含PID 参数的时滞LFC 系统鲁棒稳定性分析

刘晓桂，刘小文，蒋逢灵，龚事引，肖会芹

（1.湖南铁路科技职业技术学院 铁道供电与电气学院，湖南 株洲 412006；2.湖南工贸技师学院 电气工程系，湖南 株洲 412006；3.湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

随着电力市场化的不断发展，电力运行规模日益扩大，运行特性曲线日趋复杂，依靠传统的专用通信网络进行信息交换与监测的方式，已经无法满足现代电网中的信息交换与监测的动态性与实时性需求，而要掌握大数据量的实时动态信息，负荷频率控制（load frequency control，LFC）系统必须借助近年发展起来的基于相量测量单元（phasor measurement unit，PMU）[1]构成的广域测量系统（wide area measurement system，WAMS）[2]实现。WAMS 的出现为现代互联电网的稳定性研究提供了新思路，但同时带来了新问题——网络时滞问题[3-4]。网络时滞往往存在于下发控制信号的前向通道与收集测量信号的反馈通道当中，它的存在会使LFC 系统的稳定性变差、控制效率降低，甚至会使电网运行不稳定，从而造成重大的停电事故等，严重影响经济社会的发展，所以研究网络时滞问题对于确保LFC 系统的稳定运行具有重要的现实意义。

频率是衡量电能质量的一个重要指标，为了使电力系统供给侧频率和需求侧频率保持动态平衡，目前常采取的方法是基于广域通信网络的频率控制法，其主要包括频率信号的采集、调度中心信号的处理和指令的生成，以及信号的下发和终端的响应[5]。目前，研究时滞电力系统稳定性的分析方法主要为时域法。虽然频域法是一种经典的分析系统稳定性的方法，可以通过求解系统的特征根来判定系统的稳定性，但是系统的特征根一般不易求解，尤其是在分析高阶复杂系统时，其计算非常复杂。由于频域法存在上述缺点，所以用控制系统理论来分析系统稳定性时，时域法更受青睐。而时域法的研究目标主要集中在计算出系统保持稳定前提下的最大时滞稳定裕度，从而设计出性能优越的控制器，使系统具有良好的时滞鲁棒性。LFC 系统的控制策略较多，主要有自适应控制、模糊控制、人工智能控制、鲁棒控制与滑膜变结构控制等[6]，为了解决系统中存在的时滞问题，很多已有研究都是基于这些控制策略来展开的。基于线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI）理论，文献[7]研究了考虑时间延迟现象且系统中含不确定性参数的神经网络系统的被动性问题，其通过选取Lyapunov 泛函与利用自由权矩阵方法，以线性矩阵不等式的形式有效地利用内点法进行求解，得出了神经网络系统的时滞相关被动条件。文献[8]针对具有时变延迟现象的网络控制系统进行了研究，详细推导了具有状态反馈网络控制系统的数学模型，充分考虑了系统参数的不确定性与状态向量之间的关系，构造出Lyapunov-Krasovskii 泛函并应用自由权矩阵积分不等式方法，分析了网络控制系统的稳定性和鲁棒性。文献[9]研究了通信网络中存在的时滞问题和参数不确定性问题，提出了一种关于LFC 系统的鲁棒预测方法。该方法的目的，是在含不确定参数的动态模型中、有延时环节的系统中和时变模型这类实际网络中，能更好地实现闭环系统的良好特性。文献[10]研究了具有概率区间时滞电力系统LFC 问题，LFC器的设计特别考虑了通信延迟的概率分布特性，针对这一特性设计了一种基于时滞分布的PI 控制策略，采用该控制策略能在保持期望性能的同时，获得基于PI 控制增益的LFC 系统时滞稳定裕度，并通过实例证明了该调频设计方法的有效性。文献[11]基于Lyapunov 稳定理论和LMI 技术，提出了一个改善计算精度和缩短计算时间的稳定新判据，使其适用于处理多区域LFC 系统，并详细分析了不同控制区域之间时滞稳定裕度与控制增益之间的关系。文献[12]将基于LMI 的时滞相关稳定性分析方法应用于时滞LFC 系统当中。然而，大规模LMI 的计算量对这些方法在实际系统中的应用提出了巨大挑战。针对这一问题，文章主要对LFC 系统中的时滞相关稳定性分析计算方面进行了探讨，利用LFC 系统中控制环的对称性和稀疏性改善LMI 的决策变量数，从而提高对实际时滞电力系统的计算能力。

