基于时延估计的不确定混联机构自适应惯性增益滑模控制方法

蒋毅躜，高国琴，方志明

（江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212013）

0 引言

混联机构是一种由串行链和并行链相结合所组成的机械结构，具有刚度大、承载能力强和工作空间大等优点［1］。为提升现有汽车涂装输送设备的承载能力与柔性化水平，本文基于混联机构研发了一种承载能力强、柔性化水平高的汽车电泳涂装输送系统［2-3］。基于动力学模型的混联机构控制方法，考虑动力学特性，其非线性部分可以通过设计控制器进行补偿，在理论上能实现良好的控制效果［4］。然而，混联机构的非线性、强耦合，复杂多输入多输出特性，导致建立其动力学模型较为复杂，同时其还因进出电泳槽液存在模型参数变化与外界扰动突变等不确定因素［5］。为此，有必要从实时获取混联机构动力学模型、解决不确定性问题方面进行研究，以提高该混联机构的动力学控制性能。

为解决实时获取混联机构动力学模型问题，Hsia 等［6］最早提出时延估计技术以估计机械臂的模型，现已在机器人控制领域中获得广泛关注［7-8］。其核心思想是利用时延估计（TDE）技术，通过采样系统在上一时刻的时延状态（输出与加速度）估计系统动力学模型，是一种无需复杂被控对象动力学模型，避免在线实时计算其逆动力学的方法［9］。但传统TDE 技术应用于动力学控制时常存在两个问题，一是存在时延估计误差影响跟踪精度，二是难以选取合适的时延估计常量惯性增益。

时延估计误差与采样频率有关且具有非线性，是限制控制器性能的固有因素［10］。为解决时延估计误差对跟踪精度所造成的影响，在初期研究中提出了基于TDE 的PD控制算法，以抑制时延估计误差在跟踪精度方面带来的影响，但针对采样频率较低的时变不确定系统抑制效果有限［11-12］。相较于TDE-PD 控制策略，基于TDE 的等速趋近滑模控制算法，不仅可以抑制时延估计误差带来的影响，还能使系统在时变不确定性问题下达到更高的跟踪精度［13-14］。Jin 等［15］提出基于TDE 的非奇异快速终端滑模（NFTSM）控制方法，在提升时延估计误差下不确定系统跟踪精度的同时，利用NFTSM 的系统状态在有限时间内收敛、改进终端滑模控制（TSMC）收敛速度缓慢甚至“收敛停滞”问题，并解决奇异性问题的特点，实现更短时间的误差收敛，达到较高的跟踪精度［16-17］。

针对上述问题，本文利用TDE 技术实时获取时延估计动力学模型，引入非奇异快速终端滑模抑制时延估计误差对跟踪精度的影响，以保证滑模面收敛速度与系统的非奇异性。针对该不确定混联机构难以选取合适定常惯性增益问题，对惯性增益矩阵提出自适应规则，不仅能动态调节得到合适惯性增益的值，且能使系统迅速抑制由外界扰动突变等引起的突变时延估计误差。最后，提出一种基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制方法，以提高混联机构在不确定性问题下的鲁棒性与轨迹跟踪精度。

1 混联机构描述及基于TDE的控制器

1.1 混联机构描述

本文选用课题组自主研发的汽车电泳涂装输送用混联机构，该双边对称混联机构的单侧结构如图1 所示（其中，各数字指代如下：1-导轨、2-底座、3-行走驱动电机、4-减速机、5-移动滑块、6-升降驱动电机、7-连杆、8-从动轮、9-主动轮、10-连接杆、11-车体、12-翻转驱动电机、13-电动丝杆）。混联机构的行走驱动电机驱动行走轮带动整个机构做前进和后退的平移运动。由于升降、翻转机构是结构较复杂的双边对称混联机构，控制策略设计要求较高，因此着重研究升降翻转机构的动力学建模及控制策略。

Fig.1 Hybrid mechanism for automobile electrocoating conveying图1 汽车电泳涂装输送用混联机构

对于该混联机构，其动力学方程可表示为：

其中，q=(q1q2φ1)T为单侧的滑块位移与主动轮逆时针转动角度为对应的速度和加速度；M(q)为广义惯性矩阵为Coriolis 矩阵；G(q)为重力项矢量；为摩擦力项；τd为集总扰动项；τ为控制力矩向量。

1.2 基于TDE的控制器

将式（2）考虑时间变量重写为如下：

将N 表示为时间t的函数，代表系统在运行时随时间发现的变化，其他作此下标的均代表此涵义。N 的估计值可以通过TDE 技术估计得到。

采用TDE 技术的传统时延估计控制器（TDC）已被提出，其控制律为［6］：

其中，e=qd-q(t)定义为轨迹跟踪误差，qd为关节的期望运行轨迹。式（6）等号右边的第一部分能够补偿混联机构非线性动力学部分，而第二部分则为线性期望误差动态方程，作用于该闭环系统中。为提高系统鲁棒性和收敛速度，式（6）的第二部分可采取其他公式，详见第2章。

