非周期参数激励下的混沌同步控制及保密通信方案设计

唐叶芝,李震波,2*

(1.南华大学 数理学院,湖南 衡阳421001;2.南华大学 数学建模与科学计算湖南省重点实验室,湖南 衡阳421001)

0 引 言

自1990年，L.M.Pecora和T.L.Caroll[1]应用电路试验实现了混沌同步以来，混沌同步一直是研究非线性科学的热点课题之一。迄今为止已经提出的混沌同步方法大致有十几种，从出现较早的驱动-响应[1]、反馈同步[2]等到近些年提出的自适应同步法[3]、基于状态观测器方法的同步法[4]、脉冲同步[5]等。随着同步方法的不断改进以及新方法的提出，混沌同步将逐步走向实用阶段，为混沌保密通信奠定了一定的理论基础。混沌信号具有非周期性、连续宽带频谱、类噪声等特性，具有天然的隐蔽性。同时混沌信号对初始条件具有高度敏感性，有着长期不可预测性和抗截获能力[6]，因此混沌信号非常适合作为保密通信的载体。目前虽然基于混沌的保密通信已经建立了一些概念和方法，例如常用的混沌保密通信方法有混沌掩盖、混沌键控、混沌调制、混沌扩频，但关于混沌保密通信的研究仍在早期阶段。近些年来，国内外的混沌保密通信研究取得了很多突出的成果。M.Bettayeb和U.M.Al-Saggaf等人研究了基于分数阶混沌Chua’s系统同步的单通道保密通信方案[7]，牛小语研究了基于多维混沌系统的图像加密算法[8]，L.Zhou和F.Tan研究了一种基于双层多复杂网络同步的混沌安全通信方案[9]，Y.Li和H.Wang等人实现了利用分数阶自适应控制器的混沌同步及其在双通道保密通信系统中的应用[10]，李贤丽等人研究了分数阶混沌同步及其保密通信应用[11]，F.Yu和S.Qian等人设计了一种新的4D四翼忆阻超混沌系统的同步以及保密通信方案[12]，L.Zhou和F.Tan等人研究了一种基于鲁棒同步的双层多混合网络混沌安全通信方案[13]，V.Vafaei和A.J.Akbarfam等人研究了具有不同阶数和维数的分数阶混沌系统的一种新的同步方法及其在保密通信中的应用[14]，H.Kheiri和V.Vafaei等人研究了参数不确定的多维分数阶混沌系统的同步与安全通信[15]，M.Mohadeszadeh和N.Pariz研究了不确定混沌系统自适应同步在安全通信系统中的应用[16]。F.Aliabadi和M.H.Majidi等人提出了基于自适应量子神经网络的混沌同步及其保密通信方案[17]。

在利用常参数混沌系统展开保密通信方案研究的同时，为进一步提高安全性，人们对使用变参数混沌系统进行保密通信产生了浓厚的兴趣。王斌斌等研究了一种基于复合混沌系统变参数图像加密新算法[18]，朱淑芹等研究了参数扰动下的混沌的图像加密方案[19]，常景辉和张雪锋等研究了混沌系统参数扰动方案及分析[20]，李震波等研究了变参数下的混沌同步控制及其保密通信方案[21]。该文提出了利用混沌系统的状态变量来进行参扰动的思想，研究了混沌系统的参数在另一组混沌序列持续扰动下的同步控制问题并设计了保密通信方案。本文在文献[21]的思想下，以四维Chen系统的状态变量为扰动项，构造了一类具有非周期参数激励的四维Lorenz系统。相较于常参数系统和周期参数激励系统而言，非周期激励下的混沌系统蕴含着更加复杂的动力学特性，更难以被预测和还原。随后，基于Lyapunov稳定性理论设计了单向多路耦合控制器，实现了上述变参数系统的混沌同步控制问题，并基于该同步思想以及控制器的特点设计了相应的保密通信方案。本方案首先利用扰动系统状态变量的数字特征，将信息信号分解为四组乱序信号，并将其分别注入加密系统进行运算以产生加密信号，此时的加密信号与信息信号有关；随后，对上一步生成的加密信号再进行可逆的非线性叠加来生成加密端与解密端之间的通信信号，比起直接将加密信号作为通信信号，非线性叠加后的通信信号更加难以破译；最后，解密端从信道中接收到通信信号后，须先逆向剥离出加密信号，再将其作为驱动信号注入解密系统后，方可驱动解密系统完成同步并恢复全部信息信号。在数值模拟中，针对彩色图片进行了保密通信仿真，表明了该方案的保密性和有效性。该方案的优点在于：1)所依赖的系统为高维变参数混沌系统，且参数的变化规律也是混沌的，使得保密性较之常参数系统和周期变参数系统而言有明显增强，也正是因为加密系统的参数是在另一组混沌序列的持续扰动下来展开运算，使得该方法在逻辑上具有混沌调制方法的特性。2)利用扰动系统状态变量的数字特征，将信息信号分解为四组乱序信号，再对其进行加密，而不是直接将信息信号注入加密系统，进一步增大了密钥空间，提高了方案的安全性。3)加密端与解密端之间的通信信号是经过非线性叠加后的加密信号，而不是直接将加密信号作为通信信号。2)和3)两点则表明该方法具有改进的混沌掩盖方法的特征。因此，逻辑上看，本文设计的保密通信方案同时具有混沌调制和混沌掩盖的优点，从而使该方案可更有效对抗基于噪声削减、相空间重构、回归映射等方法的攻击，具有较高的保密性和安全性。