本文基于上述成果，从电力系统中的单区域LFC系统着手研究，构建考虑网络通信延迟且系统矩阵中含PID 参数的LFC 系统数学模型，结合Lyapunov稳定理论分析方法，选取时滞乘积型Lyapunov-Krasovskii 泛函，充分考虑了时变矩阵的自由度，并应用扩展的逆凸二次不等式方法对泛函导数中的积分项进行精确求解，得出一个改善系统保守性的稳定新判据。最后，借助实例进行实验仿真，分析了系统在定常时滞、时变时滞两种时滞类型情况下，系统时滞稳定裕度与PI 控制增益之间的关系。通过对比实验结果，充分证明了本文所提方法的有效性与相比其它文献的优越性。

文中给定如下标号：Rn×m与Rn分别为实数域的n×m阶矩阵空间与n维向量空间；Sn为n×n的实对称矩阵，矩阵的上标“-1”和“T”分别为矩阵的逆与转置；“*”代表对称矩阵中的对称项；“I”和“0”分别为合适维度的单位矩阵和零矩阵；diag{…}为块对角矩阵；P＞0 表示P为正定对称矩阵；Sym{X}=X+XT。

2 时滞LFC 系统模型

本文从简化的电网频率调节系统着手分析，其简化模型如图1 所示[13]。

图1 电网频率调节系统简化模型Fig.1 A simplified model of power grid frequency regulation system

由图1 可知，LFC 系统模型主要由5 个子模型构成，各子模型的传递函数分别如下。

1 ）原动机模型。其简化传递函数为

式中：ΔPm为机械功率变化量；ΔPv为控制阀开度变化量；TT为汽轮机惯性时间常数；s为复数变量。

2）发电机输入端——负荷端模型[13]。其传递函数为

式中：ΔPd为负荷端功率变化量；M为转动惯量；Δf为系统频率变化量；D为发电机阻尼系数。

3）辅助LFC 系统数学模型。目前，电力系统中的LFC 大多采用PID 控制器来实现，其传递函数为

式中：u为控制器输出；KP为控制器比例增益；KI为控制器积分增益；KD为控制器微分增益；ACE(s)为控制误差，定义为[13]

其中β为频率偏差，定义为

其中R为调速器速度跌落系数。

4）调速系统模型。其系统模型表达式为

式中：ΔPC为系统控制信号；TG为调速器惯性时间常数。

5)时滞环节模型。时滞常用指数函数e-sh表示，h表示时滞大小。

由上述表达式（1）～（6）并结合图1，可得时滞LFC 结构框图，如图2 所示[14]。

图2 考虑时滞的LFC 结构框图Fig.2 Block diagram of LFC structure with time delay taken into consideration

由图2 选择的状态变量x(t)与输出变量y(t)如下：

由此，可得系统状态空间模型如下：

式中：w(t)=ΔPd；u(t-h(t))=ΔPC(t)；A、B、F、C均为矩阵，且

系统中的PID 控制器为

定义系统的虚拟状态变量与输出变量如下：

由于矩阵CB=0，故系统（8）和控制器（9）可转化为如下静态输出反馈系统：

上述系统可简化为如下时滞线性系统：

元和二年十二月,史官李吉甫等撰《元和国计簿》十卷,总计天下方镇,凡四十八道,管州府二百九十三,县一千四百五十三,见定户二百四十四万二百五十四。其凤翔、鄜坊、邠宁、振武、泾原、银夏、灵盐、河东、易定、魏博、镇冀、范阳、沧景、淮西、淄青十五道七十一州,并不申户口数。每岁县赋入倚办,止于浙西、浙东、宣歙、淮南、江西、鄂岳、福建、湖南等道,合四十州,一百四十四万户,比量天宝供税之户,四分有一。[注]王溥:《唐会要》卷84,北京:中华书局,1955年,第1552-1553页。

