圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用

浙江省诸暨市草塔中学

金铁强

椭圆、双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几何中的常规考点，很多老师在讲解的时候喜欢用“设而不求”来解决问题.但用此法来处理焦点弦问题也有其弊端，一是步骤过多，二是有些问题不能直接用此法求解，必须再要用到“设而求之”才能解决.对于现在的多变题型，已经达不到通解通法的要求，因此有必要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理，才能适应当前高考题型的发展趋势，让学生能够更直观地解题.

1 焦点在x轴上的椭圆焦半径公式的推导及应用

图1

这个公式把焦点弦分成上下两部分，每部分的焦半径都有自己的表达式，这样对于条件运用可以更直接明了.

图2

解析1虽步骤不多，但运算复杂.如果我们用焦半径公式，整个问题就豁然开朗.

综上可知：A(0，1)或A(0，1).

分析公式的本源可得出很简单的结论，焦点弦的弦长及被焦点分开的两段焦半径的比例值其实与椭圆的形状(即a，c的值)，与焦点弦所在直线的方向(即斜率k或倾斜角α)存在关系，即a，c，α三个量决定了焦点弦的一切，那我们不妨直接利用这样的代数关系来解决问题，解题就方便多了.

2 焦点在x轴上的双曲线焦半径公式的应用

同样地，该公式也适用于双曲线.

解析：由条件知，若焦点弦为一条交于双支，一条交于单支，则不能构成四边形，则两条焦点弦都交于左支或都交于双支.

利用公式直接代入，解题过程简洁明了，优点显而易见.

3 焦点在y轴上的圆锥曲线焦半径公式

图3

因此，简单总结如下：