1 非周期参数激励下的混沌系统同步及其耦合控制器

考虑两个结构不同的混沌系统：

(1)

(2)

(3)

(4)

只要选取合适的耦合强度K的值，使得误差系统(4)是Lyapunov稳定的，则系统(1)和系统(3)可实现在系统(2)持续扰动下的同步。以下令四维Lorenz系统作为驱动系统，四维Chen系统作为扰动系统来实现上述同步。

四维Lorenz系统的表达式为：

(5)

式中:xi(i=1,2,3,4)为系统的状态变量，a1,b1,c1,d1为系统参数，σi(i=1,2,3，4)为扰动强度，zi(i=1,2,3，4)为参数扰动且由以下四维的系统Chen提供：

(6)

式中：zi(i=1,2,3，4)为系统的状态变量，a,b,c,d为系统的参数。为了使得系统(5)在系统(6)的持续扰动下保持混沌，令σ1=σ2=σ3=0.01，再利用文献[22-23]提出的方法来确定扰动强度σ4的取值，即计算了系统(5)在系统(6)持续扰动下的Lyapunov指数，如图1所示。

图1 系统(5)的Lyapunov指数随扰动强度σ4变换的曲线图Fig.1 The variation of Lyapunov exponent versus the perturbation parameter σ4 of system (5)

现考虑系统(5)在系统(6)持续扰动下的同步控制问题，设耦合强度矩阵K=diag{k1,k2,k3,k4}，则响应系统为

(7)

式中：yi(i=1,2,3，4)为系统(7)的状态变量，a1,b1,c1,d1为系统参数，σi(i=1,2,3，4)为扰动强度，zi(i=1,2,3，4)为参数扰动且仍由系统(6)提供，ui=yi-xi为单向耦合控制器，k1,k2,k3,k4为耦合强度。令系统(7)减去系统(5)可得到如下同步误差系统

(8)

式中：ei=yi-xi(i=1,2,3，4)为同步误差，为了确定合适的耦合强度ki(i=1,2,3，4)的值，计算系统(8)的Lyapunov指数，即先假设耦合强度ki(i=1,2,3，4)为某四个确定的值，然后再计算系统(8)的Lyapunov指数，如果Lyapunov指数全为负数，就说明驱动系统在(5)与响应系统(7)在扰动系统(6)的扰动下实现了同步，当耦合强度取k1=250,k2=10,k3=200,k4=200时，通过计算的结果可知系统(8)的Lyapunov指数全为负数。为了证实所设计控制器的有效性，接下来进行数值模拟。扰动系统参数：a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.6，初值条件为z1(0)=2,z2(0)=1,z3(0)=-1,z4(0)=1。令驱动系统和响应系统的参数a1=10,b1=8/3,c1=28,d1=0.05,初值为x1(0)=1,x2(0)=0,x3(0)=0,x4(0)=-1,y1(0)=2,y2(0)=1,y3(0)=1,y4(0)=0,扰动强度为σ1=σ2=σ3=0.01，σ4=0.001。图2为驱动系统和响应系统在同一扰动系统下同步误差曲线，可以看出误差快速地收敛于0，表明了驱动系统和响应系统在短时间内迅速实现了同步，同时也证明了所设计的多路耦合控制器的有效性和可行性。

图2 驱动系统(5)和响应系统(7)的同步误差曲线Fig.2 The synchronization error between the driven system (5) and response system (7)

2 保密通信方案

实现了变参数高维系统的同步控制以后，基于该同步思想以及控制器的特点设计保密通信方案，设待传输的信息信号为M(t)。

表1 储存状态变量正负号向量的编号表Table 1 Number table for storing the sign vector of state variables

第二步，生成加密信号。将待传输的四组乱序信息信号mi(t)(i=1,2,3,4)分别注入加密系统：

(9)

其中εi(i=1,2,3,4)为信息信号的振幅控制因子，参数扰动项zi由系统(6)提供。将待加密的信号注入加密系统，并参与加密信号的生成，使得加密系统输出的状态变量与信息信号有关，相较于传统的混沌掩盖而言，有效提高了保密性。混沌系统是确定的，但混沌系统对参数是极为敏感依赖地，利用非周期参数激励下的高维混沌系统进行通信保密比起常参数混沌系统以及普通的变参数混沌系统来说具有更高的准确性和保密性。此外，扰动系统也是高维的超混沌系统，比起利用周期函数进行参数扰动，加密系统将会变得更加复杂，产生更加难以预测的动力学行为。再随着扰动强度σi(i=1,2,3，4)的引入，增加了加密算法的密钥空间，从而有效地保证了该算法的保密性。利用系统(9)可生成如下的驱动信号，亦为加密端和解密端之间的通信信号：

