基于动态元件离散化的柔性直流电网故障电流计算方法

刘晓悦， 项心茹， 康健， 张怡

(华北理工大学电气工程学院， 唐山 063200)

多端柔性直流电网具有良好的供电可靠性，可以适应新能源发电的间歇性并且易于扩建，具有广阔的发展前景[1-3]。基于半桥子模块的模块化多电平换流器(modular multilevel converter, MMC)具有谐波含量低、便于能量双向流动和开关损耗小等优点，被广泛应用于多端柔性直流电网中[4]。因为与电缆输电相比架空输电成本低，大容量、远距离的多端柔性直流电网大多采用架空输电，其缺点是容易发生单极接地故障和双极短路故障[5-6]。柔性直流电网“低惯量，弱阻尼”的特性，导致系统韧性强度不足[7]，当直流侧发生故障时，MMC子模块电容迅速向故障点放电，故障电流几乎呈斜线上升，在故障后几毫秒内故障电流的稳态值可以达到数十千安，超过换流器和断路器的耐受能力，对电网的安全运行造成严重的威胁[8-9]。故障电流计算对柔性直流电网设计与规划、故障类型判断具有重要意义。

文献[10-11]对双端柔性直流系统的故障电流特性进行了分析，文献[10]提出了一种考虑控制方式影响的单极接地故障电流计算方法，通过引入控制环节，提高了计算的精确程度；文献[11]主要对发生双极短路故障时电容放电特性进行了分析，提出了一种改进的电流计算分析方法，上述文献都是针对双端系统的某一种故障情况进行了分析，所提方法的通用性有待进一步研究。文献[12-14]通过基尔霍夫定律列写微分矩阵方程求得故障电流，提出了一种通用的故障电流计算方法，但是微分方程降阶求解具有一定困难。文献[15]综合考虑了交流侧、远端换流站和正负极线路间耦合作用对直流侧故障电流的影响，提出了一种基于架空线路等效模型的故障电流复频域计算方法，但是求解过程中拉氏逆变换较为复杂。文献[16-17]通过忽略远端换流站的影响对环形网络进行了开环处理，降低了故障电流求解难度，但是开环处理导致计算误差较大。文献[18]首先对单极接地故障等效电路进行简化，然后根据阻抗高频特性将RLC电路简化为由纯电感和电源组成的电路，降低了拉氏逆变换求时域解的难度。文献[19-20]通过离散方法对电网进行离散化处理，在此基础上采用数值计算方法对故障电流进行求解，其中文献[19]忽略了金属回线和接地极的影响，文献[20]没有考虑金属回线电感初始电流对伴随网络的影响，并且都没有对多端柔性直流电网进行合理的简化。由于多端柔性直流电网含有大量的动态元件并且随着网络规模的扩大，在时域建立微分方程组进行故障电流求解和在复频域求解后通过拉氏逆变换得到故障电流时域解变得更加困难。

针对多端柔性直流电网故障电流计算存在的上述问题，现以张北柔性直流工程(以下简称“张北工程”)为研究对象，基于电路理论和数值积分基本原理，针对合理简化后的电网等效电路提出一种基于动态元件离散化的故障电流数值计算方法，所提方法避免了复杂的微分方程降阶求解和拉氏逆变换问题，降低了故障电流求解难度，并通过将所提方法的计算结果和在软件PSCAD/EMTDC中搭建的张北工程仿真模型的仿真结果进行比较，验证所提方法的可行性和通用性。

1 MMC与柔性直流电网等效电路

1.1 MMC等效电路

MMC具有开关频率低、输出电能质量高、损耗低和可以灵活控制等优良性能，已经成为柔性直流电网发展的主流方向[11]。双极MMC的拓扑结构如图1所示，负极与正极完全对称。单个子模块(sub-module,SM)由2个IGBT(insulated gate bipolar transistor)(T1，T2)、2个反并联二极管(D1、D2)和1个电容组成，N个完全相同的子模块和1个桥臂电抗器串联组成MMC的1个桥臂；2个桥臂串联构成一相，三相并联构成MMC。通过对MMC进行均压控制可以得到子模块的3种状态：投入、切除和闭锁。

MMC成本高，承受故障电流冲击能力差，快速切除故障可以保护MMC不受故障电流的损坏，国家电网规定在故障后6 ms内线路保护和直流断路器应快速识别和隔离故障线路[8]，此时段内MMC仍未发生闭锁，投入和旁路的子模块数目保持不变，故障特性几乎不受子模块拓扑结构的影响，MMC闭锁前的等效电路如图2所示，等效参数为

