分数阶不确定复杂网络系统的自适应比例积分滑模同步

孟晓玲

(郑州航空工业管理学院 数学学院，河南 郑州 450046)

复杂网络在现实生活中随处可见[1-4]，如社会关系网、商业网、互联网、食物网等。许多重要学科的发展都是在研究这些复杂网络的基础上产生的，并在一定程度上改变了人类生活的方式。因此，对复杂网络的同步研究引起了众多学者的关注[5-8]。作为整数阶系统的补充，分数阶网络有没有这些好的性态，需要我们进一步深入探讨。 文献[9]利用自适应控制策略研究了具有复杂动态的分数阶网络同步；基于网络结构，文献[10]给出了带有未知系统参数的分数阶网络的一致性问题；文献[11]在驱动—响应的理论基础上给出了动态网络分数阶系统的自适应同步。 但由于复杂网络本身的特点,以及分数阶微分系统稳定性理论的不成熟性,还有很多未知的结论需要继续探索。本文在分数阶稳定性理论及矩阵理论的基础上，实现了该系统的自适应比例积分滑模同步，并用数值模拟说明了结论的合理性。

1 预备知识

定义1[12]连续函数x(t)的Caputo分数阶导数定义为

引理1[13]若x(t)为连续可微的向量函数，则有

引理2[14]假设x(t)=0是分数阶系统Dtαx(t)=f(t,x(t))的平衡点，若存在分数阶Lyapunon函数V(t,x(t))与K类函数γi(i=1,2,3)满足：

(1)γ1(‖x‖)≤V(t,x(t))≤γ2(‖x‖);

其中α∈(0,1)，则该分数阶系统是渐近稳定的。

2 主要结果

考虑节点为N个的复杂网络系统(1)：

(1)

以系统(1)为驱动系统，构造响应系统：

(2)

其中Δfi(y(t))为不确定项，di(t)为外扰动，ui(t)为控制器。定义误差ei(t)=yi(t)-xi(t),

(3)

选取终端滑模面：

(4)

其中λi>0(i=1,2,……,N),sgn(ei(t))=diag{sgn(ei1(t),sgn(ei2(t)),...,sgn(eiN(t)},

|ei(t)|=(|ei1(t)|,……,|eiN(t)|)T。

假设2 ‖Δfi(y(t))‖≤mi,‖di(t)‖≤ni其中Δfi(y(t))为不确定项，di(t)为外扰动，mi,ni为大于零的未知常数。

定理在假设1,2下，设计控制律为

(5)

自适应控制律为

(6)

(7)

由引理1得

(8)

这里

将上式代入(8)式，则有

由假设1和引理2知，系统(7)是渐稳的，即ei(t)→0，则在滑模面上，系统(1)与(2)是同步的。

将(5)式代入上式得

由引理3得，si→0⟹ei(t)→0,则系统(1)与(2)是自适应比例积分滑模同步的。

3 数值仿真

以3个节点的二阶网络系统为例进行数值仿真。

q=0.928,i=1,2,3。

定理中选取终端滑模面如下：

设计控制器、自适应控制律如下：

Δf1(φ(t))+d1(t)=-0.1cos(t)ω1+0.1cost,Δf2(φ(t))+d2(t)=0.1sin(t)z1+0.1cost，

Δf3(φ(t))+d3(t)=0.1sin(t)z1+0.1cost，

从图1中曲线变化可以看出，刚开始系统误差较大，但随着时间的变化，系统误差逐渐变小最终趋近于0，显然，系统达到同步了。

图1 定理的误差曲线

4 结 语

对数值模拟进行调试，由最终得到的图1可看出，随着时间的推移，在选取合理的控制器、控制律下，系统在一定时间内达到了同步，可见文中设计的控制器及未知参数是有效可行的。

因此，在分数阶稳定性理论的基础上，成功地设计了一种带积分的分数阶滑模面，实现了该系统的自适应比例积分滑模同步。