(10)

图3 信息信号分组示意图Fig.3 Schematic diagram of information signal grouping

第三步，同步与解密。设解密系统为：

(11)

(12)

当t→∞时，yi(t)→xi(t)，则

θi(t)=si(t)+φ(z1,z2,z3,z4;ω)

(13)

式中si(t)(i=1,2,3,4)为驱动信号，φ(·)为非线性函数，ω为调幅参数。利用非线性叠加后的信号θi(t)作为通信信号，比直接传输驱动信号更为安全，相当于对驱动信号又进行了一次混沌掩盖。整个保密通信方案的原理如图4所示。

图4 保密通信方案原理图Fig.4 Schematic diagram of secure communication scheme

3 数值模拟

(14)

图5 信息信号M(t)Fig.5 The information signal M(t)

图6 待加密的四组信息信号mi(t)Fig.6 Four groups of information signals mi(t) to be encrypted

(15)

图7 通信信号θi(t)的时间历程Fig.7 Time evolution of the communication signal θi(t)

图8 恢复后的信息信Fig.8 Recovered information signal

图9 图片信号恢复的误差Fig.9 Error in picture signal recovery

4 讨 论

本文以四维Chen系统的状态变量为扰动项，构造了一类具有非周期参数激励的四维Lorenz系统。利用单向多路耦合控制器实现了该类变参数高维混沌系统的同步，并基于该同步思想设计了相应的保密通信方案。该方案有着较高的保密性和可行性，并具备以下特点。

2)分组后的信息信号被分别注入加密系统，参与了驱动信号的生成，相较于传统的混沌掩盖而言，掩盖信号与原信息信号有关，显著提高了保密性。

3)信号传输时，不直接将驱动信号作为通信信号，而是利用扰动系统的状态变量对驱动信号进行可逆的非线性叠加，来生成新的通信信号。由于非线性函数φ(·)的种类很多，加上叠加的信号是超混沌信号，使得从通信信号中剥离出驱动信号本身就具有很高的难度。相较于直接传输驱动信号的通信方案而言，本文提议的方法在驱动信号的安全性上，具备明显优势。

4)加密系统是非周期参数激励下的高维混沌系统，且扰动系统也是高维的混沌系统，相较于周期变参数以及常参数混沌系统而言，该系统蕴含着更加丰富复杂的动力学特性。同时，也使得该方法具备了混沌调制方法的特征，能更有效地对抗基于噪声削减、相空间重构、回归映射等方法的攻击。

5)密钥空间很大，暴力破解需耗费大量时间。一个强的保密通信算法需要满足密钥空间k>2100。混沌系统对初值的敏感度约为10-10，混沌系统对参数的敏感度约为10-16。如果考虑扰动系统的初值只在(0,10]区间上变化，则由扰动系统初值构成的密钥空间大小约为1033，显然1033>2100，然而加密系统的参数和初值也可在一定区间内变化，故该算法密钥空间大，能有效对抗暴力破解。

6)为提高同步时效，设计了单向四路耦合控制器，加密系统与解密系统的同步误差在0.4 s左右即可达到10-11，相较于单路控制器而言，多路控制器同步的速率更快，同步误差的精确度更高。针对控制器的特点，本文将信息信号也预处理为四组信号，并分别参与四路驱动信号的生成。要完成解密，须同时获得四路驱动信号。若考虑利用不同的信道分别进行传输的话，“敌方”想截获完整通信信号的难度也大大增加，从这一角度来看，该方案亦有效地增强了安全性。

7)密钥的独立性强。假设“敌方”已知加密解密过程中所有参数的取值，仅有解密系统的参数a1未知，若用a1=35+10-10来估计a1=35并进行解密时，图像信号的解密结果如图10所示，可见解密失败，从而验证了该方案的密钥有着较强的独立性。

5 结 论

本文以四维Chen系统的状态变量为扰动项，构造了一类具有非周期参数激励的四维Lorenz系统，相较于常参数系统和周期参数激励系统而言，非周期激励下的混沌系统蕴含着更加复杂的动力学特性，更难以被预测和还原。随后，基于Lyapunov稳定性理论设计了单向多路耦合控制器，实现了上述变参数系统的混沌同步控制问题，并基于该同步思想以及控制器的特点设计了相应的保密通信方案。在该方案中，首先利用扰动系统状态变量的数字特征，将信息信号分解为四组乱序信号，并将其分别注入加密系统进行运算以产生加密信号，此时的加密信号与信息信号有关；然后，对上一步生成的加密信号再进行可逆的非线性叠加来生成加密端与解密端之间的通信信号，比起直接将加密信号作为通信信号，非线性叠加后的通信信号更加难以破译；最后，解密端从信道中接收到通信信号后，须先逆向剥离出加密信号，再将其作为驱动信号注入解密系统后，方可驱动解密系统完成同步并恢复全部信息信号。在数值模拟中，针对彩色图片进行了保密通信仿真，表明了该方案的保密性和有效性，为构造更多形式的变参数混沌系统和设计更安全的保密通信方案提供了新的思路和参考方法。