(1)

式(1)中：Rcon、Lcon、Ccon为闭锁前MMC等效模型所对应的等效电阻、电感和电容的取值。

图1 双极MMC拓扑结构Fig.1 Topological structure of bipolar MMC

Rarm为单个桥臂的开关导通电阻和桥臂电抗器电阻之和； Larm为单个桥臂的桥臂电抗器大小；Ceq为单个桥臂的等效电容图2 MMC闭锁前等效电路Fig.2 MMC equivalent circuit before lockout

由于子模块电容受均压策略控制，所以在计算等效电容时不应根据简单的串联关系推导，应根据电容储能等效原则，即

(2)

由式(2)得到

(3)

式中：Csm为单个子模块电容值；Usm为单个子模块电容电压；N为单个桥臂子模块数目；Ceq为单相等效电容。

1.2 柔性直流电网等效电路

张北工程结构如图3所示，通过分析故障后直流侧能量来源占比得出MMC闭锁前子模块电容放电是导致故障电流急剧上升的主要原因，交流侧馈入电流变化不大，几乎可以忽略不计[21]。该工程为对称真双极结构，采用基于半桥子模块的MMC和直流断路器组网的方案，架空输电线路为正负极线和金属回线同塔架设[22]，正、负极线和中性线分别配置了150 mH和300 mH的电抗器用来抑制故障电流上升速度。4个换流站组成环网，康保站和张北站为送端换流站，额定容量分别为1 500、3 000 MW，丰宁站为调节换流站，额定容量为 1 500 MW，北京站为受端换流站，额定容量为 3 000 MW，系统额定电压±500 kV，接地点设置在丰宁站，采用换流站中性点经电阻和电感接地方式。

MMCp、MMCn分别为换流站的正、负极图3 张北柔性直流电网结构图Fig.3 Structure diagram of Zhangbei VSC-HVDC grid

2 故障电路简化

2.1 单极接地故障电路简化

以张北和北京站间的正极输电线发生单极接地故障为例，等效电路如图4所示，图4中康宝、丰宁、张北、北京4个换流站的正极出口节点依次标号为1～4，负极出口节点依次标号为5～8，0为故障节点，NK-NB为中性节点，Lfk-Lzb为金属回线层等效电感，Rgd和Lgd分别表示接地电阻和电感，线路电流名称及参考方向如图4所示，流经换流站电流为icn(n为换流站出口节点标号，n=1～8)。根据基尔霍夫电流定律，可以得到电流关系为

图4 单极接地故障等效电路Fig.4 Equivalent circuit of unipolar ground fault

(4)

(5)

由式(4)简化可得

ic3+ic4+ic2+ic1=i30+i40

(6)

由式(5)简化可得

ic7+ic8+ic6+ic5=0

(7)

式(6)和式(7)说明，故障电流完全由故障极换流器提供，健全极换流器产生电流和为零，不参与对故障点的放电，健全极电流流经金属回线时只会对故障电流产生极小的扰动，因此可以将健全极换流器在中性点处做开路处理。

由于金属回线不安装电抗器且自身电阻和电感较小，因此可以忽略金属回线间的耦合作用，将金属回线按串并联关系等效为各中性点对接地点的点对点金属线支路[16]，由阻抗高频特性得到流经金属回线的电流变化主要取决于电感，可以忽略电阻的影响[18]，等效电感的计算公式为

(8)

式(8)中：L′kf、L′zf、L′bf为等效为点对点金属线支路后各换流器出口节点到接地点的等效电感；//表示并联。

发生单极接地故障时，故障电流均经过接地点形成回路，借鉴转移阻抗的求取方法，假设流经换流站1的电流I1为单位电流，将等效电路简化为各MMC支路向各接地点辐射的网络。

(9)

(10)

从而得到转移阻抗为

Znf=Z′n+knZgd

(11)

(12)

式中：Z′n为换流站n的等效阻抗与点对点金属支路等效电感之和；Uf为接地阻抗上电压;Zgd为接地阻抗；Znf为换流站n对应的转移阻抗。

通过对金属回线的电感以及接地阻抗的处理，图4所示的单极接地故障等效电路简化为图5所示的单极接地故障简化等效电路。

图5 单极接地故障简化等效电路Fig.5 Simplified equivalent circuit of unipolar ground fault

2.2 双极短路故障电路简化

以张北和北京换流站间的输电线发生双极短路故障为例，当发生双极短路故障时，金属回线不在放电回路中，没有电流流过[23]，可以将金属回线层从故障网络中做开路处理，得到如图6所示的双极短路故障简化等效电路。