式（12）减去式（13）可得：

于是，时滞线性系统数学模型的一般形式可以表述为

3 系统稳定新判据

3.1 主要引理

为获得本文主要结论，给出如下3 个引理。

引理1[15]给定实对称矩阵R＞0(R∈Sn)，存在标量a、b(a＜b)和向量值函数ω(s)：[a,b]→Rn，则有以下积分不等式成立：

引理2[16]给定实对称矩阵R＞0(R∈Sn)和标量α∈ (0,1)，若存在实对称矩阵X1、X2、X3、X4∈Sn和任意实矩阵Y1、Y2、Y3、Y4∈Sn，且满足如下不等式：

则不等式（19）成立。

则l(x)＜0 成立。

3.2 主要结论

本研究应用时滞乘积型Lyapunov-Krasovskii，并且结合扩展的逆凸二次不等式技术，推导出一个考虑通信延迟并且系统矩阵中含PID 参数的LFC 系统稳定新判据。

为了简化计算，定义如下向量和矩阵：

下面，推出以下稳定新判据。

定理1给定标量μ和h(h＞0)，若存在实对称矩阵Q1(∈S4n)＞0、Q2(∈S4n)＞0、P11＞0、P12＞0、P21＞0、P22＞0、Z＞0，任意矩阵Y1、Y2、Y3、Y4∈R3n×3n和 实对称矩阵X1、X2、X3、X4∈S3n，在满足时滞约束条件0 ≤h(t)≤h，时，有以下LMI 成立：

则系统方程（17）是渐近稳定的。

式（22）中：

证明构建如下Lyapunov-Krasovskii 泛函

式中：P1(t)=P11+h(t)P12；P2(t)=P21+(h-h(t))P22。

当P1(t)＞0、P2(t)＞0、Q1＞0、Q2＞0 和Z＞0 时，该泛函正定，即V(t)＞0。

对V(t)沿着系统轨迹进行求导运算，可得：

基于引理1，可以将式（25）中最后一个积分项转换为

又基于引理2，式（26）中的逆凸项可以被处理为

综合式（25）～（27）可以得出：

定理2给定标量μ和h(h＞0)，若存在实对称矩阵Q1(∈S4n)＞0、Q2(∈S4n)＞0、P11＞0、P12＞0、P21＞0、P22＞0、Z＞0，任意矩阵Y1、Y2、Y3、Y4∈R3n×3n和实对称矩阵X1、X2、X3、X4∈S3n，在满足时滞约束条件0 ≤h(t)≤h，且满足不等式（20）与（21）时，有以下LMI 成立，

则系统方程（17）是渐近稳定的。

4 实例仿真

针对文献[18]中提出的PID 控制器的时域性和鲁棒性与两个参数有关的结论，本文探讨了系统矩阵中PID 参数的选取对LFC 系统稳定性的影响。根据文献[12,17]中给出的参数值（D=1.0、R=0.05、TG=0.10、M=10 和TT=0.3），并结合系统矩阵参数式（15）（16），利用Matlab 中的LMI 工具箱进行实验仿真，分析了系统矩阵方程在定常时滞（μ=0）和时变时滞（μ=0.5）两种不同时滞类型情况下，PI 控制增益与LFC 系统时滞稳定裕度之间的关系，所得仿真结果分别列于表1 和2 中。

