基于函数本质实现纠错提升

2023-01-13张俊

初中生世界 2022年47期

文／张俊

二次函数这一章要求我们能从二次函数的常见表达式中看出顶点坐标、对称轴等信息，能依据二次函数图像认识函数的特征与性质，能利用二次函数解决实际问题。其中，二次函数的对称性、增减性及含参型函数等更是每年中考考查的重点和难点。不过，在实际运用中，我们总会出现各种错误。本文列举一些典型错误并分析出错的原因，希望同学们能明确错误之处，做到举一反三。

一、正确把握抛物线的对称性特征

例1二次函数y=x2+bx+c中，当x＜-2时，y随着x的增大而减小，则b的范围为___。

【错解】由题意可知，对称轴为直线，解得b=4。

【错因分析】由于a=1＞0，根据抛物线的性质可知，当时，y随x的增大而减小。这里直线x=-2不一定是对称轴，例如直线x=-1、x=0、x=1都可以作为对称轴，所以只需即可。

【正解】∵对称轴为直线，且a=1＞0，

∴当时，y随着x的增大而减小。

∵当x＜-2时，y随着x的增大而减小，

二、充分理解销售问题中的二次函数问题

【总结】对称性是二次函数图像抛物线的重要特征，当图像的开口方向和对称轴确定时，便可得出函数值随自变量变化的情况。反之，当对称轴不确定时，则需要逆向思考，此时的对称轴可能不唯一，所在位置可能是一个范围。分析过程中，我们可以举几个符合条件的特值验证，再确定范围。

例2某超市经销一种商品，每件进价为60元。经市场调研发现，当每件售价为80元时，月销售量为1200件，售价每提高1元，销量将减少20件。规定每件售价不低于进价且利润不允许超过每件进价的50%。那么售价定为多少元时，每个月销售利润最大？最大利润是多少？

【错解1】设售价定为x元，每月最大利润为y元……

【错因分析】由于每月利润不是一个定值，所以函数表达式中的y是一个变量，而最大利润只是其中的一个值，所以不能设成最大利润为y元。

【错解2】设售价定为x元，每月利润y元，得y=（x-60）（1200-20x）……

【错因分析】错将售价定为x元理解成售价提高x元。

【错解3】设售价定为x元，每月利润y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000，所以当售价定为100元时，每月利润最大，为32000元。

【错因分析】没有考虑题中“规定每件利润不允许超过每件进价的50%”的要求。

【正解】设售价定为x元，每月利润y元，得y=（x-60）［1200-20（x-80）］=-20（x-100）2+32000。

∵规定每件售价不低于进价且利润不允许超过每件进价的50%，

∴0≤x-60≤60×50%，得60≤x≤90。

∵-20＜0，对称轴为直线x=100，

∴当60≤x≤90时，y随x的增大而增大，

∴当x=90时，y有最大值，y最大值=-20×（90-100）2+32000=30000。

答：当售价定为90元时，每月利润最大，最大利润为30000元。

【总结】二次函数可以揭示实际问题中变量之间的关系，如销售问题。在此类问题中，常常需要根据自变量的取值范围确定函数的最值，此时一定要注意函数的顶点是否在此范围内。若在，则可根据顶点得出最值；若不在，则需要根据函数增减性确定何时有最值。另外，根据不同的取值范围，可能会得到不同的函数表达式，我们可以根据实际需要选择合适的函数表达式进行分析。