图6 双极短路故障简化等效电路Fig.6 Simplified equivalent circuit for bipolar short circuit fault

3 动态元件离散化处理

动态元件离散化处理是将暂态时间离散成若干个时间间隔h(h为离散步长)，在每个离散步长内，将动态元件等效为电导与电流源并联的诺顿等效电路或电阻与电压源串联的戴维南等效电路，从而将暂态电路转化为不同离散时刻的稳态电路。电路离散化处理方法通常有两种：后向欧拉法和梯形积分法，后向欧拉法每个仿真步长只需要进行一次电压增量计算，具有绝对稳定性、计算效率高[24]，所以本文采用后向欧拉法对动态元件进行离散化处理。

3.1 电容离散化处理

采用后向欧拉法对电容进行离散化处理，可以得到电容的离散模型，取t时刻电容两端的电压uc(t)与流经的电流ic(t)为关联参考方向可以得到

(13)

式(13)中：C为电容大小。在一个离散步长h内进行积分：

ic,n+1=Cu′c,n+1

(14)

式(14)中：ic,n+1、u′c,n+1分别为下一离散时刻流经电容的电流和电容两端的电压。

采用后向欧拉公式积分得

(15)

从而得到

(16)

图7 电容离散模型Fig.7 Discrete model of capacitance

3.2 电感离散化处理

采用后向欧拉法对电感进行离散化处理，可以得到电感的离散模型，取t时刻电感两端的电压uL(t)与流经的电流iL(t)为关联参考方向可以得到

(17)

式(17)中：L为电感大小。在一个离散步长h内进行积分得

uL,n+1=Li′L,n+1

(18)

采用后向欧拉公式积分得

(19)

式中：iL,n+1、iL,n分别为下一离散时刻电感两端的电压和流经电感的电流。

通过将电容和电感的离散模型代入图2所示的MMC闭锁前等效电路中，得到MMC的离散模型如图9所示，参数取值如式(20)和式(21)所示。

(20)

(21)

图8 电感离散模型Fig.8 Discrete model of inductance

式中：Z和un分别为MMC离散模型的等效阻抗和等效电压源。

由于架空输电线路对地电容较小，所以采用RL模型，通过将电感的离散模型带入架空输电线RL模型中得到架空输电线的离散模型如图10所示，参数取值如式(22)和式(23)所示。

(22)

(23)

式中：Zij为换流站i和j之间的等效阻抗；uij,n、iij,n分别为换流站i和j之间第n次迭代计算时的电流和电压；Lij和Rij分别为换流站i和j之间线路的等效电感和电阻。

将离散化模型代入图5和图6所示的故障等效电路中的相应位置，得到故障等效电路的离散模型，把含有动态元件的电路被转化为了纯电阻电路，从而将暂态电路故障求解问题转化为了不同离散时刻的稳态电路求解问题。

图9 MMC离散模型Fig.9 Discrete model of MMC

图10 架空输电线离散模型Fig.10 Discrete model of overhead transmission line

4 故障电流数值求解方法

通过改进节点法对离散后的电路进行数值求解计算，即

I=YU

(24)

式(24)中：I为注入电流矩阵；U为节点电压矩阵;Y为节点导纳矩阵。

当节点数为N、独立电压源数为M时，矩阵I、Y、U的表示方法如下。

矩阵Y是(N+M)阶方阵，可划分为由矩阵G、B、C、D构成：

(25)

矩阵G对角线元素是与该节点相连的电导之和，非对角线元素是两个节点之间的负电导值；矩阵B里元素取值为0、1或-1，如果电压源的正极与该节点相连，则取值为1，如果负极与该节点相连，则取值为-1，否则为0；由于离散后的电路不含受控源，所以矩阵C等于矩阵B的转置，矩阵D是0矩阵。

矩阵U可划分为由矩阵v和j构成：

(26)

矩阵v中每个元素对应所在节点的节点电压；矩阵j是流入电压源的电流对应的矩阵。

矩阵I由矩阵i和e构成：

(27)

矩阵i由电流源决定；矩阵e由电压源决定。

图11 故障电流数值求解流程Fig.11 Numerical solution flow of fault current

基于电网的离散模型，设计了如图11所示的故障电流数值求解流程。首先，输入电路规模以及元件参数，基于暂态故障计算时间T确定离散步长h，根据T和h确定循环次数N；然后，通过式(24)建立待求网络节点方程并添加非动态元件对网络的贡献，从n=0开始以步长h进入循环，当n=0时，将动态元件初始等效电源的贡献写入网络节点方程中，其值通过稳态电路确定，当n≠0时，将上一次的计算结果代入动态元件离散公式进行动态元件离散模型参数的修正，并将新的贡献写入网络节点方程中；求解网络节点方程，得到各时刻的故障电流值；当n>N时，结束循环，输出计算结果。

