新课标下高中数学教科书分析研究*——以“函数的概念与性质”章节为例

湖南工业大学理学院

魏莉莎 汤琼 闫旭 杨婕

1 引言

为落实全国教育大会及十九届四中全会精神，体现新时代关于教育的新热点和新要求，《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称新课标)对外发布.在基础教育新课程实施过程中，课程标准是教学、考试以及编写教科书的基本依据.教科书是上好一堂课的先决条件，是教师进行教学设计的重要来源.

通过查阅相关文献发现，国内诸多学者对教科书的分析有不同的研究思路和方法，例如吴立宝[1]教材分析的八个策略、王光明[2]教材分析的五个视角等，但以函数内容为具体例子分析教科书的不多，以一章节的知识内容作为整体进行全面研究的更是寥寥无几.笔者认真解读新课标后，结合教学和学生实际，试图以完整章节进行研究，为高中数学教师分析教科书提供有效方法.以下通过分析人教A版高中必修一数学教科书第三章“函数的概念与性质”内容，从明确课程要求、分层剖析结构、联系生活实际、重视学生主体、比较教科书异同五个角度落实新课标要求，对本章节内容进行研究.

2 新课程标准改革的三大特征

2.1 “四基”“四能”的界定

新课标明确规定课程目标是通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”).旧课标[3]只提出了“双基”，而新课标中提出的“四基”更加明确了教师的角色，强调培养创新型人才的重要性.比如，进行函数的概念教学时，在初中知识的基础上，运用集合语言和对应关系刻画函数，引进新符号y=f(x)，明确构成函数的基本要素，比较初中和高中对函数概念的两种定义，提问学生有什么新的认识.在新旧知识的交叉结合中，让学生自己学会总结和思考，发展更宽广的知识观和能力观.

2.2 数学学科核心素养的倡导

数学学科核心素养对学生在数学上的全面发展起着决定性作用，依据新课程标准，数学学科核心素养主要为：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析.高中数学教材要求教师，把核心素养的培养视作关键点融入到数学教学中，利用现代信息技术渗透数学文化，使学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.比如，利用计算机软件GeoGebra绘制函数图象描述函数的基本性质.

2.3 整体提升数学教学的育人质量

教师的职责就是教书育人，教师应针对数学学科的特点，深入挖掘其育人价值.数学教学的育人功能是否落实到课堂教学的每个环节中，需要教师在备课、上课以及课后进行深入挖掘，使课堂教学有效提升育人质量.数学教材中任一个定理和公式的背后，都是一位人物及其思想和精神的体现.比如在学习几何知识时，可向学生介绍笛卡儿打破欧氏几何的局限，创立解析几何的故事，学习笛卡儿勤奋探索的品质，传递“我思故我在”的精神文化，将古人和学生的思维做对比，找到共通点，激发学生学习数学的动力.

3 结合新课标对高中数学教科书分析研究

对高中数学教科书进行分析是教师必备技能，只有准确了解教科书编写者的意图和思路，做到全面而正确地把握教科书，才能有效改善课堂教学设计，提高教学效果.

3.1 明确课程要求

新课标指出，高中数学教师分析教科书的第一步是明确课标要求.教学目标是课程目标的具体体现，它反映了数学学科的特点和学习内容的本质，是教师进行课堂教学的首要目的，是学生学习和教学评价的依据.比如，“函数的概念与性质”章节的三维目标有理解函数的概念及表示，掌握图象法、列表法、解析法，理解函数的单调性、最大(小)值、奇偶性，了解幂函数的概念及图象的变化情况；通过观察、归纳和讨论交流等活动，提高抽象、概括、运算求解的能力，通过实例感受函数的应用意识，体会利用函数模型解决实际问题及数形结合思想的重要性；感受生活中数学的存在，体验数学的探索性和创造性，充分激发对数学学习的积极性.

3.2 分层剖析结构

新课标高中数学是一门有体系结构的学科，从横向来看，函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线相互关联；从纵向来看，数学的内容是由易到难，螺旋向上的.高中数学教师可以从全局视角出发对课程结构、内容主线、教科书知识要点三个层次进行剖析.

厘清课程结构脉络：从整体分析必修与选修课程、高中与大学乃至其他学段间的关联，逐次梳理相应的课程结构内容.比如，“函数的概念与性质”章节与方程、数列、不等式、导数、随机变量及选修课的大多数内容都紧密相关.在导数教学时，可利用导数研究函数的单调性、极值、最小值，设置例题“已知函数f(x)=ex+x3,讨论f(x)的单调性”，等等.

熟知数学内容主线：高中数学课程标准明确了函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线.“函数的概念与性质”章节不仅是整个高中函数主线的基础内容，而且与其他主线内容联系紧密.在考查直线与椭圆的位置关系时，可以以向量为载体，涉及直线的方程、向量数量积、函数的值域等知识以及提参法等方法，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养.

掌握教科书知识点：有层次地展示数学知识间的逻辑关系，有效提高学生的学习能力.教师分析教科书是一种静态过程，在备课时应预设到课堂上的实际情境和动态教学.“函数的概念与性质”章节的主要知识点包括函数的概念、三种表示方法、单调性、最大(小)值、奇偶性，幂函数，函数的应用.函数的概念和三种表示法是高中学习的坚实基础；单调性及奇偶性是函数的基本性质，可借助函数的图象了解函数的作用和实际意义；幂函数是最基本、应用最广泛的函数之一，可利用GeoGebra软件作出几类幂函数图象，结合相关概念理论进行讲解，效果更好；函数的应用，让学生理解建构数学模型的过程，不仅仅是用函数解决数学问题，更重要的是解决实际问题.

