对一个条件概率问题的思考与变式

张洪源 (河北省唐山市第一中学2020级16班 063000) 指导教师 王筱颖

条件概率是高中数学的重要知识点，掌握条件概率的概念和应用是学习的重点.近日，《天才基本法》这部电视剧在各大平台热播，剧情中出现了许多有趣的数学题目，其中的一个条件概率问题引发了笔者的深入思考.

1 情景

有三个完全相同的盒子，第一个盒子里面装了2个红球，第二个盒子里面装了2个蓝球，第三个盒子里面装的是1个蓝球和1个红球.

2 问题与分析

从三个盒子中随机选择一个盒子，从里面拿出一个球，发现球是红色的.这个盒子里剩下的那个球也是红球的概率是.

为了便于分析，我们将题目中各个盒子中的球进行编号.设第一个盒子中的两个红球分别为A1和A2；第二个盒子中的两个蓝球分别为B1和B2；第三个盒子里的红球为A3，蓝球为B3.

评注此问题属于条件概率中的“有序”问题，和著名的“三门问题”原理类似，解决问题时一定不能盲目依靠直觉求解.

3 变式

变式1 从三个盒子中随机选择一个盒子，发现盒里的两球中有红球.这个盒子里的两球都是红球的概率是.

评注此问题属于条件概率中的“无序”问题，如果采用列举法，一定要注意A3B3和B3A3两个事件都需满足已知条件.

变式2 从三个盒子中随机选择一个盒子，从里面拿出一个球，发现球是红色的.这个球来自第一个盒子的概率是.

评注此问题属于条件概率中的后验概率问题，即“执果寻因”，可以使用贝叶斯公式直接求解.

变式3 从三个盒子中随机选择两个盒子，分别从中拿出一个球，发现拿出的球里有红球.拿出的两球是一红一蓝的概率是.

评注此类问题事件情况数较多，需要对事件进行合理拆分，结合全概率公式求出所需事件概率.如果遇到求复杂事件的概率时，可以尝试使用“正难则反”的方法，先求出其对立事件的概率，再得到所求概率.

以上是笔者对于一个条件概率问题进行的思考与变式，希望能对各位读者学习、理解此类问题有所帮助.