5 仿真验证

根据图3所示的张北柔性直流电网结构在PSCAD/EMTDC中搭建了张北工程电磁暂态仿真模型，控制策略采用主从控制，康宝站和张北站为主控站，控制方式为定直流电压控制、定无功功率控制，北京站和丰宁站为从控站，控制方式为定有功功率、定无功功率控制。换流站主要参数如表1所示。

表1 换流站主要参数

在张北工程电磁暂态仿真模型中设置了不同的故障类型，通过将所提方法的计算结果和电磁暂态仿真模型的仿真结果进行比较分析，验证本文所提方法的可行性与通用性。

5.1 单极接地故障仿真验证

当系统达到稳定运行后，在t=3 s时，以张北和北京正极线路中点发生单极金属性接地故障为例进行单极接地故障仿真验证。故障极电流仿真结果如图12(a)所示，健全极电流仿真结果如图12(b)所示，故障极和健全极的电流变化量对比如图13所示。

在发生单极接地故障后10 ms内，从图12(a)可以看出，故障极换流站子模块电容放电严重，故障点两侧电流急剧上升；从图12(b)可以看出在发生故障后，健全极电流几乎没有发生变化。图13通过电流变化量对比进一步说明了故障电流主要来源于故障极子模块电容放电，健全极电流变化量极小可以忽略，验证了2.1节简化理论的正确性。

图12 单极接地故障电流变化Fig.12 Change of unipolar grounding fault current

图13 故障极和健全极电流变化量对比Fig.13 Comparison of current changes between fault and non-fault electrodes

故障后10 ms内本文所提方法的计算结果与仿真结果的对比如图14所示，通过对比分析可以看出，本文所提方法的计算结果和仿真结果有较高的一致性，计算结果可以较好地反映单极接地故障电流的变化，本文所提的方法可以很好地适用于单极接地故障。

5.2 双极短路故障仿真验证

当系统达到稳定运行后，在t=3 s时，以张北和北京线路距离张北站60 km处发生双极短路故障为例进行双极短路故障仿真验证，发生故障为金属性故障时，对比故障后10 ms内所提方法的计算结果和仿真结果如图15所示；发生过渡电阻为50 Ω的非金属性双极短路故障时，对比故障后10 ms内所提方法的计算结果和仿真结果如图16所示。

通过对比分析，从图15可以看出，在发生双极金属性短路故障后10 ms内，本文所提方法的计算结果和仿真结果吻合度较高，计算结果可以很好地反映双极金属性短路故障电流的变化；从图16可以看出，当发生过渡电阻为50 Ω的非金属性双极短路故障后10 ms内，本文所提方法的计算结果和仿真结果有较高的一致性；本文所提方法可以很好地适用于双极金属性短路故障和双极非金属性短路故障。

通过设置不同的故障类型，将所提方法的计算结果与仿真结果在故障后的10 ms内进行对比表明，所提方法的计算结果与仿真结果基本一致，具有较高的吻合度，所提方法适用于单极接地故障、双极短路故障、金属性故障和非金属性故障，具有很好的通用性，计算结果可以很好地反映故障电流的变化趋势并得到较为精确的故障电流值。

图14 单极接地故障电流计算与仿真对比Fig.14 Comparison of calculation and simulation of unipolar grounding fault current

图15 双极金属性短路故障电流计算与仿真对比Fig.15 Calculation and simulation comparison of bipolar metal short-circuit fault current

图16 双极非金属性短路故障电流计算与仿真对比Fig.16 Calculation and simulation comparison of bipolar non-metallic short-circuit fault current

6 结论

首先通过分析故障特性提出了合理的电路简化方案，然后基于后向欧拉公式对动态元件进行离散化处理，建立了一个不含有动态元件的电路，从而避免了复杂的微分方程降阶求解和拉氏逆变换问题，降低了故障电流求解难度，并通过将所提方法的计算结果和仿真结果进行对比分析，验证了所提方法的可行性和通用性，对柔性直流电网的设计与规划、故障类型判断具有重要意义。但是在电路简化时忽略了子模块投切过程、交流侧和金属回线层电感初始电流对故障电流的影响，导致所提方法的计算结果与仿真结果仍有一定的误差，可以作为后续研究内容继续深入研究。