类光曲线的类空达布侣线

钱金花，孙铭雨，殷 沛，田雪倩

(东北大学理学院，辽宁 沈阳 110819)

在三维Minkowski空间中，贝特朗曲线和曼哈姆曲线作为特殊的伴随曲线已有大量研究成果[1-3].本文在此基础上，定义类光达布曲线及其达布侣线，这里仅讨论达布侣线为类空曲线时，伴随曲线对的几何性质，并给出它们的具体表达形式.

1 预备知识

其中：〈N，N〉=〈T，B〉=1，〈T，T〉=〈B，B〉=〈T，N〉=〈B，N〉=0.T，N，B分别称为曲线r(s)的切向量、主法向量和副法向量，κ(s)称为曲线r(s)的曲率函数.

(1)若r(s)为第一类类空曲线或第二类类空曲线，则满足Frenet公式

其中：〈T，T〉=1，〈N，N〉=ε，〈B，B〉=-ε，〈T，N〉=〈N，B〉=〈T，B〉=0.当ε=1时，r(s)为第一类类空曲线；当ε=-1时，r(s)为第二类类空曲线.

(2)若r(s)为零型类空曲线，则满足Frenet公式：

其中：〈T，T〉=〈N，B〉=1，〈N，N〉=〈B，B〉=〈T，N〉=〈T，B〉=0.T，N，B分别称为曲线r(s)的切向量、主法向量和副法向量，κ(s)和τ(s)分别称为曲线r(s)的曲率和挠率.

在空间曲线论中，当曲线r(s)做即时螺旋运动时，存在一个向量D(s)为旋转轴，称其为曲线r(s)的达布向量，其满足如下的达布方程：

注1 给出三维Minkowski空间中各类空间曲线r(s)的达布向量场：

(1)当r(s)为类光曲线时，D(s)=-κ(s)T(s)-B(s)；

(2)当r(s)为第一类类空曲线时，D(s)=-τ(s)T(s)+κ(s)B(s)；

(3)当r(s)为第二类类空曲线时，D(s)=τ(s)T(s)-κ(s)B(s)；

(4)当r(s)为零型类空曲线时，D(s)=κ(s)T(s)-N(s)；

(5)当r(s)为类时曲线时，D(s)=τ(s)T(s)+κ(s)B(s).

2 主要结论

(1)

在(1)式两端对s求导，可得

(2)

对(2)式两边分别与其自身做内积，并化简可得

(3)

把(3)式代入(2)式，可得

(4)

2.1 类光曲线的第一类类空达布侣线

(5)

对(5)式两边分别与其自身做内积，得

(6)

对(4)和(5)式两边做内积，有

(7)

把(7)式代入(6)式，可得

(8)

把(4)、(7)和(8)式代入(5)式，可得

(9)

对(4)和(9)式两边做外积，得

(10)

在(10)式两边对s求导，可得

(11)

(12)

因此，λ(s)=as+b，a≠0，b∈.通过适当的平移变换，可令b=0，则κ(s)=c/s+(2a+1)/(2a2)，c∈.且(7)和(8)式可化简为进一步地，和r(s)之间标架的关系可以表示为

根据上述讨论过程，可得如下结论：

定理1 类光达布曲线与它的第一类类空达布侣线之间的距离函数是关于s的线性函数，即

λ(s)=as+b，a≠0，b∈.

定理2 设r(s)是具有第一类类空达布侣线的类光达布曲线，那么它的类光曲率为

其中：0≠a=λ′(s)；c∈；ε3=±1.

其中：0≠a=λ′(s)；ε0，ε3=±1.

定理5 设r(s)是具有第一类类空达布侣线的类光达布曲线，则它可以表示为

其中：Z1(s)是柱函数，J1(s)是第一类Bessel函数，Y1(s)是第二类Bessel函数.

证明根据定理2，类光达布曲线r(s)的类光曲率κ(s)可以表示为κ(s)=c/s+(2a+1)/(2a2)，根据引理1，通过做适当的平移变换，r(s)满足如下微分方程s2r(4)-2csr″+cr′=0.解上述微分方程，可得

其中：Z1(s)是柱函数，J1(s)是第一类Bessel函数，Y1(s)是第二类Bessel函数[10].

其中：0≠a=λ′(s)；c∈；

证明根据定理5给出的类光达布曲线r(s)表达式，通过直接计算，达布向量D(s)可以表示为

D(s)=C1(2uu″+2u′2-2cu2/s)+C2(2u′v′+u″v+uv″-2cuv/s)+C3(2vv″+2v′2-2cv2/s).

根据定理1和注2，计算并化简可得结论.

2.2 类光曲线的第二类类空达布侣线

(13)

对(13)式两边分别与其自身做内积，得

(14)

对(4)和(13)式两边分别做内积，有

(15)

定理6 类光达布曲线的达布侣线不能是第二类类空曲线.

2.3 类光曲线的零型类空达布侣线

(16)

对(16)式两边分别与其自身做内积，得

(17)

对(4)和(16)式两边做内积，有

(18)

把(17)式代入(18)式，可得1-λκ′=0，则(4)式可化简为

(19)

在(19)式两边对s求导，可得

(20)

对(20)式两边做内积，得κ′=0.因此，根据1-λκ′=0，得0=1，显然矛盾.

定理7 类光达布曲线的达布侣线不能是零型类空曲线.

注3 类光达布曲线的类时达布侣线与第一类类空达布侣线有相似的结论，本文不予详细讨论.

3 结语

本文在三维Minkowski空间中定义了类光达布曲线并得到了类光曲线及其类空达布侣线的性质和具体表达式.这为今后在Minkowski空间开展更深层次达布曲线的研究提供了很好的思路和方法.