1.3 惯性增益Μˉ

由此可见，经过运算后实现了整个关节动力学的解耦与线性化处理。但是通常由于时延值选取等一系列原因，时延估计项无法完全补偿混联机构非线性动力学部分，存在估计误差，因而式（7）重新写为：

定义误差的表达式为：

将式（9）称为TDC 估计误差，当满足式（10）的条件时ε是有界的。对于任意t≥0 的时间，时延控制估计误差（TDE errors）在常数矩阵满足约束条件式（10）时都是有界的［6，10］。理论上可以通过式（10）计算得到，但实际上的值很难准确获得，它会因如机器人位姿、外界不确定等因素而发生变化。进而在实际应用中通常采用试错法调节，一个合适的惯性增益能够保证系统稳定性与控制性能，相反也会对控制器造成严重影响。但增益的选择是一个复杂不容易的问题，因为当机器人的惯量变化时，即使在当前选择了一个合适的值，之后也可能无法满足约束条件式（10）。因此，传统的TDC 在应用中通常存在以下两点问题：①PD 型的线性误差动态方程处理复杂集总未知项时鲁棒性不足；②常量在系统处于时变、不确定性等问题的工作状态时难以保证系统稳定性与控制性能。

备注1：问题①在下文会作详细解释。

备注2：为确保式（5）的时延估计估计有效性，采样周期L 应该足够小。在常见的机器人中，此要求可以很容易通过一个或几个采样周期的选取加以实现。但当系统的采样周期较长时，则需要对TDC 进行改进以达到控制要求［19］。

2 基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制器设计

为解决上述提到的两个问题，首先通过引入非线性期望误差动态方程（Nonlinear DED）提高响应速度以及抑制时延估计误差项式（9），达到加强控制性能要求。本文选择NFTSM 动态方程替换控制律中的线性期望误差动态方程部分。根据研究的一般混联机构系统模型阶次，故滑模面与趋近律设计选取如式（11）、式（12）［20］：

其中ρ1、ρ2、α、β为控制器参数，q，p(p＞q)，γ＞1，0 ＜k＜1 都是正奇数。选用NFTSM 动态方程，其具有限时间收敛到平衡状态、消除抖振以及对系统不确定性和扰动具有很好的鲁棒性等特点。

本文提出基于NFTSM 滑模面式（11）和趋近律式（12）的TDC 策略，如式（13）：

2.1 自适应惯性增益设计

再根据滑模面式（11）将式（14）变形为：

该非线性微分方程的收敛性可参考文献［20］。当考虑估计误差时，式（15）重写为：

在闭环动态方程式（16）中，时延估计误差（TDE error）可以看作是脉冲型扰动的输入误差。方程在给定时延估计误差ε后，滑模变量s在稳态下的大小主要由决定，同时ρ1、ρ2与系统响应速度有关。因此，当的模值越大，滑模变量s就越小。但由于不等式约束式（10）的存在，的模值大小不能无限制增大，否则会使整个系统不可控。

其中：·i和·i i分别代表向量·的第i个元素与对角矩阵·的第ii个斜对角元素；式中引入滑模变量si与其导数与ki是正常系数，起到调节惯性增益矩阵变化速率的作用；δi是滑模变量si与的正则化因子这项定义为约束层。通过引入式（11）中定义的s 变量，所提自适应律调节到一个合适的范围内，用于保证系统在不确定性问题下的鲁棒性，同时提高了误差收敛速度。

所设计基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制器原理框图如图2所示。

Fig.2 Schematic diagram of controller图2 控制器原理框图

2.2 稳定性证明

根据Lypunov 理论证明根据式（18）所提出的基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制系统的一致最终有界性。

假设1：系统不确定部分及外部随机干扰项变化缓慢时延误差εi有上界，为当选用合适的控制增益时，假设1成立，具体证明过程可参考文献［21］。

假设2：在时间t=0 时，滑模变量靠近于零。这是因为通常在实际操作中，混联机构的初始运行位置一般也为期望轨迹的初始位置。

设计一个Lyapunov 方程如下：

将式（15）和自适应律式（16）代入式（18）中可得：

3 仿真及结果比较

3.1 仿真环境

以式（1）所示的汽车电泳涂装输送用混联机构作为被控对象，给出两个实例进行仿真研究，最终通过比较各方法数值模拟的结果验证了所建立模型与提出方法的有效性。情况一为在模型参数变化的不确定因素下进行仿真，特意“随机”设置被控对象的变化负载质量m=15kg；情况二为在基于情况一且受外界扰动突变的时变不确定因素下进行仿真，其中混联机构的主要参数参考文献［2］。

Table 1 Lumped disturbance term parameters表1 集总扰动项参数

3.2 数值仿真

为验证所提出控制方法的有效性，将在变负载具液阻汽车电泳涂装输送用混联机构中对基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制方法（简称为：所提方法）的仿真结果与另外两种方法的仿真结果进行比较。这两种分别是基于拉格朗日动力学模型的NFTSM 控制方法（简称控制方法1）与基于时延估计的定常惯性增益滑模控制方法（简称控制方法2）。