3.3 联系生活实际

新课标明确体现数学来源于生活，生活中处处有数学的思想.在分析教科书时，联系生活实际可以从生活到数学和从数学到生活两个方向进行探讨.

从生活到数学，教师要充分发挥和运用学生的认知规律、已有的生活经验和数学实际，把数学的本质从日常生活中提炼出来，并用数学方法进行解答.比如，在学习函数的概念时，通过复兴号高速列车行进的路程和运行时间的关系、电器维修公司工人工资与工作天数的关系、北京市某天内任一时刻的空气质量指数的值与对应时刻的关系等实例的引入，归纳得出函数的概念.在练习中，选用炮弹发射后距离地面的高度与时间的关系等问题，强调函数与生活之间的关联，用学生所学的数学知识解答，并展现生活中变量关系的丰富多样性.

3.4 重视学生主体

“有效的教学活动是教师教和学生学的统一”，教师要做好学生学习的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体.教师要时刻明白教育的主体是学生，学会换位思考，激活教科书，模仿学生当前的学习过程，反思自己学习的困惑，从学生的视角来剖析教学中的重点和难点.另外，还要看是否符合学生的生活实际、是否符合数学实际、是否吸引了学生的兴趣，以及学生是否能够正确地理解课本所展示的内容.比如，“函数的概念与性质”这一章的教学重点是掌握函数的概念，函数的基本性质，以及幂函数的概念.教学难点在于通过实例感受函数的应用意识及利用函数模型解决实际问题的重要性.例如，在“函数的应用”教学前，提前布置一项任务：让每位学生了解上月家庭用水量、交纳的水费及具体的计费方式.在课堂上，以某一学生调查的情况为例设置应用题：“为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行‘阶梯水价’.计费方法为：每户每月用水量不超过10 m3的部分，水价为3 元/m3；超过10 m3但不超过20 m3的部分，水价为6 元/m3；超过20 m3的部分，水价为9 元/m3.现学生某某查得家庭上月交纳的水费为50元，求此学生家庭上月的用水量”.此题在实际情境中构建分段函数模型，将学生触手可及的生活问题融入数学的学习之中，让学生成为课堂的主人，营造活泼的气氛，促使学生之间进行充分交流和探索.同时，教师对积极完成任务的学生给予肯定，调动全体学生参与进来，让学生接触到的数学题不再是枯燥乏味的文字，而是生动富有趣味性的生活情境.

3.5 比较教科书异同

为了满足不同地区、不同层次的学校需求，我国基础教育教科书在国家基本要求指导下采用多样化政策.不同版本的教科书目录、内容、结构、重难点存在差异，所以教师应该熟悉北师大版、沪教版、人教版、苏教版等不同教科书之间的差异，在教学时对班级学生的整体情况进行比较分析和针对性教学[4].另外，还可以将国内外教科书的差异融入到教学中，形成自己独特的教学风格.

比如，在分析人教A版“函数的概念与性质”章节时，与北师大版[5]进行比对.从目录看，北师大版的章节是比较多的，北师大版增加了“生活中的变量关系”这一节，使学生温故知新，通过变量和生活的关系丰富学生的直观感受，为学生对函数概念的理解积累活动经验，进一步体现新课标中的“四基”理念.从内容看，北师大版把函数的单调性作为一个独立小节，将奇偶性放到幂函数之后，而人教A版把函数的单调性和奇偶性结合在一起.相较而言，人教A版中把性质进行联结更适合学生的学习，根据函数的思想，从概念到图象，再到函数的本质，让学生经历由已有的知识结构到未知的知识形成过程.在引入上，人教A版在第一节通过复兴号高速列车问题、电器维修公司工人工资问题、北京市空气质量指数问题、某省城镇居民恩格尔系数问题四个实际例子，得到了函数的概念.而北师大版则是先由高速公路加油站、京津城际列车运营两个例子来说明生活中的变量间的关系，进而给出函数的定义；再由弹簧的伸长量与弹力、不同气压下水的特点、某市某天的气温问题、居民用电和应缴电费四个实际问题来体现生活中存在的函数关系，得到分段函数的概念.

课程标准随着时代的变化在不断地更新和完善，基础教育教学也出现不同的侧重点，所以数学教师除了在比对不同版本的教科书之外，也可以通过教科书改动前后的变化进行分析.与2007年版本的人教A版高中数学教科书相比，2019版教科书在函数的概念章节上做了较大改动.该版之前必修一的第一章是“集合与函数概念”，现在更改为“集合与常用逻辑用语”.而在新版本中第二章是“一元二次函数、方程和不等式”(这个内容本来是初高中的衔接内容)，第三章是“函数的概念与性质”.教师在教学前，还可以对具体章节的内容做比对，了解更多的变化.

4 结论

教科书是沟通教师教学和学生学习的桥梁.以人教A版高中数学必修一教科书第三章“函数的概念与性质”为例，从明确课程目标、分层剖析结构、联系生活实际、重视学生主体、比较教科书异同五个角度对完整的章节内容进行分析，探讨如何更好地分析高中数学教科书.这五个角度只是为教师提供思路和方法，为教学提供建议和参考.教师要真正地结合自己的思考，在教学时考虑学生已有的认知结构和心理特征，对教材做出合适的选择、调整及完善，使学生掌握高中数学知识、数学思想方法的同时，不断积累数学活动经验，找到合适的学习方法.