基于数学核心素养培育的课堂问题设计——“黄金分割”的思考与实践

邬振宇

（上海市世外中学，上海 200233）

一、研究缘起

2022年版《义务教育数学课程标准》明确提出，学生要通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。①《全日制义务教育数学课程标准（2022年版）》，北京师范大学出版社2022年版，第1-2页。通过分析核心素养的构成，不难发现，数学学习的过程应当是以知识、方法的学习为载体，通过提升学生的高阶思维水平，形成解决问题时的一种思维习惯，进而达成学科核心素养。

高阶思维，是指发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力。布卢姆将认知发展水平按层级划分为六个水平：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，其中，后三者一般被认为指向高阶思维的培养。还有观点认为，初中数学课堂中的高阶思维，是指在数学课堂中，面对教师提供的数学学习任务，学生在数学活动中为完成该任务中的学习要求所表现出来的高水平心智活动，主要表现为策略型思维、批判型思维和创新型思维。②胡军，栗小妮，李建华：《数学高阶思维培养中的“学生提问”策略》，《数学通报》2021年第9期，第37-40页，第66页。

“黄金分割”是沪教版初三第一学期第24章的教学内容，1课时的教学安排通常都是围绕知识点的落实而展开。虽然从数学模型来看，这是一个简单的线段分割模型，但由于涉及比例中项的等量关系以及对无理数的非直观感受，如果只利用教材提供的学习任务展开教学，学生既无法充分体会黄金分割在数学内部之间的关联，也对黄金分割与生活、与自然的关系感受不深。停留在低阶思维的浅层次学习，导致学生在该知识的理解上产生认知障碍，具体表现为在运用时因选择不当而导致的计算问题，以及对于黄金分割的认识只停留在单维层面。而这种认知障碍会影响学生的数学抽象、推理能力及模型观念的进一步养成，从而阻碍核心素养的提升。

二、基于“核心素养”的教学问题设计

核心素养的落实，关键在于对学生高阶思维的培养。在课堂教学中，高水平的问题是培养高阶思维能力的最有效手段，是促进学习者高阶思维能力的核心。因此，以“黄金分割”为课例，通过设计高水平的问题，激发学生高阶思维的提升，进而落实核心素养各方面的能力，是本研究的主要内容。

1.定义的引入——设计真实的情境性问题，发展学生抽象能力

真实问题情境，不仅有助于激发学生的学习兴趣，为学习提供持久的内驱力，更有助于学生深化对知识的理解，通过高阶思维活动，实现知识的建构。例如，在设计“黄金分割”的引入环节，笔者设计了如下活动和问题：

活动1：如图（见图1），欣赏大自然和生活中的精美图片。

图1 生活中的黄金分割

问题1：生活中，我们经常会看到一些精美的图形，在感慨或惊叹之余，我们是否考虑过其背后是否蕴含着某些规律呢？

活动2：观察图2

图2 小鸟的位置图

问题2：说说哪一幅让你感受到了美？如何从数学的角度来研究该问题呢？

真实情境下的问题复杂而开放，每个人对美的感受各不相同，学生选择的结果可以是多样的。在选择的过程中，教师要引导学生思考美背后的原因，不仅可以让学生体会到数学与生活的联系，更可以让学生认识到数学中的理性精神，即永远不把不言自明的定律视为必然，而是利用数学的眼光来看待实际问题，进而将其转化为数学问题进行研究。我们可以看到，这种透过现象看本质的思维习惯和数学抽象能力都是指向高阶思维活动的，长期在这样的真实情境中训练有助于学生养成思维习惯，可以培养学生“数学抽象”的能力。

2.概念的理解——设计具身性问题，发展学生推理能力

推理能力在数学概念的形成中起重要作用，同时也是学生思维提升中较为困难的部分。随着认知科学的发展，人们逐渐认识到：“大脑不能独立完成高级认知功能，对于心智的理解必须放到与身体的关系背景中。”①孙天山：《基于问题的高阶思维课堂教学架构研究》，《中学化学》2016年第5期，第1-5页。因此，课堂教学中的问题设计要基于学生的立场去思考。教师要将自身置于学生的位置去揣摩、了解、模仿学生的切身感受，同时问题的设计要让学生能够充分发表自己的观点和想法，才能真正显露出学生的思维困难与瓶颈。在本课中，当学生完成数学抽象，来解决具体的数学问题时，结合课前设计和课堂生成，呈现出如下问答：