表1 (KP,KI)分别取不同值时的时滞稳定裕度hmax (μ=0)Table 1 Delay stability margin hmax with (KP,KI) taking different values respectively (μ=0)

为了能更好地展示本文方法的优越性，定义平均改善率公式AI如下：

式中i、j的取值依次为0.2,0.4,0.6,0.8,1.0。

当系统处于定常时滞（μ=0）类型情况下，根据表1 中提供的实验数据，并利用式（37）可以计算出系统的时滞稳定裕度平均改善率为17.9%，这说明在降低系统保守性方面，本文给出的方法相比文献[20]给出的方法具有明显的优越性。

同理，根据表2 中的实验数据可以得出，系统处在时变时滞（μ=0.5）类型情况下，系统的时滞稳定裕度改善率能达39.1%。

表2 (KP,KI)分别取不同值时的时滞稳定裕度hmax (μ=0.5)Table 2 Delay stability margin hmax with (KP,KI) taking different values respectively (μ=0.5)

为了进一步验证上述实验数据的准确性，利用Matlab 中的Simulink 工具箱建立系统数学模型，选取KP=0.6、KI=0.6、μ=0，且系统时滞稳定裕度hmax=2.281 s 时，观察系统频率偏差的收敛性，从而说明系统是否处在稳定状态。不同时滞稳定裕度下的系统频率偏差响应曲线如图3 所示。

图3 KP=0.6，KI=0.6，μ=0，hmax=2.281 s 时的系统频率偏差Fig.3 System frequency deviation response curves with hmax=2.281 s,KP=0.6，KI=0.6 and μ=0

从图3 可以看出，当hmax=2.281 s 时，系统的频率偏差呈收敛状态，这说明系统是稳定的；但是收敛速度非常慢，快速性降低，这正好体现了应用本文方法计算出来的系统时滞稳定裕度值更接近于理论值，充分证明了应用本文方法使系统的保守性得到了极大改善，体现了所提方法的正确性。

另外，从表1 和表2 中列出的实验运算结果可以看出，当系统处在相同时滞类型而不同控制增益KP、KI时，系统时滞稳定裕度hmax随着控制增益KP、KI取值的不同而不同：当比例增益KP一定时，时滞稳定裕度随着积分增益KI的增大而呈减小的变化趋势；当积分增益KI一定时，这种情况较复杂，时滞稳定裕度hmax随着比例增益KP的增大呈先增大后减小的变化趋势。图4 展示了应用本文方法得出的系统时滞稳定裕度hmax与控制增益KP、KI取值之间的关系（μ=0）。由图4 可知，时滞稳定裕度hmax随KP、KI取值的变化而变化。同样，当给定相同控制增益KP、KI而不同时滞类型时，系统时滞稳定裕度hmax的数值也会不同。

图4 时滞稳定裕度hmax 随KP、KI 取值的变化图(μ=0)Fig.4 Variation diagram of delay stability margin hmax with values of KP and KI (μ=0)

通过对以上仿真结果的讨论与分析，可以得出如下一致结论：当LFC 系统处在定常时滞和时变时滞两种时滞类型情况下，应用本文提出的方法能有效改善系统的保守性，并且与其它文献结果相比，具有明显的优势。

5 结语

本文研究了考虑通信延迟且系统矩阵中含PID参数的LFC 系统鲁棒稳定性问题。通过构建系统矩阵中含PID 参数的时滞LFC 系统数学模型，选取时滞乘积型Lyapunov-Krasovskii 泛函，并应用扩展的逆凸二次不等式方法等数学处理技巧，对泛函导数进行了精确界定，推导出一个改善系统保守性的时滞相关鲁棒稳定新判据。最后，借助数值实例进行实验仿真，分析了系统处在定常时滞和时变时滞两种时滞类型情况下，比例增益KP、积分增益KI与LFC 系统时滞稳定裕度hmax之间的关系，通过实验仿真的验证以及将实验结果与其它文献对比后发现，本文方法具有明显的优越性。