关注错误资源，还原生态课堂——一道函数零点习题的纠错教学

宁夏彭阳县第三中学 (756599) 韩连嵩

建构主义认为，学习就是学生认知结构变化的过程，是学生主动建构的过程，学生在已有认知结构的基础上，经过认知冲突、同伴讨论、思考辨析的学习才是真实的学习.因此，课堂教学中教师要善于关注错误资源，还原生本课堂，要留给学生足够的思考辨析时间和充分探讨的空间，使他们在知错、议错、纠错中达到触类旁通，促进深度学习.

一、探究的缘由：殊途不同归

题目(2021年贵州适应性测试)已知函数f(x)=x+1-xex.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)判断f(x)是否有零点，若有，求出零点的个数；若没有，请说明理由.

这是笔者复习函数零点时，从复习材料中选取的一道习题，对于第⑴小题学生都能轻松的解决，得到的切线方程为y=1，过程略.但对第⑵小题，学生经过尝试给出了如下的解法：

图1

学生甲提出了疑义，学生乙又说参考答案也是这样解的，全班同学哗然，不知所措，笔者也被这节外生枝的举动，迎头一棒，心想难道是题目错误还是参考答案错误，但静下心来仔细琢磨，终于发现了问题的症结，那就是学生对研究函数问题定义域优先的原则理解不透彻.何不借此机会将问题抛给学生，让学生进行交流探究呢？于是，笔者改变了原有的教学预设，把课堂还给学生，让位于学生，不曾想却得到了满意的收获.

二、课堂探究：百花齐争艳

1.议错纠错，不甘示弱

师：大家对学生甲的解答(参考答案的解答)有什么看法？

(问题抛出后，同学们讨论很激烈，原生态的课堂气氛非常浓厚，有部分同学认为甲的解答过程思路是正确的，也有部分同学认为甲的解答过程有问题，但一时看不出错在什么地方？当学生思维受阻时，教师适时诱导，启发学生观察思考)

追问：你能否借助于图来检验甲同学解法思路的正确性？

师：很好.生1通过观察，利用函数零点存在性判定定理检验了甲同学的解答有问题，还有其它意见吗？

图2

(同学们对生1、生2的方法表示赞同，平时细心的生突然举手示意)

生3：生2画出的图象不够准确规范，画函数图象应该考虑区间端点处函数值的变化趋势.当x→-∞时，g(x)→-1，画出函数g(x)的图象应该是图3所示.

图3

(同学们表现都很积极，能从不同的角度发现甲同学解答出现的纰漏，特别是生3给我们指出画函数图象时，要考虑周全，关注一些间断点和区间端点处函数值的变化趋势，才能画出准确规范的图象,助于问题的分析与解决)

师：通过大家的交流讨论，认为甲同学的解答(参考答案)有纰漏，那么你能指出指出其中的问题并进行修正吗？

(问题抛出后，同学们争先恐后，抢着举手示意，课堂气氛格外活跃)

师：解决函数问题时，我们常常用导数来研究函数的性质，定义域优先是我们首先要考虑的.图象的直观性可以帮助我们分析思考问题，画函数图象时，一定要关注间断点，弄清定义区间端点处函数值的变化趋势，画出比较准确规范的图象.

2.解法探究，百花齐放

师：上面的解法都是将函数f(x)的零点问题等价转化为方程f(x)=0的根的问题，然后给方程两边同除以x后构造函数来解决的，那么，能否不用除以x，直接从函数的解析式入手解决问题呢？请大家思考尝试.

(问题抛出后，同学们思考交流、尝试探讨，稍等片刻，便有同学登台亮相，相继展示其解法)

生4：f′(x)=1-(x+1)ex，设g(x)=f′(x)，于是g′(x)=-(x+2)ex，令g′(x)=0得x=-2.当x∈(-∞,-2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(-2,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)在x=-2处有极大值，且极大值g(-2)=1+e-2>0.又当x→-∞时，g(x)→1，且g(0)=0.因此当x∈(-∞,0)时，g(x)=f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(0,+∞)时，g(x)=f′(x)<0，函数f(x)单调递减，且当x→-∞时，f(x)→-∞，f(0)=1，当x→+∞，f(x)→-∞.所以函数f(x)有两个零点.