教师：如图（见图3），已知线段BE=1，点F在线段BE上，

图3 线段的黄金分割（a）

学生1：我求不出来。

教师：请说说你的困难在哪里？

学生1：感觉有很多未知的量，已知条件很少。

教师：你看到哪些已知条件？哪些未知量？

教师：其他同学有补充吗？

学生2：图中还有隐含了一个已知条件：EF+BF=BE。

教师：生1，你觉得现在还有困难吗？

学生1：感觉未知量还是很多？

教师：未知量多时，大家有哪些应对策略？

学生1：可以设x，表示未知量。

通过上述问答，可以看到学生1的思维难点有两个方面：第一个方面在于观察不到图中的隐含条件；第二个方面在于方程意识薄弱，不知道何时应该设未知数。教师只有站在学生的角度，通过问题引导，将思维可视化，学生的问题才得以显现，进而帮助他们突破自己的思维瓶颈，发展推理能力。在本节课的实施过程中，后续体现过程、方法、素养之间联系的设计还有很多（见表1）：在概念分析阶段，通过短、长、全的符号化表示，引导学生的“符号意识”；在概念归纳阶段，将线段长从数字1变为字母a，让学生感受规律要经历“从特殊到一般”；在概念的辨析阶段，让学生在黄金分割和等分比较异同的过程中，感受类比的学习方式。而在这些环节设计的过程中，教师要充分了解学生可能会产生哪些“为什么”，通过问题将这些“为什么”展现出来，而只有当这些“为什么”形成学生在思考问题时自我发问的一种习惯时，大部分学生才会基于各自原有的基础得以提升推理能力。

表1 过程—方法—素养的联系

3.概念的巩固——设计进阶性问题，发展学生模型观念

思维发展的过程是一个由浅入深、由低级向高级螺旋上升的过程，因此，进阶性问题的设计不仅有利于思维发展，更有助于全体学生高阶思维的培养。在本节课中，在学生基本掌握了黄金分割的基本例题后，为了加深学生对黄金分割概念的理解和应用，笔者设计了如下进阶问题：

问题：如图（见图3），线段BE上是否还存在黄金分割点？

进阶问题：若点G、F是线段BE的黄金分割点，请判断点G是BF的黄金分割点吗？

图6 线段的黄金分割（b）

从以上环节我们会发现，学生对知识点的理解存在差异，因此，通过该问题设计，一方面，教师可以发现哪些学生已经通过之前的教学对概念有了深刻的理解（见图4），能灵活地将之前的黄金分割概念作为模型来应用，解决新问题；哪些学生还停留在低阶思维上（见图5），对概念的理解机械浅显，需要通过反复计算才能解决上述问题。另一方面，可以引发学生反思问题，在加深对这个概念理解的同时，为下次学习类似问题积累经验，提升模型意识。

图4 深度理解的解法

图5 表层理解的解法

4.概念的延伸——设计探究性问题，发展学生创新意识

创新意识主要是指主动尝试从生活、自然或科学情境中提出有意义的数学问题，并能运用归纳和类比方法来发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证。例如，在本节课中，学生在深刻理解了一维线段中的黄金分割后，提出了如下问题：

问题1：如图（见图7），BE为长和宽的矩形中，折出一个正方形BFMN，观察矩形FEKN，

图7 黄金矩形的分割图（a）

你有什么发现吗？

问题2：如图（见图8），你还能在图中构造出新的黄金矩形吗？

图8 黄金矩形的分割图（b）

以上可见，问题1引导学生自主探究，发现并验证矩形边长中蕴含的黄金分割关系，将黄金分割的认识从一维线段发展到二维图形。再由问题2的设计，类比黄金分割在线段中的无限分割的性质，学生可以发现这一性质在二维图形中依然成立，有些学生甚至会展开进一步猜想，即三维、四维的图形是否依然成立呢？我们可以发现，在探究以上问题的过程中，学生充分激发学习兴趣。经过观察、分析、归纳、猜想和论证一系列探索过程后，学生不仅形成了自己的见解，并且在解决问题的过程中展现出许多创新性的思维和活动。

