轴向运动三角形薄板的模态分析

随岁寒，孟 华，韩振南,2*

（1.商丘工学院 机械工程学院，河南 商丘 476000；2.太原理工大学 机械工程学院，山西 太原 030024）

轴向运动模型源于传动带、带锯和输流管道等工程案例，在这些应用中，运动系统内发生的机械振动是限制上述系统性能和生产效率的主要因素，对于高速精密系统尤其如此。为了提高效率和优化这类系统的设计，众多学者对轴向运动系统的振动行为进行了大量的研究[1-3]。这类结构在边界上受到支承且支承是静止的，同时又允许支承间的柔性结构轴向直线速度，力学上称这类结构为轴向运动连续体。这些结构在自身变形和轴向速度共同作用下产生科氏力和离心力，科氏力和离心力与轴向速度密切相关，因而轴向运动结构表现出独特的静力学和动力学性质。比如仅考虑横向力作用下的横向变形时，作为准静态问题，结构的横向挠度随轴向运动速度而变化[4]。在匀速运动时，速度越大则对应的自由振动频率越低，这一规律已被众多研究证实[5-6]。Yao等采用了非局部弹性理论研究了轴向运动纳米梁的动力学行为[5]。李岩和随岁寒基于虚功原理建立了轴向运动梁自由振动的有限元模型，探讨了离心力和科氏力的影响[6]。

作为典型的二维结构，平板有更多的边界，目前轴向运动二维结构研究最多的是方形薄膜和方形板[7-18]。相关的研究通常结合外部环境中的力、热和电磁等因素作用[9]，板的材料组成引入复合材料和纳米增强材料等[10-12]，板的支承条件通常为固支、简支和自由等。由于边界形状的规则性，轴向运动方板的动力学问题通常可用解析法、Galerkin法、微分求积法、差分法和有限元法等方法求解[8,13-18]，因为这些方法能够很好地适应邻边垂直这一特殊条件。因而应用这些方法对轴向运动方板问题的研究成果丰硕，这也很好地促进了这些结构的应用。然而，工程应用中并非所有场合都适合布置方形板，如飞机机翼，这些结构通常为近似三角形结构，关于轴向运动三角板的研究却鲜有报道。研究这一问题的难点在于多数方法不能胜任三角板问题的求解。有限元法的原理是将求解域离散成有限数量的互连单元，对每一单元建立平衡方程，然后组装成整个求解域满足的平衡方程，求解整体平衡方程从而得到问题的解。因而有限元法能适应各种复杂形状，是行之有效的工程分析手段。

针对轴向运动三角形薄板，可将求解域离散为若干三角形单元，各节点包含横向位移和2个正交方向的转角，这样既保证了节点横向位移的连续性，又保证了节点斜率的连续性。推导动力学有限元方程通常采用加权余量法、Hamilton原理和虚功原理[16-19]。加权余量法要求先推导系统控制方程，因比较繁琐而应用较少。Hamilton 原理从动能和势能的平衡入手，该方法得到的陀螺矩阵具有反对称的特点[16]。虚功原理利用虚应变与惯性力虚功的平衡关系建立有限元动力学方程，该方法可利用加速度合成定理来推导惯性力虚功，赋予了速度相关项明确的物理意义，即科氏力项(也称陀螺项)和离心力项[4]，因而便于单独分析这2项对轴向运动系统动力学特性的影响[6]。本文利用虚功原理推导轴向运动三角板的有限元动力学方程，求解系统自由振动频率及其模态函数，进而分析轴向运动速度对固有频率和模态函数的影响。

1 数学模型

建立如图1所示坐标系，三角形板沿着x方向直线运动，速度为v。3个边有平行于边界的滚轮支承，3 个滚轮接触线内的三角形区域为模态分析的求解域，对三角形区域外限制板的横向位移是固支边界，否则为简支边界。板厚h，板的2 个边长度分别为a和b，其中一个角为α。

图1 轴向运动三角形薄板与单元划分示意图Figure 1 Schematic diagram of an axially moving triangular plate and element division

采用3节点三角形单元离散求解域，每个节点包含横向挠度以w及x和y2个方向的转角，单元的广义坐标为

采用广义坐标可将单元的横向位移表达为[16]

这里N代表形函数。

根据Kirchhoff薄板理论，板的位移场为

其中[B]=[-zNxx-zNyy-2zNxy]T，下标代表形函数对相应坐标的偏导数。

板的物理方程为

其中σ和ε分别代表应力和应变，μ表示材料的泊松比，通常取值为0.3。

同样将式(8)简化为矩阵形式

从而可以得到轴向运动三角板的有限元平衡方程

其中质量矩阵M、陀螺矩阵C和刚度矩阵K分别为

式(12)结合边界条件可以解得轴向运动三角板的固有频率及其模态函数。

2 数值算例

所需的材料性能参数与几何参数为：弹性模量E=210 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3，板厚h=12 mm，板直角边长a=1 m，板直角边长b=1 m，角度α=45°。在轴向运动传输结构中，在边界上一般是滚轮约束下的固支或者简支，因此算例针对这2种边界条件分别模拟。

如图1所示将轴向运动三角形薄板离散为64个三角形单元，每个单元3个节点，每个节点3个自由度。ANSYS采用12 337个SHELL281单元，该单元共用6个节点，每个节点6个自由度。由于ANSYS没有处理轴向速度的模块，为对比本文解与ANSYS 解，利用本文方法求解时，将轴向运动速度设定为1×10-8m/s，以此来模拟轴向无运动板。