生5：函数f(x)的零点⟺f(x)=0⟺xex-x=1⟺g(x)=xex-x与h(x)=1图象交点.研究函数g(x)的性质同生4，其图象如图4所示，由图象可知，函数f(x)有两个零点.

图4

生6：函数f(x)的零点⟺方程xex=x+1的根⟺函数g(x)=xex与h(x)=x+1图象的交点.因g′(x)=(x+1)ex，令g′(x)=0得x=-1.当x∈(-∞,-1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(-1,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，且极小值f(-1)=-e-1<0，当x→-∞时，g(x)→0，在同一坐标系中画函数g(x)与h(x)的图象，如图5所示.由图象可知，函数f(x)有两个零点.

图5

师：大家思维敏捷、建言献策，真可谓百花争艳满堂香.本题开始的解法和生6的解法可以说是简洁明了，但老师心中有个疑点：这种解法是否具有普适性？请大家用这种方法来研究下面问题.

(大家表示赞同)

师：很棒！你帮老师解决了心中的疑点，同时也提醒大家在研究函数零点问题时，转化成两图象交点的策略要因题而论.

3.变式探究，思维升华

师：请同学们继续研究下面的问题.

问题1 讨论函数f(x)=ax+1-xex的零点个数.

(学生练习，教师巡回指导，约3分钟，绝大部分学生都已正确的完成解答，指派代表展示)

图6

①当a≤0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，则函数h(x)不可能由两个不同的零点；

师：两位同学给大家分别展示了参数分离法和分类讨论法的解题策略，思路清晰、方法得当.参数分离法和分类讨论法是求解含参数零点问题的主要方法，希望同学们在平时的学习中加以理解和体会.

三、教学感悟

1.数学教学要重视学生基础性知识

重视基础知识教学，是纠错教学的前提.学生对基础知识理解不到位，会导致思维方法不正确，造成解题失误，甚至会出现错误.只有夯实基础知识、理解基本概念、掌握基本方法，才能降低失误，克服“懂而不会”，“ 会而出错”的现象.数学教学中，教师应该重视学生基础性知识，帮助学生分析基本概念的形成原理，通过长期的基础性知识教学，就有可能使学生少出错误或不出错误.

2.还原生态课堂，重视学生提出的问题

传统的数学课堂教学教师讲授多、学生体验少、缺乏课堂生机，不把时间还给学生，生怕完成不了课堂任务；不愿意把思考的机会让给学生，担心学生的思维出“差错”，追问出“岔道”，影响原本预设好的教学轨迹，殊不知学生提出的问题比教师提出的问题更具有针对性，只有学生提出的问题才是学生学习的原发动力；把时间还给学生，把机会让给学生，因为教学的根本目的是发展学生.教师要领悟新课改精神，处处为学生着想，让位于学生，让学生成为课堂的真正主人，还原生态课堂.只有这样，教学才能“放马于原野之中，牵其于晚霞之时”的潇洒境界，演绎出精彩课堂.

3.善待错误资源，重视纠错教学

教学的重要任务之一就是释疑解惑.学生所犯的错误往往都是我们课堂教学的缺失，教师要善待错误.学生的错误资源是纠错教学的一手材料，学生有失误甚至犯错误，就说明他们有疑问、有困惑.疑问不解，困惑不除，不管教师如何引导他们学习正确的方法思路，学生终究还会出错.课堂教学中只要教师利用好这些错误资源，帮助他们分析错误缘由，形成知识整体观的认知，促进深度理解，才能把他们引入到正确的思路上，合理的方法上来，给学生留下深刻的印象，才能避免以后不会出现类似的错误或失误.