非奇异快速终端滑模面参数为：α=7，β=2，γ=3，p=5，q=3；控制律参数为：ρ1=5，ρ2=12，k=0.5；惯性增益自适应律参数为 ：δ=[3，3，30]T，diag(0.15，0.15，1.5) × 102，初值控制方法1中控制器使用已有名义模型［2］，其负载质量m=5kg。

由于升降翻转机构两边对称，两边对应关节运动一致，故只给出一侧升降翻转机构各主动关节的仿真曲线。图3 为在第一种情况下各主动关节轨迹跟踪误差曲线；图4 和图5 分别为在第二种情况下的各主动关节轨迹跟踪曲线与所提方法根据系统状态对于惯性增益矩阵进行调节的曲线。3 种控制器下各主动关节的轨迹跟踪均方根误差数据（RMSE）如表2所示。

如图3 所示，控制方法1 由于无法在线辨识系统参数变化的不确定情况，拉格朗日动力学模型的不精确导致轨迹跟踪误差较大；而使用了TDE 技术的控制方法2 与所提方法通过估计系统动力学模型解决了模型参数变化带来的不确定性问题，都有较小的轨迹跟踪误差。同时，通过对惯性增益矩阵的自适应调整，所提方法在同等情况下相对于控制方法1、2 具有较快的收敛速度，如表2 所示，所提方法具有更高的轨迹跟踪精度。如图4 所示，所提方法在4 个时刻受到外界扰动突变项影响产生较大轨迹跟踪误差时，所产生的误差峰值较小，误差收敛速度较快，该控制方法对变负载具液组混联机构具有良好的跟踪性能。如图5所示，惯性增益自适应律根据轨迹跟踪误差的大小对惯性增益矩阵进行实时调整，当较大初始误差及外界扰动突变项干扰时，各惯性增益的值变大，使得误差减小；当系统逐渐趋于一个相对稳定的状态时，的值又将减小到一个较小邻域内。这与上文进行理论分析的惯性增益矩阵变化情况相吻合。

Fig.3 Tracking error curve of joint trajectory under case 1图3 情况一下关节轨迹跟踪误差曲线

Fig.4 Tracking error curve of joint trajectory under case 2图4 情况二下关节轨迹跟踪误差曲线

Fig.5 The inertial gain matrix 图5 惯性增益矩阵

Table 2 Tracking RMSE of each joint trajectory under case 1表2 情况一各关节轨迹跟踪RMSE

4 实验及结果分析

汽车电泳涂装输送用混联机构样机系统实验平台以及样机进入槽液时的状态如图6所示。

Fig.6 A novel hybrid mechanism for automobile electro-coating conveying system图6 汽车电泳涂装输送用混联机构样机系统

为进一步验证所提出的基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制方法的有效性与可行性，将所提出方法与基于时延估计定常惯性增益滑模控制方法（控制方法2）应用于输送混联机构样机，并通过车体进出水槽的过程表示系统受到的时变不确定因素，分别进行运动控制实验。样机升降关节与翻转关节轨迹跟踪误差的实验曲线如图7 所示，样机升降关节与翻转关节最大跟踪误差与受扰最长收敛时间的实验结果如表3所示。

Table 3 Experimental results of maximum joint tracking error and maximum disturbed convergence time表3 关节最大跟踪误差与受扰最长收敛时间实验结果

由图7 和表3 可知，所提方法具有较小的跟踪误差实验结果，且误差峰值较小，在受扰产生突变误差后其最长收敛时间也较短。这进一步验证了所提出的基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制方法的有效性，该方法能够同时保证较好的轨迹跟踪性能和较高的误差收敛速度。结果表明，该控制方法可以保证输送混联机构样机在受不确定因素干扰时的较高轨迹跟踪精度。

Fig.7 Experimental results of joint trajectory tracking error图7 关节轨迹跟踪误差实验结果

5 结语

文本针对汽车电泳涂装输送用混联机构建立其动力学模型较为复杂且难以获取精确模型参数的问题，提出一种基于时延估计的滑模控制算法，并通过设计惯性增益矩阵自适应律克服了不确定因素对系统的影响，最后通过仿真实验验证了所提出的基于时延估计的自适应惯性增益滑模控制算法的有效性。仿真与实验结果表明，该算法在混联机构输送车体进出电泳槽液时，可在保持轨迹跟踪精度的同时保证系统的稳定性并提高响应速度。本文在研究过程中主要考虑了输送车体进出电泳槽液时对系统的影响，仅将其当做简单的突变扰动干扰，然而在实际场景下，进出电泳槽液的过程需更为详细的分析，同时在空气与电泳液中运行时也需要考虑不同阻力、摩擦力等。因此，在后续研究中可对混联机构进出电泳槽液的工作情况作进一步分析，改进相应控制算法以提高算法实用性和可行性。