在固支条件下，本文解得的前四阶固有频率与ANSYS 解对比如表1 所示，可见两者数值上非常接近，第一阶频率的误差仅为0.81%，随着阶次的升高，两者误差虽略有增大，但仍可满足工程需求。可见，对于轴向无运动三角形薄板，本文算法在速度收敛于零的条件下具有非常高的精度。图2 和图3 分别为ANSYS 和本文算法得到的前四阶模态。图2 中略去了单元的网格线，且将各点的挠度的绝对值以不同颜色显示。图3中将边界处的挠度值定义为0，并以颜色显示各点的挠度相对值，其中网格线是用于提升可视化效果，不具有单元的意义。结构自由振动的挠度通常是微量的，因此模态图仅仅是用来表示求解域中各点间的挠度相对关系，而不需关心具体数值。由于算例采用的是等腰直角三角形，对比图2和图3可以发现，2种方法解得的模态都是关于斜边法线对称，且高度一致，再次证明了本文算法的有效性。

图2 固支板前四阶模态（ANSYS解）Figure 2 The first four order modes of the clamped plate (ANSYS solution)

图3 固支板前四阶模态（本文解）Figure 3 The first four order modes of the clamped plate(present solution)

表1 固支板固有频率对比Table 1 Comparison of natural frequencies of clamped plates

在简支条件下，本文解得的前四阶固有频率与ANSYS解对比如表2所示，第三阶固有频率的误差最大，仅为0.65%。图4 和图5 分别为ANSYS 解和本文解得到的前四阶模态，两者非常吻合。可见本文解能够以较小的计算量获得较高的求解精度，且本文方法对简支板有更好的适用性。

图4 ANSYS简支板前四阶模态（ANSYS解）Figure 4 The first four order modes of the clamped plate (ANSYS solution)

图5 简支板q前四阶模态（本文解）Figure 5 The first four order modes of the simply support plate(present solution)

表2 简支板固有频率对比Table 2 Comparison of natural frequencies of simply supported plates

在固支的边界条件下，逐渐增大轴向运动速度，得到的前四阶固有频率随速度的变化规律如图6 所示，图中f1～f4代表第一至第四阶固有频率。结果显示，各阶频率随速度增大而减小，且各阶频率对速度的梯度基本一致。当速度达到280 m/s 时，第一阶频率减小到0，此状态代表失稳，超过此速度轴向运动三角板将被破坏。在失稳速度附近，系统振动能量降低到最小，轴向运动的动能达到极大，此时在板的横向受到扰动时将产生很大的离心力作用，该离心力促使板横向位移迅速增大，从而将轴线运动的动能转化为横向振动的动能，进而造成板结构损坏，这是失稳速度的破坏机理。实际上，工程应用中通常关注的是第一阶频率，在速度接近失稳速度时，此时系统属于低频振动，工程中对低频振动的控制是容易实现的。而且对于轴向运动系统而言，速度越大则工作效率越高，因此将轴向运动系统的速度设定在略小于失稳速度是最佳选择。同时，也应考虑在失稳速度附近第二阶频率也已很低，在利用第一阶共振的同时要避免高阶频率的干扰。

图6 固支板前四阶固有频率与速度关系Figure 6 The first four order natural frequencies versus velocity of the clamped plate

固支条件下，为揭示轴向运动速度对各阶模态的影响，取速度为v=200 m/s，求解得到的前四阶模态如图7所示，图中横向挠度的具体数值仅为横向挠度的相对值，边界上的数值为0。对比图7 和图3 可以发现，随速度的增大，各阶模态不再关于斜边法线对称。以第一阶模态横向挠度参数为例，将其表达成图8所示矩阵形式。由图8可见，速度为零时三角板上各点横向挠度以斜边法线为对称轴，速度为200 m/s时对称轴上的各点数值有所减小，对称轴左上角除最大挠度值外均有增大，对称轴右下角各点挠度均减小。

图7 固支板前四阶模态（v=200 m/s）Figure 7 The first four modes of a clamped plate(v=200 m/s)

图8 固支板第一阶模态参数对比Figure 8 The first order mode parameters of the clamped plate

在简支的边界条件下，前四阶固有频率随速度的变化规律如图9所示。与固支板有类似的变化规律是速度增大固有频率减小，不同在于各阶频率均小于同条件下的固支板，失稳速度仅为175 m/s，即简支板的最大工作效率要小于固支板。失稳速度附近，第二阶频率还比较大，使得设备在简支条件下工作受高阶振动的影响相对较小。对比模态图10和图5可以发现，速度为0时各阶模态关于斜边法线对称，速度为150 m/s时，各阶模态不再关于斜边法线对称。可见，轴向速度对固有频率和模态均有较大的影响，只是模态变化相对于固有频率变化较小。

图9 简支板前四阶固有频率与速度关系Figure 9 The first four order natural frequencies versus velocity of the simply supported plate

图10 简支板前四阶模态（v=150 m/s）Figure 10 The first four modes of a simply supported plate(v=150 m/s)

3 结论

采用3节点三角形单元离散求解域，应用Kirchhoff薄板模型和虚功原理建立了轴向运动三角板的动力学有限元方程。求解了轴向运动三角板的前四阶固有频率及其模态函数，分析了轴向运动速度对各阶固有频率和模态的影响。结果表明，本文所建立的有限元模型能够以较小的计算量获得较高的求解精度。轴向速度的存在起到降低板的刚度的效果，即固有频率越低，速度越大。速度使得各阶模态产生变化，越远离边界的位置横向挠度受到的影响越小。固支板受到速度的影响相对较小，简支板的失稳速度小于固支板。在轴向运动传输结构的设计中，应将轴向运动三角板的速度设定在略小于失稳速度，从而实现生产效率的最大化。