2bc=(9c-b)(c-b)≤0，所以f(a,b,c)=g(a)≤0，即a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca≤0，所以2ab+2bc+2ca≥a2+b2+c2.

例2 (第48届IMO试题)给定实数a1,a2,…,an，对每个i(1≤i≤n)，定义：di=max{aj|1≤j≤i}-min{aj|i≤j≤n}，并令d=max{di|1≤i≤n}.

(1)证明：对任意实数x1,x2,…,xn，有

(2)证明：存在实数x1,x2,…,xn，使得式①中的等号成立.

二、反证法

提出与结论相反的假设，利用已知条件与假设进行推理，得出矛盾.

(2)若∃k∈N+,1≤k≤n，使得xkm.

例5 (2008北大自招试题)已知a1+a2+a3=b1+b2+b3，a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，且min(a1,a2,a3)≤min(b1,b2,b3)，求证：max(a1,a2,a3)≤max(b1,b2,b3).

证明：不妨设a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3，则a3≤b3，下证：a1≤b1.

用反证法.若a1>b1，则构造两个函数：f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3)，g(x)=(x-b1)(x-b2)(x-b3)，由已知条件a1+a2+a3=b1+b2+b3，a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，得f(x)=g(x)+b1b2b3-a1a2a3.

一方面，f(a1)=g(a1)+b1b2b3-a1a2a3=0，f(a3)=g(a3)+b1b2b3-a1a2a3=0，故g(a1)=g(a3)，另一方面，g(a3)=(a3-b1)(a3-b2)(a3-b3)，a3-b3≤0，a3-b2≤0，a3-b1≤0，故g(a3)≤0，g(a1)=(a1-b1)(a1-b2)(a1-b3)，a1-b1>0，a1-b2>0，a1-b3>0，故g(a1)>0，这与g(a1)=g(a3)矛盾.因此a1≤b1，即max(a1,a2,a3)≤max(b1,b2,b3).