三、思考与改进

1.坚持目标导向，重构体现核心素养的教学内容

数学的价值到底在哪里？章建跃教授曾经说过，“数学与大自然同构，是探索知识和进行科学研究的重要工具”，数学不仅能“证明”大自然的规律，还可以将发现的规律为人类所用。①章建跃：《发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益》，《数学通报》2013年第2期，第1-6页，第10页。事实上，黄金分割的教学素材十分丰富，如何将这些内容有机、自然地融合在一起，让学生的思维尤其是高阶思维得到提升是值得思考与研究的。因此，以核心素养为导向，体现结构化教学特征的教学内容是一线教师应当去进一步研究与开发的。学生从现实世界体现的美中引发思考，通过直观想象，将问题抽象为分割线段的数学问题，再利用逻辑推理和数学运算，去发现黄金分割内在规律和性质，并且在数学内部进行衍生，从一维线段发展到二维图形，完善了黄金分割在数学内部的认识，最后将研究发现用于实际生活中的自然现象的解释和再创造（见图9）。通过问题与活动设计，学生不仅能学习到黄金分割的知识技能，更能从过程中感受到：如何发现和提出数学问题，如何利用数学的知识解决数学问题，又是如何利用解决的数学知识服务于生活（见图10）。②徐晓燕：《概念性理解与数学概念教学》，上海教育出版社2020年版，第13页。

图9 黄金分割与生活的联系

图10 数学学习过程与核心素养表现的关系

2.坚持问题导向，设计促进高阶思维的教学活动

基于问题的课堂教学可以激发学生学习兴趣、引发学生有效思考，有效提高学习的真实性和主动性。课堂教学以“发现问题—明确问题—解决问题—巩固提升—归纳小结”为线索，构建以核心素养培养为导向的课堂问题设计策略（见图11）。

图11 基于核心素养培育的教学问题设计策略

（1）发现问题。教师要根据课程教学目标，为学生选择、设计真实的问题情境，为学生提升数学抽象能力和直观想象能力提供适切的环境。

（2）明确问题。在研究实际问题的过程中，帮助学生逐渐形成数学眼光，通过将实际问题数学化，明确真正要解决的数学问题。

（3）解决问题。教师引导，通过设问、对话、讨论等多种方式促使学生展现困难，通过解决这些思维瓶颈，提升其逻辑推理能力，完善学生的数学运算能力。

（4）巩固提升。引导学生对研究结果进一步总结提升，培养模型观念和应用意识。

（5）归纳小结。通过对问题解决过程及方法的总结和评价，引导学生形成解决问题的一般思路，完善知识方法体系，从而培养质疑精神和创新意识。

3.坚持创新导向，关注学生批判性思维的发展

批判性思维是创新的前提，是高阶思维的重要组成部分。这种思维需要经过培养才能成为一种学习习惯、思维习惯。反思本节课的收尾阶段，教师通过如下问题设计，可更好地关注发展学生批判性思维：回到本节课的开始之处，你如何理解数学中的美？

每个人对美的认识不同，若让所有学生接受黄金分割的分法是最美的，这未免有些强加于人，也不客观。一方面，给学生提供一种“批判性”的氛围，使学生不盲从、不盲信，学会独立思考，敢于发表自己的观点；另一方面，通过本节课对黄金分割的学习，让学生认识到人们的认知也是随着数学的发展不断发展的，从初期几何作图中发现时的不被重视，到随着人们对无理数认识的逐渐深入，进而对黄金分割在“数”和“形”两个方面的规律美、动态对称美的不断挖掘，从而越来越认可这种美，并不断将它应用到我们的生活中去。只有这样，学生的理性精神和高阶思维才会在潜移默化中得到提升。